第八单元 数学广角-找次品（易错培优讲练）知识梳理+6个易错考点讲练+优选真题拔尖练 共42题-2025-2026学年人教版数学五年级下册

该小学数学讲义围绕“找次品”单元，通过易错知识梳理与考点讲练构建系统知识体系，用表格归纳分组策略、最坏情况等核心易错点，以框架图呈现“三分法”等解题步骤，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，典例精讲结合变式训练与真题拔尖，如“已知称重次数求物品数量”逆向题培养推理意识，生活实践题（如12袋粽子找次品）提升应用能力，助力学生掌握最优策略，教师可据此实施精准分层教学。

2025-2026学年人教版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第八单元 数学广角-找次品『易错笔记培优讲练』 【解析版】 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 目录指引 易错点拨 思路指引 2 易错点一 分组策略不彻底（未坚持“三分法”） 2 易错点二 忽略“最坏情况”原则 2 易错点三 混淆“保证”与“可能” 2 易错点四 审题不清，忽视次品的轻重未知 2 易错点五 规律记忆偏差（死记硬背临界值） 2 易错考点 讲练结合 3 高频易错考点一 基础规律速判（直接问次数） 3 高频易错考点二 最优分组策略选择 3 高频易错考点三 完整推理过程描述（分两种情况的作图推理） 4 高频易错考点四 完整推理过程描述（画表格的作图推理） 5 高频易错考点五 较复杂的生活实践题 8 高频易错考点六 逆向推导（已知称重次数求物品数量） 9 易错真题 提升训练 10 易错点一 分组策略不彻底（未坚持“三分法”） 易错表现：只在第一次称量时把物品分成3份，找出次品所在的组后，剩下的步骤就凭感觉分或者逐个去试。 方法点拨：“三分法”必须贯彻到底！每次称量缩小范围后，对包含次品的那一组，必须继续尽可能平均分成3份，直到最终找出次品。 易错点二 忽略“最坏情况”原则 易错表现：在计算至少需要称几次时，总是往运气好的方向想（比如心想“万一一次就称出来了呢？”），导致次数算少。 方法点拨：题目问的是“保证”能找出次品。这意味着你必须考虑天平平衡或不平衡后，次品落在数量最多的那一组里的情况（即最倒霉、最坏的情况），并以此为依据来计算最少次数。 易错点三 混淆“保证”与“可能” 易错表现：分不清“至少称几次保证能找到”和“称一次有可能找到”的区别，在做判断题或选择题时掉入陷阱。 方法点拨： “保证” = 运气最差的情况下也能找出来，必须按最优策略推算最大次数。 “可能” = 运气爆棚，随便一称刚好碰上，但这不能作为解题的标准答案。 易错点四 审题不清，忽视次品的轻重未知 易错表现：习惯性认为次品一定比正品轻。当题目没有明确说明次品是轻还是重（只说质量不同）时，依然只用单一标准去判断。 方法点拨：做题前务必圈出关键词！如果题目未告知次品轻重，称量时要同时观察天平的高低两端，推理过程会比已知轻重更复杂，需要的次数也可能更多。 易错点五 规律记忆偏差（死记硬背临界值） 易错表现：误以为只有刚好达到3的幂次方（如9个、27个、81个）才对应相应的次数。例如，认为10个物品因为超过了9个，就需要称4次。 方法点拨：记住这是一个区间范围。只要物品数量在 10~27 之间，都只需要称 3 次；在 28~81 之间，都只需要称 4 次。不要只盯着最大值看。 高频易错考点一 基础规律速判（直接问次数） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东肇庆·期末）有8瓶水，其中1瓶是盐水（略重一点），至少要称（    ）次才能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1】（24-25五年级下·广西南宁·期末）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称( )次就能保证把轻的那袋找出来。 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）有11把锁，其中10把质量相同，另有1把是次品，次品略轻一些。用天平称，至少称（    ）次可以保证把次品找出来。 A．2 B．3 C．4 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·课后作业）有19瓶维生素C，其中18瓶质量相同，另有1瓶少了3粒。用天平称，至少需要称（    ）次才能保证找出这瓶维生素C。 A．1 B．2 C．3 D．4 高频易错考点二 最优分组策略选择 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南怀化·期中）有100盒饼干，其中99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按下面的第（    ）种分法来称。 A．2份（50，50） B．2份（99，1） C．3份（33，33，34） D．3份（20，30，50） 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·单元测试）一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（    ）。 A．（40、41） B．（20、20、20、21） C．（27、27、27） D．（25、25、31） 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·单元测试）有6颗外观一样的铁球，其中有5颗一样重，另外1颗比其他5颗稍微轻一些，如果用天平称2次就能保证找出这颗稍轻的铁球，下列分法中不正确的是（    ）。 A．按（2、2、2）分成三份 B．按（3、3）分成两份 C．按（3、2、1）分成三份 D．技（1、1、2、2）分成四份 【变式训练3】（24-25五年级下·海南海口·单元测试）有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有1颗比这8颗略轻，如果用一架天平最少称2次，就保证可以找到那颗较轻的钢珠，下列分组方法正确的是（    ）。 A．一定按（，，）分组 B．一定按（，，）分组 C．一定按（，，）分组 高频易错考点三 完整推理过程描述（分两种情况的作图推理） 【典例精讲】（2026五年级下·全国·专题练习）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 【变式训练1】（24-25五年级下·河南郑州·期末）围棋是我国发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动。某棋社有6盒围棋，其中1盒少了几枚棋子。下面是笑笑找这盒围棋的过程，请帮她补充完整：在括号里填数字。 一共称（    ）次，可以保证找到这盒围棋。 【变式训练2】（24-25五年级下·广西柳州·期末）有5个零件，其中1个是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。 （圈出正确答案） 至少要称（    ）次。 【变式训练3】（23-24五年级下·河南信阳·期末）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称2次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 高频易错考点四 完整推理过程描述（画表格的作图推理） 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）有9盒月饼，其中8盒的质量相同，另外1盒轻一些，为次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （1）把下表补充完整，并回答下列问题。 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 4 2，2，2，3 3 4，4，1 3 3，3，3 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成（    ）份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差（    ），这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有几盒？ 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·单元复习）汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（    ）份，能平均分的要（    ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（    ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 【变式训练2】（23-24五年级下·全国·随堂练习）8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 你打算怎样表示找次品的过程？ 将探索的情况填入下表。 分成的份数 每份的数量 至少要称的次数 4 3 （1）表中哪种方法需要称的次数最少？ （2）如果9个零件中有1个次品（次品重一些），至少称几次能保证找出次品？你是怎么称的？ （3）你能发现什么？用你发现的方法找出10个、11个零件中的1个次品（次品重一些），看看是不是保证找出次品的次数也是最少的。 你知道吗？ 用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的次数有以下关系。（只含1个次品，已知次品比正品重或轻。） 要辨别的物品数目 保证能找出次品至少需要称的次数 2~3 4~9 10~27 28~81 82~243 … 1 2 3 4 5 … 从表中你能发现什么规律？为什么？ 高频易错考点五 较复杂的生活实践题 【典例精讲】吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放粽叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。 (1)在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． (2)根据上面的信息，算式解决的问题是：________。 (3)某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称( )次，能保证找到这个枣子粽。 (4)聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。 【变式训练1】采油机模型。 图1是在上海科技馆“地壳探秘”展区有一处石油抽油机模型，乐乐通过观看视频了解到采油机的工作原理是，图形A绕着点O转动后拉动图形B的上下运动，从地壳中采油。 （1）图形A的运动是属于（    ）现象，图形B的运动是属于（    ）现象。 （2）请在图2中画出图A绕点O逆时针旋转90°后的图形。 （3）开采出的石油主要用作燃料油和汽油，是世界上重要的一次性能源之一，石油也是许多化学工业产品的原料。其实几乎所有的塑料都是石油产品，比如：塑料盆、塑料笔杆等。现有11枚外表一模一样的塑料发夹，其中有一枚塑料发夹是次品（重一些）。如果用天平秤，至少称（    ）次，就能保证找出这个次品。 【变式训练2】一个古玩商店的经理不小心将1枚假铜币混入了7枚真铜币当中，原来的7枚真铜币外观、颜色、形状完全相同，假铜币与真铜币外观一样，只是质量不一样，假铜币质量轻一些。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的想法吗？ 高频易错考点六 逆向推导（已知称重次数求物品数量） 【典例精讲】有盒乒乓球，其中有一个较重的是次品，用天平称，保证称3次就能找到这个较重的乒乓球。这盒乒乓球最多有多少个？ 【变式训练1】有8瓶矿泉水，编号是①至⑧，其中有6瓶是合格产品，另外2瓶都轻5g，是次品，如图用天平称了3次，那么这两瓶次品分别是哪两瓶？ 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·单元复习）外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·单元复习）一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？ 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）8个形状完全相同的零件中有1个次品（次品轻一些）。假如用天平称，下面的称法能保证找到次品的次数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）园园有5颗糖果，其中的4颗质量相同，另有1颗不小心摔掉了一点。根据下图，可以判断（    ）。 A．③一定是摔掉的那颗 B．④一定是摔掉的那颗 C．①②⑤一定不是摔掉的那颗 D．③④⑤一定不是摔掉的那颗 3．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）6瓶眼药水外形完全一样，其中1瓶少了几毫升，用天平至少称（    ）次能保证找出这瓶眼药水。 A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 4．（24-25五年级下·江西南昌·期末）有32瓶口香糖，其中31瓶质量相同，有一瓶少了2粒，用天平至少称（    ）次一定能找出这瓶少的口香糖。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25六年级上·河北保定·期末）亮亮和红红用天平称物品的方法，分别从10个和27个同一型号的零件中找出一个质量稍轻的次品，保证找到这个次品的次数，下面说法正确的是（    ）。 A．亮亮用的次数一定比红红用的次数多 B．亮亮用的次数一定比红红用的次数少 C．亮亮用的次数和红红用的次数一定相同 D．亮亮用的次数不一定比红红用的次数少 6．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期末）有10瓶钙片，其中1瓶是次品（较轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 7．（24-25五年级下·河南信阳·期末）8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成( )份，这样至少称( )次就能保证找出次品来。 8．（24-25五年级下·湖南长沙·期末）11个形状大小、质地一样的红球，其中一个质量较轻，是不合格产品，用天平称，至少称( )次能保证找到次品。 9．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）中医文明是中华文化长河中的重要组成部分，享誉世界。李叔叔开了5副中药，其中一副少了一味药。配药师傅用天平至少要称__________次可以保证找到这副药。 10．（23-24五年级下·河北保定·期末）有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。( )（判断对错） 11．有13个乒乓球，其中有12个质量相同，另有一个较轻，如果用天平称，至少称3次保证能找出这个较轻的乒乓球。( )（判断对错） 12．（24-25五年级下·四川德阳·期末）11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称2次就能找出这个次品。( )（判断对错） 13．（24-25五年级下·全国·课后作业）猫妈妈的肉食店进了13罐质量相同的牛肉干，馋嘴的小猫偷吃了某一罐中的5块。 将13罐牛肉干分成（    ）份，用（  ，  ，  ）表示。 （1）至少称几次可以保证找出来？ （2）如果天平两端各放1罐，称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐吗？ 14．（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 15．（19-20五年级下·全国·周测）有个制造小球的工厂，生产了6箱小球，每个箱子里有100个小球。正品小球每个重10克，次品小球每个重11克。由于每个箱子里的小球由同一车间生产，如果一个箱子里有次品，则这个箱子里的球肯定都是次品。现在假设只有一个箱子里有次品，利用有砝码的天平，如何称一次把这个箱子找出来？ 16．（2024五年级下·全国·专题练习）在81颗珍珠中有一颗比其他珍珠重的假珍珠，给你一个没有砝码的天平，至少称多少次能够保证找到这颗假珍珠？ 17．永春老醋是全国四大名醋之一。质监部门对某企业生产的永春老醋进行质量抽测，在抽测的21瓶永春老醋中有1瓶不合格（质量稍轻一些）。 （1）至少称几次能保证将这瓶不合格产品找出来？ （2）如果在天平的左右两边各放10瓶永春老醋，只称1次有可能称出来吗？为什么？ 18．福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程） 19．某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？ 20．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第八单元 数学广角-找次品『易错笔记培优讲练』 【解析版】 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 目录指引 易错点拨 思路指引 2 易错点一 分组策略不彻底（未坚持“三分法”） 2 易错点二 忽略“最坏情况”原则 2 易错点三 混淆“保证”与“可能” 2 易错点四 审题不清，忽视次品的轻重未知 2 易错点五 规律记忆偏差（死记硬背临界值） 2 易错考点 讲练结合 3 高频易错考点一 基础规律速判（直接问次数） 3 高频易错考点二 最优分组策略选择 4 高频易错考点三 完整推理过程描述（分两种情况的作图推理） 7 高频易错考点四 完整推理过程描述（画表格的作图推理） 9 高频易错考点五 较复杂的生活实践题 15 高频易错考点六 逆向推导（已知称重次数求物品数量） 18 易错真题 提升训练 20 易错点一 分组策略不彻底（未坚持“三分法”） 易错表现：只在第一次称量时把物品分成3份，找出次品所在的组后，剩下的步骤就凭感觉分或者逐个去试。 方法点拨：“三分法”必须贯彻到底！每次称量缩小范围后，对包含次品的那一组，必须继续尽可能平均分成3份，直到最终找出次品。 易错点二 忽略“最坏情况”原则 易错表现：在计算至少需要称几次时，总是往运气好的方向想（比如心想“万一一次就称出来了呢？”），导致次数算少。 方法点拨：题目问的是“保证”能找出次品。这意味着你必须考虑天平平衡或不平衡后，次品落在数量最多的那一组里的情况（即最倒霉、最坏的情况），并以此为依据来计算最少次数。 易错点三 混淆“保证”与“可能” 易错表现：分不清“至少称几次保证能找到”和“称一次有可能找到”的区别，在做判断题或选择题时掉入陷阱。 方法点拨： “保证” = 运气最差的情况下也能找出来，必须按最优策略推算最大次数。 “可能” = 运气爆棚，随便一称刚好碰上，但这不能作为解题的标准答案。 易错点四 审题不清，忽视次品的轻重未知 易错表现：习惯性认为次品一定比正品轻。当题目没有明确说明次品是轻还是重（只说质量不同）时，依然只用单一标准去判断。 方法点拨：做题前务必圈出关键词！如果题目未告知次品轻重，称量时要同时观察天平的高低两端，推理过程会比已知轻重更复杂，需要的次数也可能更多。 易错点五 规律记忆偏差（死记硬背临界值） 易错表现：误以为只有刚好达到3的幂次方（如9个、27个、81个）才对应相应的次数。例如，认为10个物品因为超过了9个，就需要称4次。 方法点拨：记住这是一个区间范围。只要物品数量在 10~27 之间，都只需要称 3 次；在 28~81 之间，都只需要称 4 次。不要只盯着最大值看。 高频易错考点一 基础规律速判（直接问次数） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东肇庆·期末）有8瓶水，其中1瓶是盐水（略重一点），至少要称（    ）次才能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】解决“找次品”一类问题，规律是“尽量均分和一分为三”，据此可以找出合适的办法。 【规范解答】把8瓶水分成3瓶，3瓶和2瓶，先在天平两端各放3瓶水，如果天平平衡，说明次品在另外2瓶中，再称一次即可；如果天平不平衡，则把天平下沉的一端的3瓶取出，再分成1瓶，1瓶和1瓶，再称一次，因此共用2次，保证找到次品。 【变式训练1】（24-25五年级下·广西南宁·期末）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称( )次就能保证把轻的那袋找出来。 【答案】3 【思路引导】有10袋白糖，其中一袋比500g轻，根据寻找次品的最优策略，可以将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋三份进行称重，找出次品。 【规范解答】将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋。 第一次称量：在天平两端各放3袋白糖，平衡则次品在剩余4袋里面，如果不平衡则次品在轻的这边。 第二次称量：把3袋白糖平均分成3份，取两份分别放在天平两端，如果平衡，则剩余那袋为次品；如果不平衡，则轻的是次品；把4袋白糖平均分成2份，分别放在天平的两端，次品在轻的这边。 第三次称量：把2袋白糖分别放在天平的两端，则次品是轻的那一边。 所以用天平称至少称3次就能保证把轻的那袋找出来。 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）有11把锁，其中10把质量相同，另有1把是次品，次品略轻一些。用天平称，至少称（    ）次可以保证把次品找出来。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路引导】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在较轻的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【规范解答】分析可知： 综上所述，至少称3次可以保证把次品找出来 故答案为：B 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·课后作业）有19瓶维生素C，其中18瓶质量相同，另有1瓶少了3粒。用天平称，至少需要称（    ）次才能保证找出这瓶维生素C。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】找次品的核心是尽可能平均分组，利用天平的平衡逻辑缩小范围： 第一次称：将19瓶分成6、6、7三组，称6和6。若平衡，次品在7瓶中；若不平衡，次品在轻的6瓶中。 第二次称：若次品在6瓶中：分成2、2、2三组，称其中两组，若不平衡，次品在轻的2瓶中，若平衡，次品在未称的2瓶中；若次品在7瓶中：分成2、2、3三组，称2和2，若不平衡，次品在轻的2瓶中，若平衡，次品在未称的3瓶中。 第三次称：若次品在2瓶中：称这2瓶，轻的是次品；若次品在3瓶中：称其中2瓶，平衡则剩下的是次品，不平衡则轻的是次品。 所以至少需要称3次才能保证找出这瓶维生素C。 【规范解答】有19瓶维生素C，其中18瓶质量相同，另有1瓶少了3粒。用天平称，至少需要称3次才能保证找出这瓶维生素C。 故答案为：C 高频易错考点二 最优分组策略选择 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南怀化·期中）有100盒饼干，其中99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按下面的第（    ）种分法来称。 A．2份（50，50） B．2份（99，1） C．3份（33，33，34） D．3份（20，30，50） 【答案】C 【思路引导】找次品问题中，最少称重次数的最优策略是将物品尽可能均分为3份，因为每次称量可以将问题规模缩小至原规模的，因此分3份能最快定位次品，据此解答。 【规范解答】100÷3＝33（盒）……1（盒） 33＋1＝34（盒） 有100盒饼干，其中99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按（33，33，34）来称。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·单元测试）一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（    ）。 A．（40、41） B．（20、20、20、21） C．（27、27、27） D．（25、25、31） 【答案】C 【思路引导】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【规范解答】有81个零件，其中有一件是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（27，27，27），天平两边各放27个，①若天平平衡，则次品就在剩下的27个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那27个中； 第二次称重：把27个分成（9，9，9），天平两边各放9个，①若天平平衡，则次品就在剩下的那9个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那9个中； 第三次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3个，①若天平平衡，则次品就在剩下的3个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3个中； 第四次称重：先分成（1，1，1），天平两边各放1个，①若天平平衡，则次品就是剩下的1个；②若天平不平衡，次品就是较轻的那1个。 一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（27、27、27）。 故答案为：C 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·单元测试）有6颗外观一样的铁球，其中有5颗一样重，另外1颗比其他5颗稍微轻一些，如果用天平称2次就能保证找出这颗稍轻的铁球，下列分法中不正确的是（    ）。 A．按（2、2、2）分成三份 B．按（3、3）分成两份 C．按（3、2、1）分成三份 D．技（1、1、2、2）分成四份 【答案】C 【思路引导】用天平称保证找出这颗稍轻的铁球，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】A．按（2、2、2）分成三份，称其中的（2、2），无论平衡不平衡，都可确定稍轻的铁球在其中2个，将2个分成（1、1），再称一次即可确定稍轻的铁球，共2次； B．按（3、3）分成两份，称1次确定稍轻的铁球在其中3个，将3个分成（1、1、1），称其中的（1、1），无论平衡不平衡，都可确定稍轻的铁球，共2次； C．按（3、2、1）分成三份，没有相等的个数，无法用天平去称； D．技（1、1、2、2）分成四份，称（2、2），如果平衡，再称（1、1），即可确定稍轻的铁球，共2次；称（2、2），如果不平衡，稍轻的铁球在较轻的2个中，将2个分成（1、1），再乘1次即可确定稍轻的铁球，共2次。 