第三章一元二次方程（期中知识清单）九年级数学上学期新教材湘教版

第三章 一元二次方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 一元二次方程的概念 1.1 一元二次方程的定义 如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是 2，那么这样的方程称为一元二次方程。 示例： 只含有一个未知数 ，经过整理后含未知数的项的最高次数是 ，是一元二次方程； 整理后是一次方程，不是一元二次方程。 1.2 一元二次方程的一般形式 一般地，关于 的一元二次方程通过整理可以使右边为 ，它的一般形式是 （ 是常数，），其中 分别叫作二次项系数、一次项系数和常数项。 示例：方程 中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 注意：一般形式中必须限定 ，否则方程退化为一次方程，就不再是一元二次方程。 示例：若 ，则 变为 ，不再是二次方程。 2. 一元二次方程的解法 2.1 一元二次方程的解与根 使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。把一元二次方程的所有根都求出来，叫作解一元二次方程。 示例： 和 就是方程 的根。 2.2 配方法 配方的定义 一般地，像上面这样，将多项式 加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方。 示例： 加上 得 ； 加上 再减去 得 。 配方法的定义 方程经配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来解。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 示例：解 ，配方得 ，根据平方根的意义得 或 ，解得 ，。 注意：利用配方法解一元二次方程，实际上是利用平方根的意义，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。 示例：二次项系数不为 时，先化为 再配方。如 两边同除以 得 ，再配方求解。 2.3 公式法 求根公式 一元二次方程 在 的条件下，它的根为 这个式子叫作一元二次方程 的求根公式。 示例： 中 ，，，代入求根公式得 ，即 ，。 公式法的定义 可以运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 示例： 移项得 ，，，，代入求根公式得 。 注意：确定 ，， 的值时，要注意它们的符号。 示例： 中 ，，代入时符号不能错。 2.4 因式分解法 如果 ，那么 ，或 。 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 示例： 分解因式得 ，所以 或 ，即 ，。 注意：利用因式分解法解一元二次方程的实质也是通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 示例： 配方、分解得 ，即 ，。 2.5 解一元二次方程的基本思路——降次 解一元二次方程的基本思路是：将一元二次方程转化为两个一元一次方程，即降次，其本质是把方程 左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即 ，于是原方程可写成 。 示例： 可写成 ，于是 或 ，即降次为两个一元一次方程。 3. 一元二次方程根的判别式 3.1 根的判别式 式子 叫作一元二次方程 的根的判别式，记作“”，即 。 示例： 中，。 3.2 判别式与根的情况的关系 对于方程 ： 的取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 示例： 时如 有两个不相等的实数根； 时如 ； 时如 没有实数根。 注意：若方程不是一般形式，则要先将其化为一般形式，才能确定 ，， 的值。 示例：判断 根的情况，先化为 再算 。 4. 一元二次方程根与系数的关系 4.1 根与系数的关系（韦达定理） 当 时，一元二次方程 的两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，即 这个关系通常被称为韦达定理。 示例： 中，，。 注意：运用根与系数的关系前，需先确保方程有实数根（），并先将方程化为一般形式。 示例： 要先整理为 ，再得 ，。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 特殊值根判定： 与 方程 化为一般形式后：若 ，则有一根 ，另一根为 ；若 ，则有一根 ，另一根为 。 1.2 缺项方程的根的特征 且 时， 的两根互为相反数； 时， 有一根为 ，另一根为 。 1.3 两根对称式速算公式 设 ，，则 ；；；。 【使用提醒】使用前先验证 ，方程确有两个实数根。 1.4 两根符号判定 两正根： 且 且 ；两负根： 且 且 ；一正一负：。 【使用提醒】判两正根、两负根时， 与和、积的符号条件缺一不可；一正一负只看 （此时 恒正，不必再验证）。 1.5 逆用根与系数构造方程 以 ， 为两根的一元二次方程可取 。 1.6 配方求二次三项式的最值 ： 时在 处取最小值 ， 时取最大值。如 ，最小值为 ，此时 。 【使用提醒】若题目限定了 的取值范围，最值点需结合范围讨论，顶点不在范围内时最值在端点处取得。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解法选择四步法 依次观察：①缺常数项先提公因式，形如 的直接开平方；②能十字相乘先分解；③不易分解用公式法，先算 再代入；④配方法只在题目指定或推导时使用。如解 ：，，，不必用公式法。 2.2 判别式求参数范围的规范流程 化一般形式（系数含参数时先写明二次项系数 ）→ 算 → 按“根的情况”列等式或不等式 → 解出参数并回检系数 。特例：题目只说“有实数根”且二次项系数含参，须分系数为 （一次方程）与不为 （）两类，取并集。如 有实数根： 或 ，综上 。 2.3 不解方程求对称式的值 化一般形式 → 确认 → 由根与系数的关系写出 与 → 把目标式变形为只含 、 的对称式（用 1.3），整体代入。