5.卷3 九上第2章 锐角的正弦、余弦、正切 综合检测卷-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦锐角三角函数，系统梳理定义、特殊角值及解直角三角形应用，通过“上分心得”明确边角关系，结合基础例题与实际情境题，构建从概念到应用的知识网络。 其亮点在于融合跨学科与探究性问题，如光线折射计算培养数学眼光，规律探究题发展推理意识，分层设计从基础计算到综合应用，助力学生巩固知识，教师精准教学。

数 学 九年级全一册 湘教版 1 2 3 卷3 九上第2章综合检测卷 考查内容：锐角的正弦、余弦、正切 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2026江西南昌月考]在中，，则 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】，与相邻的直角边是，斜边是， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 上分心得 直角三角形中边角之间的关系 ，，（在 中，，，，分别是，， 的对边）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.[2026湖南常德期末]若为锐角，且，则 等于( ) D A.1 B. C. D. 【解析】为锐角，且，， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第3题图） 3.[2026湖南岳阳期末]如图，河坝横断面迎水坡的坡比为 ， 坝高为，则坡面 的长度为( ) C A. B. C. D. 【解析】河坝横断面迎水坡的坡比为， . ，，.由题意得， 由勾股定理得， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第4题图） 4.[2026湖南邵阳质检]如图，在中，， 是 斜边上的中线.已知，，则 的值是( ) B A. B. C. D. 【解析】在中，是斜边上的中线， ， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.[2026湖南株洲期末]若， 均为锐角，且满足 ，则 是( ) B A.直角三角形 B.等边三角形 C.含有 角的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形 【解析】， ， ，，.，均为锐角， ， ，， 是等边三角形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.[2026湖南岳阳月考]如图，一块矩形木板 斜靠在墙边， ，点，，，，在同一平面内， ， ，，则点到 的距离为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】如图，作于点，作交延长线于点 . ，，四边形 是矩 形，.四边形是矩形，， ， ，.， ， .在 中， ，在中， ， ，点到的距离为 ，故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.新考法 [2026福建漳州期末，中]某小区停车场出口处安装了“两段式道闸”，如 图（1）所示，点是道闸转动的支点，点 是两段道闸的连接点.当车辆经过时， 道闸 最多只能升到如图（2）所示位置，其示意图如图（3）所示（栏杆宽度 忽略不计），其中，，， 米 （参考数据：，， ），则车辆限高的高 度适合的是( ) A 图（1） 图（2） 图（3） A.1.9米 B.2.1米 C.2.0米 D.2.2米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】如图，过点作于，过点作于，则四边形 为矩形，.，，， . ，，.在 中，米， （米）， （米）米， 车辆限高的高 度可以为1.9米，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第8题图） 8.[2025山东济南中考，中]如图，在由边长为1个单 位长度的小正方形组成的网格中，点，，， ， 都在网格的格点上，则下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】如图，过点作于点，过点作 于点，则. 正方形网格中小正方形的 边长为1，，，，.在 中，，在 中， ，.又 和都是锐角，， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第9题图） 9.[2026湖南长沙天心区期中，中]如图，在 中， ，是斜边上的中线，过点作 交于点.若，，则 的面积为 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】如图，过点作，垂足为. ， ，， ， ，设，则 ， .是斜边上的中线， ， ，，. ， ，，，.在 中， ，，，， ， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第10题图） 10.[2026河北邯郸育华中学月考，难]对于题目：“如图， ，上从左至右存在两点， ， ，为上一点，当 为等腰直角三角形时， 求 的值.”对于其答案，甲答：，乙答： ， 丙答：或 ，则正确的是( ) C A.只有甲答案对 B.甲、乙答案合在一起才完整 C.甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】依题意，当 为等腰直角三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图（1）所示.为等腰直角三角形， . ，.在中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 图（1） 图（2） 图（3） ②当时，如图（2）所示.为等腰直角三角形， . ，，.在 中， . ③当时，过点作于点，如图（3）所示. 为等腰 直角三角形，. ， ，.在 中， .综上所述，甲、丙答案合在一起才完整.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.[2026湖南湘潭质检]在中，，，若将 三边都扩大3倍得到，则 __. 【解析】的三边都扩大3倍后 的大小没有变化， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12.[2026安徽合肥月考]如图，某公司安装了一个人脸打卡器， 是高 的门框，某人高，只有当 时，他才能开门， 那么长为______.（参考数据：， ， ，保留1位小数） 【解析】如图，过点作，垂足为.由题意易知四边形 是 矩形，， ， .在中， ， ， .故 答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 13.[2026上海静安区月考]在平面直角坐标系内有一点，点与原点 的连 线与轴的正半轴的夹角为 ，那么 ___. （第13题图） 【解析】作轴于点，如图所示.点 ， ，. ， ，，即 ， 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第14题图） 14.[2026湖南邵阳校级月考，中]如图，一艘货轮以36海里/时的 速度在海面上航行，当它行驶到 处时，发现它的东北方向有一 灯塔.货轮继续向北航行40分钟后到达处，发现灯塔 在它北 偏东方向上，则此时货轮与灯塔 的距离为______海里. （结果保留根号） （第14题图） 【解析】如图，过点作于点 ，则 .由题意可得 （海里）. ， （海里）. ，， （海里），故答 案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 15.