分法中不正确的是按（3、2、1）分成三份。 故答案为：C 【变式训练3】（24-25五年级下·海南海口·单元测试）有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有1颗比这8颗略轻，如果用一架天平最少称2次，就保证可以找到那颗较轻的钢珠，下列分组方法正确的是（    ）。 A．一定按（，，）分组 B．一定按（，，）分组 C．一定按（，，）分组 【答案】C 【思路引导】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【规范解答】有9颗钢珠，其中有一件是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3颗，①若天平平衡，则次品就在剩下的3颗中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3颗中； 第二次称重：把3颗分成（1，1，1），天平两边各放1颗，①若天平平衡，则次品就是剩下的1颗；②若天平不平衡，次品就是较轻的那1颗。 有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有1颗比这8颗略轻，如果用一架天平最少称2次，就保证可以找到那颗较轻的钢珠，正确的分组方法是（，，）。 故答案为：C 高频易错考点三 完整推理过程描述（分两种情况的作图推理） 【典例精讲】（2026五年级下·全国·专题练习）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 【答案】见详解 【思路引导】观察可知，如平衡，就接着称剩下的5和6，右边下沉，说明左边更轻，左边是几号，几号就是次品；如左边下沉，则右边更轻，次品在3和4之间，就再称3和4，右边下沉，左边更轻，左边是几号，几号就是次品。 【规范解答】根据分析完成填空，如下图： 【变式训练1】（24-25五年级下·河南郑州·期末）围棋是我国发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动。某棋社有6盒围棋，其中1盒少了几枚棋子。下面是笑笑找这盒围棋的过程，请帮她补充完整：在括号里填数字。 一共称（    ）次，可以保证找到这盒围棋。 【答案】3；2；2 【思路引导】第一次，先把6个围棋分成两组进行称重：（1，2，3）个（4，5，6）；根据图片可知，右边下沉，说明次品在左边的（1，2，3）中； 第二次，从（1，2，3）中取出（1，2）进行称重，如果平衡，则说明3是次品；如果不平衡，左边下沉，则说明2号上次品，由此可知，需要称2次，就能找出次品，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，围棋是我国发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动。某棋社有6盒围棋，其中1盒少了几枚棋子。下面是笑笑找这盒围棋的过程，请帮她补充完整：在括号里填数字。 一共称2次，可以保证找到这盒围棋。 【变式训练2】（24-25五年级下·广西柳州·期末）有5个零件，其中1个是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。 （圈出正确答案） 至少要称（    ）次。 【答案】图见详解；2 【思路引导】将5个零件拿出4个零件，分别编号1、2、3、4、5，将拿出来的1、2两个零件放在天平的左端，3、4两个零件放在天平的右端，若平衡则次品是5号的零件，若不平衡则天平向上的一端是次品。据此可得出答案。 【规范解答】 当天平平衡时，5号是次品； 当天平不平衡时，将轻的一边再称，加上剩下的5号，至少要称2次。 【变式训练3】（23-24五年级下·河南信阳·期末）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称2次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 【答案】见详解 【思路引导】观察可知，如平衡，就接着称剩下的5和6，右边下沉，左边是几号，几号就是次品；如左边下沉，则次品在3和4之间，就再称3和4，右边下沉，左边是几号，几号就是次品。 【规范解答】据分析完成填空，如下： 高频易错考点四 完整推理过程描述（画表格的作图推理） 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）有9盒月饼，其中8盒的质量相同，另外1盒轻一些，为次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （1）把下表补充完整，并回答下列问题。 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 4 2，2，2，3 3 4，4，1 3 3，3，3 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成（    ）份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差（    ），这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有几盒？ 【答案】（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）3；1 （3）这些月饼可能有10~27盒。 【思路引导】（1）根据分成的份数，用天平称一称，完成表格； （2）找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）用天平找次品时，如果只含1个次品，且已知次品比正品轻，所测物品的数量与保证能找出次品至少需要测量的次数之间有以下关系：2~3个物品，1次；4~9个物品，2次；10~27个物品，3次；28~81个物品，4次…… 【规范解答】（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有10~27盒。 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·单元复习）汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（    ）份，能平均分的要（    ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（    ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 【答案】（1）见详解 （2）第二种方法 （3）3次；方法见详解 （4）3；平均分；1 （5）3次 【思路引导】（1）当袋数为9，分成3份（4、4、1）时，首先称重两个4袋的组。