11.3 等腰三角形 培优作业 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 初中数学第11章“等腰三角形”同步练，分3课时，每课时设“夯基础”“练能力”分层，梯度设置合理，知识覆盖从单一性质到综合应用，强化推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|等腰/等边三角形性质判定、反证法步骤|选择填空为主，如等腰三角形角度计算、反证法假设训练，巩固基础概念| |练能力|动态几何、旋转探究、综合证明|解答题为主，如动点问题、等边三角形旋转夹角探究，提升推理与创新意识|

第11章 三角形的证明及其应用 3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形 夯基础 1.如图,在△ABC 中,AB =AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB=( ) A.100° B.115° C.130° D.145° 2.如图,在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=40°,AD⊥BC 于点 D,点 E 为 AC 中点,AD 与 BE 交于点 F,则∠BFD 的度数为 ( ) A.25° B.50° C.60° D.70° 3.如图,∠A = 36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.如图,点 M,N 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个4×4 方格纸中,找出格点 P 使△MNP 为等腰三角形，那么满足条件的格点 P 的个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为50°，这个风筝的顶角可能是 ( ) A.80° B.50° C.50°或65° D.80°或50° 6.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰△ABC 是“倍长三角形”,腰 AB 的长为6,则△ABC 的周长为 . 7.如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 为BC 边上一点,点 E 在边AC上,BD=CE,AC=DC,∠BAC=80°,则∠ADE 的度数为 . 8.如图,在 △ABC 中,AB=AC,D 为BC 中点,过点 D 作DP⊥AB,DP=3,E 为 BC 上一点,过点 E 作EM⊥AB, EN ⊥AC, EM = 4.2,则EN= . 9.如图,在△ABC 中,AD 为BC 边的中线,E为AD 上一点,连接 BE 并延长交AC 于点F,若∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则 CF 的长为 . 10.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,E 是BC上一点,BE=CD,EF∥AD 交AB 于F 点,交 CA 的延长线于 P,CH∥AB 交AD 的延长线于点 H. (1)求证:△APF 是等腰三角形; (2)猜想 AB 与 PC 的大小有什么关系?证明你的猜想. 练能力 11.在△ABC 中,AB≠AC,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于O点,MN 经过点O,与 AB,AC 相交于点M,N,且MN∥BC. (1)如图 1，直接写出图中所有的等腰三角形； (2)猜想:MN 与 BM,CN 之间有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图 2,△ABC 中,∠ABC 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于点O，过O 点作OM∥BC 交AB 于点 M,交 AC 于点 N.图中有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.写出 MN 与BM，CN 之间的数量关系，并说明理由. 12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,已知AC=10,BC=6,AB=8，动点 P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 A-B-C-A 运动,设点 P 的运动时间是t秒. (1)当0<t≤4时，用含有 t 的代数式表示BP 的长 ; (2)当△CBP 是以CP 为腰的等腰三角形时，求t的值； (3)当点 P 在直角边AB,BC 上运动过程中，如果点 P 到△ABC 的两条边距离相等，求t的值； (4)当点 P 与△ABC 顶点连接的线段将△ABC 的周长分为相等的两部分时，直接写出t 的值. 第2课时 等边三角形 夯基础 1.在△ABC 中,若AB=AC=5,∠B=60°,则 BC 的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图,直线l∥m∥n,等边△ABC 的顶点 B,C 分别在直线n 和m上,边 BC 与直线n 所夹的角为∠1=29°,则∠2的度数为 ( ) A.29° B.41° C.31° D.30° 3.如图，在边长为6的等边△ABC 中,BD 是AC 边上的中线,延长BC 至点 E,使 CE = CD,连接 DE,则DE= ( ) A.3 B.4 C. D. 4.