新定义 [2026湖南邵阳期末]我们给出定义：如果两个锐角的和为 ，那么称 这两个角互为三分余角.如图，在中，，互为三分余角，且 ， 则 _ ___. （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第15题图） 【解析】如图，过点作，交的延长线于点 ， .，设，. ， 互为三分余角，.是 的 一个外角，， . ，， ， .在 中，根据勾股定理 得， ，故 答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 16.新考法 [2026浙江宁波镇海蛟川书院月考，难]我们把只有一组邻边相等，且 两组对角分别互补的四边形叫作“邻补四边形”.如图，在 中， ，，点，分别在边，上.如果四边形 是“邻补 四边形”，那么四边形 的面积是_ ___________. 或 （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解析】作于点.，，， .在 中，.，， ， .分情况讨论：①当时，， ， 这种情况不符合题意，舍去.②当时，，点和点 重 合，这种情况不符合题意，舍去.③当 时，如图（1）， ，， ， ，.点在上， ， 与重合.作于点，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 ，， ， .④当 时，如图（2），作于点，同理可得 ， .设，则 ， . ， ，即 ，解得，则，， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 .故答案为 或 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题：本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17.[2026湖南长沙期中]（6分）计算： （1） ；（3分） 【解】原式 .…………（3分） （2） .（3分） 【解】原式 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 18.[2026浙江杭州西湖区月考]（8分）如图（1），在水平地面上，一辆小车用一 根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图（2），此时测得点 到所在直线的距离， .停止位置示意图如图（3），此时 测得（点，，在同一直线上，且直线 与水平地面平行），图 （3）中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变. （参考数据：，，， ） 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （1）求 的长；（3分） 【解】由题意得 . ， ， 在中，由 ， 得 ，…………（2分） .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）求物体上升的高度（结果精确到 ）.（5分） 【解】在中，由勾股定理得 .…………（4分） 在中，，， .………… （6分） 由题意得， ， ，…………（7分） . 答：物体上升的高度约为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 19.[2026湖南岳阳期中]（8分）如图，在中，， ， ，点在边上，且，，垂足为，连接 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （1）求线段 的长；（4分） 【解】如图所示，过点作于点 .…………（1分） ，， ， .…………（2分） 在中， ， . …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）求 的正切值.（4分） 【解】如图，，， .…………（5分） ，， ，…………（6分） ， .…………（7分） 又，， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 20.跨学科问题 [2026福建厦门湖里区月考]（8分）光线从空气射入水中会发生折 射现象，发生折射时，满足的折射定律如图（1）所示，折射率 （代表入射角， 代表折射角）.小明为了观察光线的折射现象，设计了如图（2） 所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到 物块.图（3）是实验的示意图，所有点在同一平面内，点，， 在同一直线上， 测得，， . 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （1）［中］求 的长度；（3分） 【解】如图，作于点，则四边形 是矩形， ，…………（1分） ， . ， ，…………（2分） . 答：的长度为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］求光线从空气射入水中的折射率 的值.（5分） 【解】，， .…………（4分） ，，， ， .…………（6分） ， ，…………（7分） ，光线从空气射入水中的折射率的值为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 21.规律探究 [2026湖南娄底月考]（10分）在中，，，， 的对边分别为，， .根据锐角三角函数的定义，我们不难发现有这样两个规 律：， ，利用所学过的知识来尝试解决 下列问题： （1）［中］若，求 的值；（3分） 【解】， . ，， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （2）［中］求 的值；（4分） 【解】，，， ， （3）［中］为锐角，化简 .（3分） 【解】 ， 原式 .…………（10分） ， .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 22.探究性问题 [2026四川内江月考]（12分）在学习锐角三角函数时，小明同学 对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚 的兴趣，并进行了一些探究. （1）初步尝试： 我们知道____， _ __. 发现结论 ___ （填“”或“ ”）.（每空1分） 【解析】根据特殊角的三角函数值得， . ， . 故答案为，， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （2）［中］在中，，， ，求 的值. 研究思路：小明想构造包含 的直角三角形，于是延长 至，使得，连接，如图，所以得到，即转化为求 的正切值，那么 __.（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【解析】延长至，使得，连接 ， ，， . 在中，，，由勾股定理得 ， ，，在 中， ，.故答案为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （3）［难］在中，为锐角，，， ，求 的值.（6分） 【解】过点作于点，在上截取 ，使得 ，连接 ，如图所示. ，，是线段 的垂直平分线， ， . ， ， ， ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 在中，，设，则 ， ， ， . ， ， ， ， . 在中，由勾股定理，得 ， ，…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 整理，得.， ， ， ， .………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $