11.3 等腰三角形 随堂练 2025-02026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

第11章·三角形的证明及其应用 3 等腰三角形 第 1 课时 等腰三角形 列清单·划重点 知识点① 性质———等边对等角 等腰三角形的 相等.(简称：等边对等角) 符号语言： ∵AB=AC, ∴ . 知识点② 性质———“三线合一” 等腰三角形 的平分线、 的中线、 的高互相重合. 符号语言：如图， (1)∵AB=AC,∠1=∠2, ∴AD⊥BC, . (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, . (3)∵AB=AC, , ∴∠1=∠2,BD=CD. 注意此推论也称为“三线合一”定理.在应用时，需注意必须是等腰三角形为已知. 知识点③ 判定 是等腰三角形.(简称：等角对等边) 符号语言：如图， ∵ , ∴AB=AC. 知识点④ 相关结论 1.等腰三角形两底角的平分线相等； 2.等腰三角形两腰上的中线、高线相等； 3.等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等. 注意当只知道等腰三角形的一个内角时，需分类讨论该角是底角还是顶角，要注意的是顶角可能是锐角、直角或者钝角，但底角只能是锐角. 明考点·识方法 考点①等腰三角形的性质——等边对等角典例1 如图，在△ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接AD,∠B=40°,∠C=34°,则∠DAC 的度数是 . 思路导析先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BAD=70°,∠BAC=106°,再根据∠DAC=∠BAC-∠BAD 得出答案. 变式1 一个等腰三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，这个等腰三角形的周长是 厘米. 变式2 如图,在△ABC中,AB=AC,点 E,F 分别在边 AB,AC上,连接BF,CE,CB=CE=CF. (1)当∠A=40°时,求∠BFC 的度数; (2)若∠BFC+∠BEC=126°,求∠A 的度数. 考点② 等腰三角形的性质——“三线合一” 典例2如图所示，BD与CE 相交于点 A,且 AB = AC,AD =AE,△ABC 的中线 AG 的反向延长线交DE 于点 F,则 AF 与 DE 垂直吗?为什么? 思路导析由“三线合一”得∠BAG=∠CAG,由对顶角相等得 ∠FAD = ∠BAG,∠CAG =∠EAF,从而得∠EAF=∠DAF,再由“三线合一”证得AF⊥DE. 变式 如图,△ABC 中,AD⊥BC,EF 垂直平分AC,交 AC 于点F,交 BC 于点 E,且AE=AB. (1)若∠C=35°,求∠BAE 的度数; (2)若△ABC 周长为20cm,AC=8cm,求CD 的长. 考点③ 等腰三角形的判定——等角对等边 典例3 如图,在△ABC中,AB=AC,M,N 分别是AB,AC 边上的点,并且MN∥BC. (1)求证:△AMN 是等腰三角形; (2)点 P 是 MN 上的一点,并且 BP 平分∠ABC,求证:△BPM 是等腰三角形. 思路导析(1)由AB=AC 得∠ABC=∠C,借助平行证∠AMN=∠ANM,即可得结论; (2)由角平分线得∠MBP=∠PBC,由平行得∠PBC=∠MPB,进而求证∠MBP=∠MPB,从而可得结论. 变式 如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,BF 平分∠ABC 交CD 于E,交AC 于F. 求证:CE=CF. 考点④ 等腰三角形的性质和判定的综合应用 典例4 如图,在△ABC 中,AB=AC,过 CA 延长线上一点 D 作DE⊥BC 于点 E,交 AB 于点 F,已知 F 为AB 的中点. (1)求证:△ADF 为等腰三角形; (2)若 EF=3,求 DE 的长. 思路导析(1)等边对等角，得到∠B=∠C，等角的余角相等，结合对顶角相等，推出∠D =∠AFD,即可得证;(2)作 AG∥BE,交 DE 于点G,进而得到 AG⊥DF,三线合一,得到 DG=FG,证明△AGF≌△BEF,得到 GF=EF,进而推出DE=3EF,即可得出结果. 变式 如图,在△ABC中,AB = AC,∠BAC = 36°, BD 平分∠ABC 交AC 于点D.过点 A 作AE∥BC,交 BD 的延长线于点E. (1)求∠ADE 的度数; (2)判断△ADE 的形状，并说明理由. 第2课时 等边三角形 列清单·划重点 知识点① 等边三角形的性质 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 . 符号语言:如图,∵AB=AC=BC,∴ = = = . 知识点② 等边三角形的判定 1.有 的等腰三角形是等边三角形. 符号语言:如图,∵AB=AC,∠B=60°,(∠A=60°或∠C=60°) ∴△ABC 是等边三角形. 2. 的三角形是等边三角形. 符号语言:如图,∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC 是等边三角形. 知识点③ 含 30°角的直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果 ，那么它所对的直角边等于 . 符号语言:如图,在 Rt△ABC 中, 明考点·识方法 考点①等边三角形的性质 典例1如图，在等边三角形 ABC 中,D 为边 BC 的中点,以点A 为圆心，AD 为半径画弧，与 AC 边的交点为E,则∠CDE 的度数为 . 思路导析借助三线合一的性质，等边三角形角的性质与三角形内角和求得∠ADC，∠DAE，∠ADE,进而求得∠CDE 即可. 变式1 如图，在等边△ABC 中,BE 和CD 分别是AC 和AB 边上的高，且相交于点O，则∠BOC 的度数为( ) A.100° B.120° C.150° D.160° 变式2 如图，在等边△ABC 中,AB=4cm,BD 平分∠ABC,点E 在 BC 的延长线上,且∠E=30°,则 CE的长是 ( ) A.1 cm B.2cm C.3cm D.4 cm 考点②等边三角形的判定 典例2 将含 30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若∠1=60°,则△ABC 是 三角形. 思路导析由平行线的性质得到∠ACB=∠1=60°，又易知∠A=60°，由三角形内角和定理求出∠ABC=60°,得到∠A=∠ABC=∠ACB,即可证明△ABC 是等边三角形. 变式1 下列条件中，能判定△ABC 为等边三角形的是 ( ) A.∠A=60° B.∠B+∠C=120° C.∠B=∠C D.∠B=60°,AB=AC 变式2 已知a,b,c 是△ABC 的三条边,若满足 则△ABC 的形状为 三角形. 考点③等边三角形的性质和判定综合 典例3 如图，点 D 在等边△ABC 的外部、E 为BC 边上的一点,AD=CD,DE 交AC于点F,AB∥DE. (1)判断△CEF 的形状，并说明理由； (2)若 BC=10,CF=4,求 DE 的长. 思路导析(1)利用平行线的性质，证明∠CEF=∠ABC,∠CFE=∠CAB,然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； (2)连接BD,根据已知易证△DAB≌△DCB,可得∠ABD=∠CBD,根据 AB∥DE,得∠ABD=∠EDB，证明△BDE 是等腰三角形即可解答. 变式 1 如图,已知∠AOB=30°,点 P 在∠AOB 内部,P₁ 与P 关于OB 对称,P₂ 与 P 关于OA 对称,则 P₁，O，P₂三点所构成的三角形的形状是 ;连接 P₁P₂,交 OA于 N,交 OB 于 M, 则△PMN的周长为 . 变式2 如图,在△ABC中,∠ABC = 60°, AB = AC = 6,D 为△ABC 内部一点,DA = DC,过点 D 作DE∥AB,交 BC 于点 E.若 DE=2,求 EC的长. 考点④含30°角的直角三角形的性质 典例4 如图，在等边三角形 ABC 中,AB=4,BD⊥AB,CD∥AB,则 CD 的长度为 . 变式1 △ABC 中,AB=4,∠B=∠C=15°,则△ABC 的面积是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 变式2 如图,在△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,点 M 在线段 BC(不包含点 B)上运动,连接AM,将△ABM沿直线AM 翻折得到△AB'M. (1)当 B'M⊥BC 时,∠BAB'的度数为 ; (2)在点 M 运动的过程中，点 B'到直线BC的距离的最大值是 . 第3课时 反证法 列清单·划重点 知识点● 反证法 1.定义：先假设命题的 ，然后推导出与 相矛盾的结果，从而证明 .这种证明方法称为 . 2.证明步骤： (1)反设：假设结论的反面成立； (2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾； (3)结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定原命题的结论成立. 明考点·识方法 考点● 反证法 典例用反证法证明：如果在△ABC 中，∠C=90°,那么∠A,∠B 中至少有一个角不大于45°. 思路导析假设∠A>45°,∠B>45°,根据三角形内角和定理，判断假设不成立，即可证得原命题. 变式1 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.用反证法证明命题：四边形的外角中至多有3个钝角，第一步应假设( ) A.四边形的外角中没有钝角 B.四边形的外角中有1个钝角 C.四边形的外角中有2个钝角 D.四边形的外角全部都是钝角 变式2 小明在解答“已知△ABC 中,AB=AC,求证∠B<90°”这道题时,写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： ①所以∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾. ②所以∠B<90°. ③假设∠B≥90°. ④那么,由 AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°. 请你写出这四个步骤正确的顺序 .变式3 用反证法证明：如果五个正数的和等于1，那么这五个数中至少有一个大于或等于 第1课时 等腰三角形 【列清单·划重点】 知识点1 两个底角 ∠B=∠C 知识点2 顶角 底边上 底边上 (1)BD=CD (2)∠1=∠2 (3)AD⊥BC知识点3 有两个角相等的三角形∠B=∠C 【明考点·识方法】 典例1 36° 变式1 26或22 变式2 解:(1)∵AB=AC, ∵CB=CF, (2)∵AB=AC,CB=CE, ∴∠CBE=∠CEB=∠BGF. ∵∠BFC+∠BEC=126°, ∴∠BFC+∠BCF=126°, ∴∠BFC=∠CBF=54°, ∴∠CBE=∠BCF=72°, 典例2 解:AF⊥DE,理由如下: 在△ABC 中,AB=AC,AG 是中线, ∴AG平分∠BAC,即∠BAG=∠CAG. 