7.卷5 九上第3章 一元二次方程 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过“上分技巧”总结判别式与根的关系、根与系数应用等核心内容，结合错题分析（如甲同学解方程漏根问题）构建知识网络，体现知识点内在逻辑。 其亮点在于融合新考法（如成本下降率）、传统文化（赵爽几何解法）等真实情境，设计“基础诊断-规律探究-综合实践”分层练习，如用判别式判断根的情况培养推理意识，用韦达定理解决实际问题发展模型意识。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

数 学 九年级全一册 湘教版 1 2 3 卷5 九上第3章基础诊断卷（A卷） 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2026天津南开区月考]若一元二次方程 化成一般形式后二次项的系 数是2，则一次项的系数是( ) B A.3 B. C.5 D. 【解析】，， 一次项系数是 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026山西大同一中月考]一元二次方程 可转化为两个一元一次方 程，其中一个是 ，则另一个是( ) D A. B. C. D. 【解析】两边直接开平方可得或 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2026湖南永州月考]关于的一元二次方程 根的情况为 ( ) C A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法判断 【解析】 ， ， 方 程无实数根.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 上分技巧 一元二次方程根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.[2026河北石家庄月考]某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程 ，解答过程如下： 甲 乙 两边同时除以 ，得 移项，得， ， 或，解得， 下列判断正确的是( ) C A.甲正确 B.甲和乙都正确 C.乙正确 D.甲和乙都不正确 【解析】有可能为0，而0不能作除数，方程两边不能同时除以， 甲 的解答过程错误；乙利用因式分解法解一元二次方程，移项，得 ,,或 ，解得 ，， 乙的解答过程正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.[2026湖南邵阳月考]一元二次方程的两根为，，则 的 值为( ) A A.3 B. C. D. 【解析】 一元二次方程的两根为，， , , .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 上分技巧 根与系数关系的应用 求与一元二次方程两根相关的代数式的值时，一般要将代数式转化为“两根和”或 “两根积”的形式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.[2026山东威海环翠区月考]若关于 的一元二次方程的根为 ，则该一元二次方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】，，， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第7题图） 7.[2026湖南长沙月考，中]如图，在五角星中，， ， ，，分别是边与边的交点，若且 ， 则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】设 ，则 ，， ， 整理得，解得，（舍去）， 的值为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.新考法 [2026湖南株洲期中，中]2023年生产1吨药品的成本是5 000元，随着生 产技术的进步，2025年生产1吨药品的成本是3 200元，设这种药品生产成本的年 平均下降率为 ，下列说法错误的是( ) D A. 年这种药品生产成本的年平均下降额是900元 B.2024年生产1吨这种药品的成本为 元 C. D.按照这种下降速度，2026年生产1吨这种药品的成本为2 300元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】 这种药品生产成本的年平均下降率为 ，2023年生产1吨药品的成本是 5 000元，年生产1吨这种药品的成本为 元，故B不符合题意； 年生产1吨药品的成本是3 200元， ，解得 ，（不符合题意，舍去）， 这种药品生产成本的年平均下 降率为，故C不符合题意； 年这种药品生产成本的年平均下降额是 （元），故A不符合题意；按照这种下降速度，2026年生 产1吨这种药品的成本为 （元），故D符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第9题图） 9.传统文化 [2026福建漳州月考，中]我国古代数学家赵爽在其 所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何 解法，以方程，即 为例说明，如图, 大正方形的面积是 ,同时它又等于四个矩形的面积加 上中间小正方形的面积，即 ，因此 C A. B. C. D. ，所以 .在下面四个选项中（每个小正方形的边长 为1），能正确说明方程 的解法的是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】方程，即 .如图，中间小正方形的边长为 ， 其面积为9， 大正方形的面积为 ， 其边长为7， ，因此，C 选项所表示的图形符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 10.规律探究 [2026北京人大附中月考，难]如图是由同样大小的圆按一定规律排 列组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形 中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆, ,按此规律排列下去，现已知第 个图形中圆的个数是134，则 ( ) B A.10 B.11 C.12 D.13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】 第1个图形中一共有 （个）圆，第2个图形中一共有 （个）圆，第3个图形中一共有 （个）圆， 第4个图形中一共有（个）圆， 第 个图形中圆的个数是 ,，解得（舍去）， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.[2026安徽黄山月考]已知是一元二次方程，则 ____. 【解析】是一元二次方程， 且 ，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 上分警示 一元二次方程的系数 注意一元二次方程的二次项系数不能为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 12.[2026吉林长春月考]如果一元二次方程 配方后得到 ，那么 _____. 【解析】根据题意，得可变形为， .故答 案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13.教材新增 [2026河南郑州月考]若一个多边形的对角线条数恰好为边数的2倍， 则这个多边形的边数为___. 7 【解析】设这个多边形的边数为.由题意得，解得或 （舍去）， 这个多边形的边数为7，故答案为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 14.[2026山东烟台十中月考，中]在解一元二次方程 时，小明看错 了一次项系数，得到的解为，；小颖看错了常数项 ，得到的解 为， .请你写出正确的一元二次方程：_______________. 【解析】根据题意得，，解得， ，所以正 确的一元二次方程为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第15题图） 15.[2026湖南岳阳月考，中]如图，这是2025年4 月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式 圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大 的数的乘积为153，则这个最小数为___. 9 【解析】设最小数为，则最大数为 .根据 题意，得 ，整理，得 ，解得 （不符合题 意，舍去）， ，所以这个最小数为9.故答 案为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 16.[2026湖南娄底期中，难]如图所示，中， ， ， ，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿 向点以的速度移动.,分别从,同时出发，设点，的移动时间为 ， 则______时，线段将的面积分成 的两部分. 2或4 （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 【解析】根据题意，知，. 线段 将 的面积分成的两部分，或 ， 或 ，整理得 或（无实数根），解得，，即线段 将的面积分成的两部分时，移动时间为或 .故答案为2或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 三、解答题：本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17.[2026湖南长沙期中]（6分）解方程： （1） .（3分） 【解】原方程可化为 ， ， ， 即 ， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （2） .（3分） 【解】原方程整理得 . ， ， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 18.[2026北京西城区月考]（8分）已知关于 的方程 ， 为常数. （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围分 【解】 方程有两个不相等的实数根， ，…………（3分） 解得 ， 的取值范围是 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由分 【解】小明的观点正确.…………（5分） 理由如下： 当时， .…………（6分） ， 方程没有实数根， 关于 的方程 的根不会为0.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 19.[2026湖南邵阳月考]（8分）某水果店以640元的成本收购了某种水果 ，目 前可以按12元/的价格售出，如果储藏起来，每个星期会损失 ，且每个星期 需支付各种费用16元，但同时每个星期价格会上涨2元/ . （1）设水果店储藏了个星期后出售，则售出的价格为__________元/分 【解析】根据每个星期价格会上涨2元/，可得水果店储藏了 个星期后出售，售 出的价格为元/，故答案为 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）水果店为了获取1 156元的利润，且为了减少浪费，应储藏几个星期后全部 出售？（6分） 【解】设储藏 个星期后全部出售.由题意可得 ，…………（5分） 解得， .…………（6分） 要减少浪费， .…………（7分） 答：应储藏11个星期后全部出售.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 20.新定义 [2026湖南娄底月考]（8分）定义：设， 是方程 的两个实数根，若满足 ，则称此类方程 为“和谐方程”.例如，方程 是“和谐方程”. （1）方程 ______“和谐方程”.（填“是”或“不是”）（2分） 不是 【解析】，, 设方程的两个实数根为,,则 ， ， 不满足 ，故不是“和谐方程”.故答案为不 是.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）［中］若方程是“和谐方程”，求的值分 【解】, 方程有两个 实数根.设方程的两个实数根为,,则， 方程 是“和谐方程”，， ， 即 ，…………（4分） 解得， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （3）［中］若方程 为“和谐方程”，直接写 出，满足的数量关系分 【解】 .…………（8分） 设方程的两个实数根为, ， ，. 方程为“和谐方程”， . ，，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 21.综合与实践 [2026福建福州仓山区月考]（10分）综合与实践：九年级课外小 组计划用两块长为，宽为 的长方形硬纸板做收纳盒. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【任务要求】 任务一：如图（1），设计无盖长方体收纳盒.在长方形硬纸板的四角剪去四个相同 的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒. 任务二：如图（2），设计有盖长方体收纳盒.在另一块长方形硬纸板的四角剪去四 个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和 两边恰好重合 且无重叠部分. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【问题解决】 （1）［中］若任务一中设计的收纳盒的底面积为 ，求剪去的小正方形 的边长分 【解】设剪去的小正方形的边长为 . 由题意得 ，…………（3分） 解得， （不符合题意，舍去）. 答：剪去的小正方形的边长为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）［中］若任务二中设计的收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高 分 【解】设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为 ，宽为 ， ，…………（8分） 解得， （不符合题意，舍去）. 答：该收纳盒的高为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 22.探究性问题 [2026江苏苏州中学月考]（12分）我们已经学习了一元二次方程 的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样 的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解. ①换元法求解四次方程： . 设，则原方程可变为，解得， . 当时，即， ； 当时，即， ， 原方程有四个根：，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 ②因式分解法求解三次方程： . 将其变形为 ， ， ， ， ， 或 ， 原方程有三个根：，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （1）仿照以上方法解方程： ①［中］ ；（5分） 【解】设，则原方程可变为，解得 ， . …………（3分） 当时，即 ，此时无解； 当时，即，， ， 原方程有两个根：， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 ②［中］ .（5分） 【解】将原方程变形为， ， ， ， ，…………（8分） 或 ， 原方程有三个根：，， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （2）［难］已知，且，则的值为_______分 【解析】，，，，.故答案为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 $