如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为 ( ) A.α+β+γ=60° B.α-β+γ=60° C.α+β-γ=60° D.α+2β-γ=60° 5.如图,在△ABE 和△BCD 中,AB = BE = EA,BC=CD =DB，且两个三角形在线段 AC 同侧，下列结论:①△ABD≌△EBC ②△NBC≌△MBD③△ABM≌△EBN④△AME≌△BCD.其中正确的是( ) A.①② B.①②③ C.①③④ D.②③④ 6.如图，等边△ABC 的边长为3，过点 B 的直线l⊥AB,且△ABC 与△A'BC'关于直线l对称,D 为线段BC'上一动点,则 AD+CD 的最小值是 ( ) A.9 B.6 C.5 D.4 7.如图,已知∠MON=30°,点 A₁,A₂,A₃,…在射线ON 上,点 B₁,B₂,B₃,…在射线OM 上,△A₁B₁A₂, △A₂B₂A₃, △A₃B₃A₄, …均为等边三角形，若( 则△A₆B₆A₇的边长为 ( ) A.16 B.32 C.64 D.128 8.如图,△ABC 为等边三角形,∠2=∠3,则∠BEC 的度数是 . 9.如图，点 M 是等边三角形ABC 内的任意一点，过点 M 向三边作垂线,垂足分别为 D,E,F.若△ABC 的边长为6,则AE+BD+CF 的值为 . 10.如图,在等边△ABC中,D 是 AC 上一点,DE⊥BC 于点 E,DF⊥AC 交 CB 的延长线于点 F,AD=BF,BE=4,求AB 的长. 11.如图,△ABC 是等边三角形,BD⊥AC,AE⊥BC,垂足分别为 D,E,连接 DE. (1)若BE=6,求AB 的长; (2)求证:△CDE 是等边三角形. 练能力 12.综合与实践 【问题情境】 活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”(注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于 90°的角).如图 1，将等边△ABC 绕点 A 逆时针旋转 15°得到△ADE,则线段 BC 与线段 DE 的夹角∠BMD=15°,如图2,将等边△ABC 绕点A 逆时针旋转 100°得到△ADE,则线段BC 与线段 DE 所在直线的夹角∠BMD=80°. 【特例分析】 (1)如图1,若将等边△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°得到△ADE,线段 BC 与线段DE 所在直线的夹角度数为 度；如图2，若将等边△ABC 绕点A 逆时针旋转 110°得到△ADE,线段 BC 与线段 DE所在直线的夹角度数为 度； 【类比分析】 (2)如图3，已知△ABC 是等边三角形，分别在边 AB 和AC 上截取AD 和AE,使得AD=AE,连接DE,将△ADE 绕点 A 逆时针旋转θ(0°≤θ≤180°),连接CE,当 BC和 DE 所在直线互相垂直时，线段 AE，AC，CE 之间有怎样的等量关系?试探究你的结论，并说明理由； 【延伸应用】 (3)在(2)的条件下,如图 3,若 AB =4, 将△ADE 绕点A 逆时针旋转θ(0°≤θ≤360°).当 BC 和DE 所在直线互相垂直时，请求出此时CD 的长. 第3课时反证法 夯基础 1.用反证法证明命题“一个三角形最多有一个直角”时，应假设这个三角形中 ( ) A.没有一个是直角 B.有两个直角 C.有三个直角 D.至少有两个直角 2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于 60°”时，应先假设( ) A.有一个内角小于 60° B.每一个内角都大于 60° C.有一个内角小于或等于 60° D.每一个内角都小于 60° 3.我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长 a，b，c(a≤b≤c)满足 时，这个三角形不是直角三角形”.假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理得 这与已知条件 矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形.上述推理使用的证明方法是 ( ) A.比较法 B.反证法 C.综合法 D.分析法 4.用反证法证明命题：“在△ABC 中,若 BC>AC,则∠A>∠B”,应先假设 . 5.用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于 90°”时，应假 设 . 6.用反证法证明“a<|a|,则a必为负数”.证明：假设a 不是负数，那么a 是 或 . ①如果 a 是零，那么a=|a|，这与题设矛盾，所以a 不可能是零； ②如果 a 是 ,那么a=|a|,这与 矛盾，所以a 不可能是 .综合①和②，知a 不可能是 ，也不可能是 ，所以a 必为负数. 7.用反证法证明:如果a+b>0,那么a,b中至少有一个大于零. 练能力 8. 如图,在 △ABC 中,AC > AB, AD 是△ABC 的中线,AE⊥BC 于点 E,用反证法证明：点 D 与点 E 不重合. 第1课时等腰三角形 1. B 2. D 3. D 4. C5. D 6.15 7.50°8.1.8 9.2.4 10.解:(1)证明:如图,∵EF∥AD, ∴∠1=∠4,∠2=∠P. ∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2, ∴∠4=∠P,∴AF=AP,即△APF 是等腰三角形； (2)AB=PC.