卷2 第二十四章 一元二次方程 综合检测卷-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（冀教版·新教材 河北专用）

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过选择题、填空题、解答题等题型覆盖知识点，结合“上分技巧”“失分警示”构建知识网络，体现知识点间的内在逻辑。 其亮点在于分层设计，从基础概念辨析到中档实际应用再到难题规律探究，如成本下降率问题培养数学眼光，“和谐方程”新定义训练数学思维，几何与代数结合提升数学语言表达。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提高复习针对性。

数 学 九年级全一册 冀教版 1 2 3 卷2 第二十四章综合检测卷 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.[2026天津南开区月考]若一元二次方程 化成一般形式后二次项的系 数是2，则一次项的系数是( ) B A.3 B. C.5 D. 【解析】，， 一次项系数是 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026山西大同一中月考]一元二次方程 可转化为两个一元一次方 程，其中一个是 ，则另一个是( ) D A. B. C. D. 【解析】两边直接开平方可得或 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2026河北廊坊月考]关于的一元二次方程 的根的情况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【解析】， 一元二次方程 有两个 不相等的实数根.故选A. 上分技巧 一元二次方程根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2026河北石家庄月考]某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程 ，解答过程如下： 甲 乙 两边同时除以 ，得 . 移项，得， ， 或，解得， . 下列判断正确的是( ) C A.甲正确 B.甲和乙都正确 C.乙正确 D.甲和乙都不正确 【解析】有可能为0，而0不能作除数， 甲的解答过程错误，方程两边不 能同时除以 ，这样会漏解；乙利用因式分解法解一元二次方程，移项，得 ,,或 ，解得 ，， 乙的解答过程正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2026河南许昌月考]一元二次方程的两根为，，则 的 值为( ) A A.3 B. C. D. 【解析】 一元二次方程的两根为，， , , .故选A. 上分技巧根 与系数关系的应用 求与一元二次方程两根相关的代数式的值时，一般要将代数式转化为“两根和”或 “两根积”的形式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 6.[2026山东威海环翠区月考]若关于 的一元二次方程的根为 ，则该一元二次方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】，，， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 7.[2026河北沧州月考]等腰三角形的两边长分别是方程 的两根，则 它的周长是( ) C A.8 B.9 C.10 D.10或8 【解析】，，解得或 .根据题意 分两种情况：①当腰长为2时，三边长分别为2，2和4，此时 ，不满足三 角形的三边关系，舍去；②当腰长为4时，三边长分别为2，4和4，此时 ， 满足三角形的三边关系，它的周长为 .综上，这个等腰三角形的周长 为10.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 8.回归教材 [2026河北保定月考，中]若一个多边形的对角线条数恰好为边数的2 倍，则这个多边形的边数为( ) B A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】设这个多边形的边数为.由题意得，解得或 （舍去），即这个多边形的边数为7.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 9.新考法 [2026贵州毕节月考，中]2024年生产1吨药品的成本是5 000元，随着生 产技术的进步，2026年生产1吨药品的成本是3 200元，设1吨这种药品生产成本的 年平均下降率为 ，下列说法错误的是( ) D A. 年1吨这种药品生产成本的年平均下降额是900元 B.2025年生产1吨这种药品的成本为 元 C. D.按照这种下降速度，2027年生产1吨这种药品的成本为2 300元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】 这种药品生产成本的年平均下降率为 ，2024年生产1吨这种药品的成 本是5 000元，年生产1吨这种药品的成本为 元，故B不符合题 意；年生产1吨这种药品的成本是3 200元， ，解得 ，（不符合题意，舍去）， 吨这种药品生产成本的年 平均下降率为，故C不符合题意； 年1吨这种药品生产成本的年 平均下降额是 （元），故A不符合题意；按照这种下降 速度，2027年生产1吨这种药品的成本为 （元），故 D符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 10.[2026河北唐山月考，中]关于的方程为常数 的根的情 况，下列结论中正确的是( ) D A.两个正根 B.一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大 C.两个负根 D.一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小 【解析】设方程的两根为，.将原方程整理得 ， ，， 关于的方程 的根为 一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 11.传统文化 [2026福建漳州月考，中]我国古代数学家赵爽 在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程正根的 几何解法，以方程，即 为例说 明，如图,大正方形的面积是 ,同时它又等于四个 矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，因此 C A. B. C. D. ，所以 .在下面四个选项中（每个小正方形的边长 为1），能正确说明方程 的解法的是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】方程，即 .如图，中间小正方形的边长为 ， 其面积为9， 大正方形的面积为 ， 其边长为7， ，因此，C 选项所表示的图形符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 12.规律探究 [2026北京人大附中月考， 难]如图是由同样大小的圆按一定规律排 列组成的，其中第1个图形中一共有4个 B A.10 B.11 C.12 D.13 【解析】 第1个图形中一共有 （个）圆，第2个图形中一共有 （个）圆，第3个图形中一共有 （个）圆， 第4个图形中一共有（个）圆， 第 个图形中圆的个数是 ,，解得（舍去）， ，故选B. 圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有 22个圆, ,按此规律排列下去，现已知第个图形中圆的个数是134，则 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.[2026河北邢台月考]已知是一元二次方程，则 ____. 【解析】是一元二次方程， 且 ，解得.故答案为 . 上分警示 一元二次方程的系数 注意一元二次方程的二次项系数不能为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 14.[2026吉林长春月考]如果一元二次方程 配方后得到 ，那么 _____. 