若天平平衡，则质量较轻的位于剩下的1袋中，此时仅需一次称重即可确定；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的那一侧，随后将这4袋再次分为2份，进行第二次称重，如果平衡则质量较轻的在剩下的2袋中，需要第三次称重来确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 当袋数为9，分成3份（3、3、3）时，首先称重两个3袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的3袋中。将这3袋分为1袋一组，进行第二次称重，即可确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，同样将这3袋分为1袋一组进行第二次称重，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次。 当袋数为9，分成4份（2、2、2、3）时，首先称重两个2袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的5袋中，再将这5袋分为2袋、2袋和1袋三组，称重两个2袋的组，如果平衡，则质量较轻的为剩下的1袋；如果不平衡，则继续称轻的2袋组，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，随后将这2袋再次进行第三次称重，即可确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 （2）比较表中三种方法需要称的次数，找出哪种方法称的次数最少。 （3）第一次称重：天平两侧放两个三袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。 （5）用上述方法将找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看至少称几次才能保证找出次品。 【规范解答】通过分析可得： （1）填表如下： 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 3 9 3（3，3，3） 2 9 4（2，2，2，3） 3 （2）表中第二种方法需要称的次数最少。 （3）至少称3次才能保证找出次品。先分成3份（3，3，4）。第一次称重：天平两侧放两个3袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋，如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差1，这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）首先，将11袋薯片分成3份（4，4，3）。然后，将其中的两份4袋薯片放在天平的两端进行比较。然后根据天平的平衡情况，确定次品可能存在的范围。如果天平平衡，说明次品在剩下的3袋中；如果天平不平衡，说明次品在较轻的4袋中；最后根据次品可能存在的范围，再次分组和比较，找出次品。如果次品在3袋中，将这3袋薯片分成3份，每份1袋，然后，比较，找出次品。如果次品在4袋中，将这4袋薯片分成2份，每份2袋，然后进行比较，找出次品。12袋的情况相似，所以11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 答：11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 【变式训练2】（23-24五年级下·全国·随堂练习）8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 你打算怎样表示找次品的过程？ 将探索的情况填入下表。 分成的份数 每份的数量 至少要称的次数 4 3 （1）表中哪种方法需要称的次数最少？ （2）如果9个零件中有1个次品（次品重一些），至少称几次能保证找出次品？你是怎么称的？ （3）你能发现什么？用你发现的方法找出10个、11个零件中的1个次品（次品重一些），看看是不是保证找出次品的次数也是最少的。 你知道吗？ 用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的次数有以下关系。（只含1个次品，已知次品比正品重或轻。） 要辨别的物品数目 保证能找出次品至少需要称的次数 2~3 4~9 10~27 28~81 82~243 … 1 2 3 4 5 … 从表中你能发现什么规律？为什么？ 【答案】见详解 【思路引导】（1）要找出8个零件中的次品，所需最少次数的方法应当是将8个零件分成3、3、2共3份，两份3上一次天平，若平衡则次品在2的一份内，将2个零件放上天平，可找出次品。则总的至少称量2次。 （2）9个零件中有1个次品（次品重一些），可先分为4、4、1三份，将两个4分别放在天平上，若平衡则另外的一份就是次品；若不平衡，则将天平下降一端的4个零件再次分为2份，放在天平上；再将天平向下一侧的两个零件分别放在天平上，可得出次品。 （3）在8个、9个零件中找到1个次品，都是最少需要3次称量。10个零件中找出1个次品，平均分成两份放在天平上，向下一端的天平的5个分为2、2、1三份，将两份2放在天平上，若平衡则次品在另外一份中；若不平衡再取向下一端的两个零件放在天平上，可得出答案。11个零件中找次品同理可得出。 【规范解答】 （1）表中分成3份的方法要称的次数最少。 （2）至少要称2次。过程如下： 9→3份（3,3,3）→天平两端各放3个→若平衡，3→（1,1,1），2次；若不平衡，3→（1,1,1），2次。即至少2次称量。 （3）我发现：发现分成的份数是3份，且每份的数量尽可能相等时，称的次数最少。 10个零件中找到1个次品，方法如下： 10→3份（3,3,4）→天平两端各放3个→若平衡，4→（1,1,2），称量3次；若不平衡，3→（1,1,1），2次。即至少3次称量得出次品。 11个零件中找到1个次品，方法如下： 11→3份（4,4,3）→天平两端各放4个→若平衡，3→（1,1,1），称量2次；若不平衡，4→（1,1,2），称量3次。即至少3次称量可找出次品。 从表中可得出规律：分成的份数是3份，且每份数量尽可能相等，称量次数最少。同时解决问题存在多种方法，需要找出最便捷、最可行的方法，即最优方法。 高频易错考点五 较复杂的生活实践题 【典例精讲】吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放粽叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。 (1)在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． (2)根据上面的信息，算式解决的问题是：________。 (3)某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称( )次，能保证找到这个枣子粽。 (4)聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。 【答案】(1)B (2)糯米的质量是火腿粽质量的几分之几 (3)3 (4)见详解 【思路引导】（1）由题意可知，蜜枣有2×6＝12克，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”用蜜枣的质量除以糯米的质量即可； （2）由题意可知，100克是糯米的质量，（100＋50）克是火腿粽的质量，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，则解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几； （3）由题意可知，火腿粽的质量要大于枣子粽的质量，即枣子粽的质量较轻，把12个粽子平均分成三份（4，4，4），在天平两端各放1份，若平衡，枣子粽在剩下的那份中，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中；再将含有枣子粽的这一份分成2份（2，2），在天平两端各放1份，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中，再称一次即可，即至少称3次即可找到这个枣子粽； （4）根据排水法的方法，枣子粽的体积即是一个底面积等于容器底面积、高为放粽子前后容器内水位变化高度的长方体的体积。 【规范解答】（1）在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”可列式为。 故答案为：B （2）根据上面的信息，算式解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几。 （3）由分析可知： 如果用天平称，至少称3次，能保证找到这个枣子粽。 （4）在玻璃容器中放入能淹没枣子粽的水，用尺子测量放枣子粽前后水面的高度h1、h2，再测量出正方体容器的棱长a，最后用a×a×（h2－h1）求出枣子粽的体积。 【变式训练1】采油机模型。 图1是在上海科技馆“地壳探秘”展区有一处石油抽油机模型，乐乐通过观看视频了解到采油机的工作原理是，图形A绕着点O转动后拉动图形B的上下运动，从地壳中采油。 （1）图形A的运动是属于（    ）现象，图形B的运动是属于（    ）现象。 （2）请在图2中画出图A绕点O逆时针旋转90°后的图形。 （3）开采出的石油主要用作燃料油和汽油，是世界上重要的一次性能源之一，石油也是许多化学工业产品的原料。其实几乎所有的塑料都是石油产品，比如：塑料盆、塑料笔杆等。现有11枚外表一模一样的塑料发夹，其中有一枚塑料发夹是次品（重一些）。如果用天平秤，至少称（    ）次，就能保证找出这个次品。 【答案】（1）旋转；平移 （2）见详解 （3）3 【思路引导】（1）旋转的意义：在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋转。这个点为旋转中心，旋转的角度叫旋转角。 平移的意义：在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移。据此解答； （2）根据旋转的特征，图形2绕点O逆时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图像， （3）把11枚塑料发夹分成3份，其中两份是5枚，一份是1枚，把两份5枚的塑料发夹放在天平上称，如果天平平衡，那么剩下的一份1枚的塑料发夹就是次品；如果天平不平衡，次品在重的那份里，再把重的那份分成3份，两份是2枚，一份是1枚；再把两份2枚的放在天平上称，如果平横，那么剩下的一份的就是次品；如果天平不平衡，次品在重的那份里，再把重的那份分成2份，一份1枚，放在天平上称，重的就是次品，因此至少称3次，就能保证找出这个次品，据此解答。 【规范解答】（1）图形A的运动是属于旋转运动，图形B的运动是属于平移运动。 （2）如下图： （3）根据分析可知，开采出的石油主要用作燃料油和汽油，是世界上重要的一次性能源之一，石油也是许多化学工业产品的原料。其实几乎所有的塑料都是石油产品，比如：塑料盆、塑料笔杆等。现有11枚外表一模一样的塑料发夹，其中有一枚塑料发夹是次品（重一些）。如果用天平秤，至少称3次，就能保证找出这个次品。【变式训练1】2一个古玩商店的经理不小心将1枚假铜币混入了7枚真铜币当中，原来的7枚真铜币外观、颜色、形状完全相同，假铜币与真铜币外观一样，只是质量不一样，假铜币质量轻一些。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的想法吗？ 【答案】2次 【思路引导】把8枚铜币分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两端各放3枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的3枚中；如果天平平衡，次品在剩下的2枚中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3枚铜币分成（1，1，1），第二次称，天平两端各放1枚，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一枚；如果天平平衡，次品是剩下的那1枚。至少称2次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币。 【规范解答】如图： 答：至少称2次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币。 【考点剖析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 高频易错考点六 逆向推导（已知称重次数求物品数量） 【典例精讲】有盒乒乓球，其中有一个较重的是次品，用天平称，保证称3次就能找到这个较重的乒乓球。这盒乒乓球最多有多少个？ 【答案】27个 【规范解答】33＝27（个） 答：这盒乒乓球最多有27个。 【变式训练1】有8瓶矿泉水，编号是①至⑧，其中有6瓶是合格产品，另外2瓶都轻5g，是次品，如图用天平称了3次，那么这两瓶次品分别是哪两瓶？ 【答案】④、⑤ 【规范解答】根据第一次称的结果可知，③④中必有次品； 由第二次称的结果可知：⑤⑥中必有次品； 由第三次称量可以推出：次品为④⑤这两瓶。 答：这两瓶次品分别为④、⑤。 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·单元复习）外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【答案】88克 【思路引导】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。 【规范解答】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5） ＝3×10＋5×8＋2×9 ＝30＋40＋18 ＝88（克） 答：这20个球的总重量是88克。 