理由如下: ∵CH∥AB,∴∠5=∠B,∠H=∠1. ∵EF∥AD,∴∠1=∠3,∴∠H=∠3,在△BEF 和△CDH 中, ∴△BEF≌△CDH(AAS), ∴BF=CH. ∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2, ∴∠2=∠H,∴AC=CH,∴AC=BF. ∵AB=AF+BF,PC=AP+AC, ∴AB=PC. 11.解:(1)图中等腰三角形有△BMO,△CNO;(2)MN 与 BM,CN 之间的关系是 MN=BM+CN.理由如下: ∵△BMO为等腰三角形， ∴BM=MO, ∵△CNO为等腰三角形， ∴ON=CN, ∴MN=OM+ON=BM+CN; (3)图中等腰三角形有△BMO,△CNO;MN=BM-CN. 理由如下： ∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACH, ∴∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCH. ∵OM∥BC, ∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCH, ∴∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO, ∴BM=OM,CN=ON, ∴MN=MO-NO=BM-CN. 12.解:(1)8-2t; (2)∵当△CBP 是以 CP 为腰的等腰三角形时,点 P 一定在AC 上, ①若CP=BC=6, ∴2t-(8+6)=6, ∴t=10; ②若CP=BP, ∴∠C=∠PBC. ∵∠C+∠A=90°,∠ABP+∠PBC=90°, ∴∠A=∠ABP,∴BP=AP, 综上所述，当△CBP 是以CP 为腰的等腰三角形时，t 的值为10或 (3)当点 P 在直角边 AB,BC 上运动过程中，如果点 P 到△ABC 的两条边距离相等，①当点 P 与点 B 重合时，点P 到直角边AB,BC的距离都等于0,此时2t=8,解得t=4; ②当点 P 在AB 上时,点 P 到边AC,BC 的距离都等于 BP,此时 BP =48-2t, 如图2,过点 P 作 PH⊥AC,∴PH=BP=8-2t. 解得 ③当点 P 在BC 上时,点 P 到边AB,AC 的距离都等于 BP,此时 BP=42t-8, 如图3,过点 P 作 PH⊥AC,∴PH=BP=2t-8, 第12题图 解得 综上所述，当点 P 在直角边AB，BC上运动过程中，如果点 P 到△ABC 的两条边距离相等，t 的值为 或4或 (4)∵∠ABC=90°,AC=10,BC=6,AB=8,∴△ABC 的周长为10+8+6=24, ∴点 P 与△ABC 顶点 连接的线段将△ABC 的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为12， 当点 P 在AB 上时,AP+AC=12, ∴10+2t=12, ∴t=1; 当点 P 在BC 上时,PB+AB=12,∴2t=12,∴t=6; 当点 P 在AC上时,BC+CP=12,∴2t-14+6=12,∴t=10; 综上所述，t的值为1或6或10. 第2 课时等边三角形 1. C 2. C 3. C 4. B 5. B 6. B 7. C8.120°9.9 10.解:如图,作 DG∥BC交AB 于点G, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠A=∠ABC=∠C=60°, ∴∠AGD=∠ABC=60°,∠ADG=∠C=60°,∴△AGD 是等边三角形, 设AD=AG=GD=m,∵DF⊥AC 交CB的延长线于点F,AD=BF, ∴∠ADH=∠CDF=90°,BF=m, ∴∠BHF =∠GHD =∠GDH =∠F = ∴GH = GD = m, BH = BF = m, ∴BC=AB=AG+GH+BH=3m, ∴CF=BC+BF=3m+m=4m, ∵DE⊥BC 于点E,BE=4, ∴∠DEF=90°, ∴BE=BC-CE=3m-m=2m=4, ∴m=2,∴AB=3×2=6. 11.解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴AB=BC. ∵BD⊥AC,AE⊥BC, ∴AB=12; (2)证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴AC=BC,∠C=60°. ∵BD⊥AC,AE⊥BC, ∵∠C=60°,∴△CDE 是等边三角形. 12.解:(1)30,70; 理由如下：如图1,延长CB 与DE,相交于点 M,可求得∠ADM+∠ABM=180°, ∴∠DAB+∠DMB=180°. ∵DM⊥BC, ∴∠DMB=90°, ∴∠DAB=90°, (3)如图1,作 DF⊥CA 交CA 的延长线于点F,连接CD, 由(2)得∠CAE=90°, ∵△ADE 是等边三角形,∴∠DAE=60°, ∴∠DAF=30°. ∵∠AFD=90°, ∴CF=AF+AC=7, 如图2， 同理得.AF=3,DF= ∴CF=AC-AF=1, 综上所述， 或2. 第3课时反证法 1. D 2. D 3. B 4.∠A≤∠B 5.每个内角都小于90° 6.0 正数 正数题设正数0 正数 7.证明：假设a，b都不大于零， 即a≤0,b≤0, 所以a+b≤0, 这与已知条件a+b>0矛盾， 所以假设不成立. 所以a，b中至少有一个大于零. 8.证明:假设点 D 与点 E 重合. ∵AD 是△ABC 的中线,AE⊥BC, ∴AD 垂直平分BC, ∴AB=AC,与AC>AB 相矛盾, ∴点 D 与点 E 不重合. 学科网（北京）股份有限公司 $