【解析】根据题意，得可变形为， .故答 案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （第15题图） 15.[2026山西朔州月考，中]如图，这是2025年4月份 的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个 数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积 为153，则这个最小数为___. 9 【解析】设最小数为，则最大数为 .根据题意， 得，整理，得 ，解 得（不符合题意，舍去）， ，所以这 个最小数为9.故答案为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 16.[2026河北衡水月考，难]如图所示，中， ， ， ，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿 向点以的速度移动.,分别从,同时出发，设点，的移动时间为 ， 则______时，线段将的面积分成 的两部分. 2或4 （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】根据题意，知，. 线段 将 的面积分成的两部分，或 ， 或 ，整理得 或（无实数根），解得，，即线段 将的面积分成的两部分时，移动时间为或 .故答案为2或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.[2026山东泰安月考]（8分）解方程： （1） .（4分） 【解】原方程可化为 ， ，…………（1分） ，…………（2分） 即 ，…………（3分） ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （2） .（4分） 【解】原方程整理得 .…………（5分） ，…………（6分） ，…………（7分） ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 18.[2026北京西城区月考]（7分）已知关于 的方程 ， 为常数. （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围.（3分） 【解】 方程有两个不相等的实数根， ，………… （2分） 解得，的取值范围是 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由.（4分） 【解】小明的观点正确.…………（4分） 理由如下： 当时， .…………（5分） ， 方程没有实数根， 关于 的方程 的根不会为0.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 19.[2026广东深圳中学月考]（8分）某水果店以640元的成本收购了某种水果 ， 目前可以按12元/的价格售出，如果储藏起来，每个星期会损失 ，且每个星 期需支付各种费用16元，但同时每个星期价格会上涨2元/ . （1）设水果店储藏了个星期后出售，则售出的价格为__________元/ .（2分） 【解析】根据每个星期价格会上涨2元/，可得水果店储藏了 个星期后出售，售 出的价格为元/，故答案为 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （2）水果店为了获取1 156元的利润，且为了减少浪费，应储藏几个星期后全部 出售？（6分） 【解】设储藏 个星期后全部出售.由题意可得 ，…………（5分） 解得， .…………（6分） 要减少浪费， .…………（7分） 答：应储藏11个星期后全部出售.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 20.新定义 [2026陕西西安月考]（8分）定义：设， 是方程 的两个实数根，若满足 ，则称此类方程 为“和谐方程”.例如，方程 是“和谐方程”. （1）方程 ______“和谐方程”.（填“是”或“不是”）（2分） 不是 【解析】， . 设方程的两个实数根为,,则， ， 不满足 ，故不是“和谐方程”.故答案为不是.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）［中］若方程是“和谐方程”，求 的值.（4分） 【解】 , 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根为,,则， . 方程是“和谐方程”， ， ，即 ，…………（5分） 解得， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （3）［中］若方程 为“和谐方程”，直接写 出， 满足的数量关系.（2分） 【解】 .…………（8分） 设方程的两个实数根为, ， ，. 方程为“和谐方程”， . ，，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 21.综合与实践 [2026河北衡水月考]（9分）综合与实践：九年级课外小组计划用 两块长为，宽为 的长方形硬纸板做收纳盒. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 【任务要求】 任务一：如图（1），设计无盖长方体收纳盒.在长方形硬纸板的四角剪去四个相同 的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒. 任务二：如图（2），设计有盖长方体收纳盒.在另一块长方形硬纸板的四角剪去四 个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和 两边恰好重合 且无重叠部分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【问题解决】 （1）［中］若任务一中设计的收纳盒的底面积为 ，求剪去的小正方形 的边长.（5分） 【解】设剪去的小正方形的边长为 . 由题意得 ，…………（3分） 解得， （不符合题意，舍去）. 答：剪去的小正方形的边长为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）［中］若任务二中设计的收纳盒的底面积为 ，求该收纳盒的高.（4分） 【解】设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为 ，宽为 ， ，…………（7分） 解得， （不符合题意，舍去）. 答：该收纳盒的高为 .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 22.探究性问题 [2026河北石家庄月考]（12分）我们已经学习了一元二次方程的 多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样的 思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解. ①换元法求解四次方程： . 设，则原方程可变为，解得， . 当时，即， ； 当时，即， . 原方程有四个根：，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 ②因式分解法求解三次方程： . 将其变形为 ， ， ， ， ， 或 ， 原方程有三个根：，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （1）仿照以上方法解方程： ①［中］ ；（5分） 【解】设，则原方程可变为，解得 ， . …………（3分） 当时，即 ，此时无解； 当时，即，， . 原方程有两个根：， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 ②［中］ .（5分） 【解】将原方程变形为 ， ， ， ， ，…………（8分） 或， 原方程有三个根：， ， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［难］已知，且，则 的值为_______.（2分） 【解析】，，，，.故答案为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 $