又∵∠EAF=∠CAG,∠DAF=∠BAG, ∴∠EAF=∠DAF,即AF 平分∠EAD. 又∵AE=AD,∴AF⊥DE. 变式 解:(1)∵AE=AB,EF 垂直平分AC, ∴AB=AE=EC, ∴∠C=∠CAE,∠B=∠AEB. ∵∠C=35°,∠AED=∠C+∠CAE, ∴∠AED=2∠C=70°, (2)∵△ABC 周长为20cm,AC=8cm, ∴AB+BC=20-8=12(cm), ∴AB+BE+EC=12cm. ∵AE=AB,AD⊥BC,∴BD=DE. ∵AB=AE=EC, ∴2EC+2DE=12cm,即2CD=12cm,. ∴CD=6 cm. 典例3 证明:(1)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C. ∵MN∥BC, ∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C, ∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN, ∴△AMN 是等腰三角形; (2)∵BP 平分∠ABC,∴∠MBP=∠CBP. ∵MN∥BC,∴∠MPB=∠CBP, ∴∠MBP=∠MPB,∴MB=MP, ∴△BPM 是等腰三角形. 变式 证明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=90°. ∵BF 平分∠ABC,∴∠CBF =∠DBE, ∴∠CFB=∠DEB. 又∵∠FEC=∠DEB,∴∠CFB=∠FEC,∴CE=CF. 典例4 解:(1)证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵DE⊥BC, ∴∠B+∠BFE=90°,∠C+∠D=90°, ∴∠BFE=∠D. ∵∠BFE=∠AFD, ∴∠D=∠AFD, ∴AD=AF, ∴△ADF 为等腰三角形; (2)如图,作AG∥BE,交 DE 于点G, ∵DE⊥BC, ∴AG⊥DF. ∵△ADF 为等腰三角形, ∴DG=FG. ∵AG∥BE, ∴∠AGF=∠BEF,∠GAF=∠B. ∵F为AB 的中点, ∴AF=BF, ∴△AGF≌△BEF(AAS), ∴GF=EF, ∴DG=EF, ∴DE=DG+FG+EF=3EF=9. 变式 解:(1)∵AB=AC,∠BAC=36°, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ADE = ∠ABD + ∠BAC = 36°+ (2)△ADE为等腰三角形，理由如下： ∵AE∥BC, ∴∠EAC=∠C=72°. 由(1)知∠ADE=72°, ∴∠EAC=∠ADE, ∴EA=ED. ∴△ADE 是等腰三角形. 第2课时 等边三角形 【列清单·划重点】 知识点1 60°∠A ∠B ∠C 60° 知识点2 1.一个角等于60° 2.三个角都相等 知识点3 一个锐角等于30°斜边的一半 【明考点·识方法】 典例1 15° 变式1 B 变式2 B 典例2 等边 变式1D 变式2 等边 典例3 解:(1)△CEF 是等边三角形, 理由如下：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. ∵AB∥DE, ∴∠CEF=∠ABC=60°,∠CFE=∠CAB=60°, ∴∠CEF=∠CFE=∠ECF=60°, ∴△CEF 是等边三角形; (2)连接BD, ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC=AC. ∵AD=CD,DB=DB, ∴△DAB≌△DCB(SSS), ∴∠ABD=∠CBD. ∵AB∥DE, ∴∠ABD=∠BDE, ∴∠BDE=∠CBD, ∴BE=DE, ∴BC=BE+EC=DE+CF, ∴DE=BC-CF=10-4=6. 变式1 等边三角形 15 变式2 解:∵∠ABC=60°,AB=AC=6, ∴△ABC 是等边三角形,∴BC=AB=6. ∵AB=CB,DA=DC,BD=BD, ∴△ABD≌△CBD(SSS), ∴∠ABD=∠CBD. ∵DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE, ∴∠CBD=∠BDE,∴BE=DE=2, ∴EC=BC-BE=6-2=4. 典例4 2 变式1 B 变式2 解:(1)30°; (2)∵点 B′在以点 A 为圆心,AB 为半径的圆上， ∴当AB'垂直BC 时,点 B'到 BC 的距离最大，即垂足 E 在线段AB'上时，点B'到直线BC 距离的最大，即B'E的长，如图所示： 由折叠得AB'=AB=4. ∵∠B=30°, 故答案为：2. 第3课时 反证法 【列清单·划重点】 知识点 1.结论不成立 定义、基本事实、已有定理或已知条件 命题的结论一定成立 反证法 【明考点·识方法】 典例 证明:假设∠A>45°,∠B>45°,∵∠A>45°,∠B>45°,∴∠A+∠B>90°,在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C<90°,这与∠C=90°矛盾. ∴假设不成立. ∴∠A,∠B 中至少有一个角不大于45°. 变式1 D 变式2 ③④①② 变式3 证明：假设这五个数分别为a，b，c，d,e,且 则 ,即a+b+c+d+e<1, 这与条件a+b+c+d+e=1矛盾, ∴假设不成立， ∴如果五个数的和等于1，那么这五个数中至少有一个数大于或等于 学科网（北京）股份有限公司 $