如 ：，，则 。 2.4 利用根的定义降次求值 把根 代入方程得 ，即 ，逐次替换降次后整体代入。如 是 的根，则 。 2.5 根据定义求参数（“一元二次方程”双条件） 含参方程是“一元二次方程”须同时满足：最高次数为 ，且二次项系数 。先令指数等于 ，再排除使系数为 的值。如 是一元二次方程： 且 ，故 。 2.6 换元法解复杂方程 同一代数式（如 ）重复出现两次以上时，设其为 ，先解 的一元二次方程，再逐个回代解 。如 ：设 ，得 或 ； 时 或 ； 时无实数解，舍去。 【使用提醒】回代后无实数解的 值一律舍去。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 配方速记 ，即加“一次项系数一半的平方”；二次项系数不是 先化为 十字相乘法分解 找 ， 使 且 ，则 ，解方程时令每个因式为 ，根为 ， 计算防错顺序 先化一般形式、确认系数符号再算 ： 为负时 加括号， 先定符号再乘 ： 配方法比较大小 / 判断非负性 比较 、 就看 的符号：作差后配方写成“平方 常数”判定正负，并单独说明取等条件 ，故 ，当 时取等号 黄金分割比 叫作黄金分割比；线段 可设 ，，化为 求解 时较长段 4. 常见考试模型 4.1 平均增长率 / 下降率模型 公式：两期 ，推广 期为 （ 为基量， 为变化率，增长用加、下降用减）。 限定：下降率须 ，负根舍去。 示例：如 ，（舍负），。 【使用提醒】年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数），比较“哪个下降得快”应算下降率而非下降额。 4.2 营销利润模型 公式：总利润 （售价 进价） 销售量；单价每降低 元销量增加若干件时，设降价 元，得 。 限定：售价高于进价、销量非负，不合题意的根舍去。 示例：如 ，解得 或 ，由售价不能超过进价的 舍去 。 4.3 面积类模型（剪角、边框道路） 公式：矩形四角剪去边长为 的小正方形后折盒，底面为 ；四周等宽 的道路平移后可化为 。 限定：解出的 须使每条边长为正，否则舍去。 示例：如 ，解得 或 ，因 舍去 。 4.4 数字问题模型 公式：连续整数设 ，，；连续奇数、偶数设 ，，；两位数 十位数字 个位数字。 限定：解出的 须使每个数位符合实际（如十位数字不为 ）。 示例：如三个连续奇数平方和为 ：，解得 （舍负），三数为 ，，。 4.5 动态几何（点动问题）模型 公式：点 、 沿边运动，用时间 表示相关线段（如 ，，），再代入面积等关系式列方程。 限定： 受点的运动范围（到达终点前）限制，超出范围的根舍去。 示例：如 ，解得 ，即出发 后 面积为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参方程是“一元二次方程”，漏了二次项系数 典例：若 是关于 的一元二次方程，求 的值。 错解：由 得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解错误。“一元二次方程”的定义包含两个缺一不可的条件：未知数的最高次数是 、二次项系数不为 。学生只盯着“次数”这个显性条件列式，把“系数不为 ”当成理所当然，忽略了 时二次项消失、方程退化为一元一次方程。凡由定义反求参数，都要回代检查系数是否为 。 易错点 2：“方程有实数根”不等于“二次方程有实数根”，漏讨论二次项系数为 典例：关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 错解：方程有实数根，则 ，即 ，所以 或 。 正解：① 当 即 时，方程为 ，不成立，无实数根；② 当 时，，得 或 ，且 。综上， 或 。 原因：漏分类讨论。学生把“有实数根”直接翻译成“”，默认方程已经是二次方程；当二次项系数含参数时，必须先讨论系数为 的退化情形——此时方程可能是一次方程（有根），也可能是矛盾方程（无根）。本题恰好是矛盾方程， 必须剔除；而“有两个不相等的实数根”类题目则必须强调系数 ，两种问法的隐含条件不同。 易错点 3：两边约去含未知数的因式，丢根 典例：解方程：。 错解：两边同除以 ，得 。 正解：移项得 ，即 ，所以 或 ，即 ，。 原因：思维层面的解法错误——把解一元一次方程时“两边同除以同一个非零数”的习惯，迁移到了含未知数的式子上。 的值随 变化， 时它恰为 ，两边同除导致失根。因式分解法解方程的依据是“两个因式之积为 ，则至少一个因式为 ”，必须先移项使一边为零，再分解降次，绝不能随意约去含未知数的因式。 易错点 4：完全平方式只配正的一次项系数，漏负值 典例：若 是完全平方式，求 的值。 错解：因为 ，所以 ，即 。 正解：完全平方式要求一次项系数为 ，即 或 ，解得 或 。此时原式分别为 或 。 原因：漏分类讨论。学生把“完全平方式”默认为“ 的形式”，忽略了 也是完全平方式，一次项系数可以取负。根源是对完全平方公式 中“”只记了“”。凡“待定系数 常数的两倍”构造完全平方式，都要成对取值。 易错点 5：实际问题的解不检验，保留不合题意的根 典例：一块长方形木板长 ，宽 ，四周锯下等宽的边框后，剩余部分面积为 ，求边框的宽度。 错解：设边框宽 ，则 ，展开得 ，即 ，解得 ，。所以边框宽度为 或 。 正解：解得 ，。检验：当 时，剩余部分的宽为 ，边长不能为负，不合题意，舍去。所以边框宽度为 。 原因：忽略隐含条件。列方程只保证了“面积等于 ”这一数量关系，但根必须回到实际情境检验：剩余部分的长、宽都要为正（ 必须小于长、宽的一半）。学生潜意识认为“方程解出来就是对的”，缺少“解方程 → 检验 → 作答”的完整意识；一元二次方程有两个根，应用题舍根是常态而不是例外。 易错点 6：用根与系数的关系前不验证 典例：已知一元二次方程 的两根为 ，，求 的值。 错解：由根与系数的关系得 ，，所以 。 正解：先看根是否存在：，方程没有实数根，因此 ， 不存在， 的值无从谈起。 原因：忽略使用前提。根与系数的关系成立的前提是方程有实数根（），学生一看到含 、 的题目就直接套公式求值，跳过了“方程是否有实数根”的验证。这类题目正是围绕这个前提设坑：系数凑出 ，错的不是计算而是第一步。 学科网（北京）股份有限公司 $