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·单元复习）一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？ 【答案】243个 【思路引导】根据天平有三种可能得结果：左边重、右边重或平衡，每次称重的时候都可以尽可能地将玻璃球分成三份。第一次称重，最多可以区分3个不同的结果。第二次称重，在前一次的每个结果的基础上，又可以区分3个结果，所以总共可以区分（3×3）个玻璃球，依此类推，5次称重最多可以区分（3×3×3×3×3）个玻璃球，4次称重最多可以区分（3×3×3×3）个玻璃球。因为5次称重可以保证找出次品，所以玻璃球的总数一定要大于4次称重可以区分的数量，但小于等于5次称重可以区分的数量。 【规范解答】3×3×3×3＋1 ＝81＋1 ＝82（个） 3×3×3×3×3＝243（个） 答：这堆玻璃球最多有243个。 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）8个形状完全相同的零件中有1个次品（次品轻一些）。假如用天平称，下面的称法能保证找到次品的次数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据找次品的方法，逐项分析选项，再进行选择即可。 【规范解答】A.将8个零件分成4和4。 第一次称：天平两端各放4个，次品在轻的一端（4 个）；第二次称：将这4个分成2和2，次品在轻的一端（2 个）；第三次称：将这2个分成1和1，找到次品。 至少需要3次。 B.将8个零件分成3、3、2。 第一次称：天平两端各放3个。若平衡，次品在剩下的2个中，第二次称这2个即可找到；若不平衡，次品在轻的3个中，第二次称这3个中的2个（若平衡，剩下的1个是次品；若不平衡，轻的是次品）。至少需要2次。 C.与A选项相同，也至少需要3次。 D.分法为1、1、6。第一次称：天平两端各放1个，若不平衡可找到次品（但这是 “运气好” 的情况，不是 “保证找到” 的最少次数）；若平衡，次品在剩下的6个中，后续至少还需2次，整体至少需要3次。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）园园有5颗糖果，其中的4颗质量相同，另有1颗不小心摔掉了一点。根据下图，可以判断（    ）。 A．③一定是摔掉的那颗 B．④一定是摔掉的那颗 C．①②⑤一定不是摔掉的那颗 D．③④⑤一定不是摔掉的那颗 【答案】C 【思路引导】摔掉一点的糖果质量会更轻。从图中天平可知，①②的总质量 ＞③④的总质量，说明较轻的糖果在③④中，⑤未参与称量且天平倾斜与⑤无关，据此解答。 【规范解答】A.无法确定③是摔掉的那颗，该选项错误； B .无法确定④是摔掉的那颗，该选项错误； C .①②是较重的那端，⑤未参与称量且天平倾斜与⑤无关，因此①②⑤一定不是摔掉的那颗，该选项正确； D .③④是较轻的一端，包含较轻的摔掉的糖果，因此 “③④⑤一定不是” 的表述错误，该选项错误。 故答案为：C 3．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）6瓶眼药水外形完全一样，其中1瓶少了几毫升，用天平至少称（    ）次能保证找出这瓶眼药水。 A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【答案】A 【思路引导】把6瓶眼药水平均分成3份，即（2，2，2），第一次称，天平两边各放2瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的2瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶眼药水分成2份，即（1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称2次能保证找出这瓶眼药水。 【规范解答】如图： 所以用天平至少称2次能保证找出这瓶眼药水。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·江西南昌·期末）有32瓶口香糖，其中31瓶质量相同，有一瓶少了2粒，用天平至少称（    ）次一定能找出这瓶少的口香糖。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】把32瓶口香糖分成3份，即（11，11，10），第一次称，天平两边各放11瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的11瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的10瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，然后把有次品的11瓶口香糖分成3份，即（4，4，3），第二次称，天平两边各放4瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的4瓶中，再把有次品的4瓶口香糖分成（1，1，2），第三次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那个；如果天平平衡，次品就在剩下的2瓶中。最后把有次品的2瓶口香糖分成2份，即（1，1），第四次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那个。所以用天平至少称4次一定能找出这瓶少的口香糖。 【规范解答】 所以用天平至少称4次一定能找出这瓶少的口香糖。 故答案为：C 5．（24-25六年级上·河北保定·期末）亮亮和红红用天平称物品的方法，分别从10个和27个同一型号的零件中找出一个质量稍轻的次品，保证找到这个次品的次数，下面说法正确的是（    ）。 A．亮亮用的次数一定比红红用的次数多 B．亮亮用的次数一定比红红用的次数少 C．亮亮用的次数和红红用的次数一定相同 D．亮亮用的次数不一定比红红用的次数少 【答案】D 【思路引导】找次品时，把物品尽量平均分成3份来称，这样能最快能找到次品，把10个零件分成3份，分别是3个、3个、4个，第一次称：把两份3个的放在天平两端，如果天平平衡，说明次品在4个那份里，如果天平不平衡，次品就在轻的那3个里；假设次品在轻的那3个里，第二次称：从3个中拿2个放在天平两端，若天平平衡，没称的那个是次品，若天平不平衡，轻的那个就是次品；假设次品在4个里，第二次称：把4个分成2份，每份2个，放在天平两端，次品在轻的那2个里，第三次称：把轻的那2个分别放在天平两端，轻的就是次品，所以，从10个零件里找次品，保证找到的至少要称3次。 把27个零件平均分成3份，每份是9个，第一次称：任取两份放在天平两端，若天平平衡，次品在没称的9个里，若天平不平衡，次品在轻的那9个里，第二次称：把有次品的9个平分成3份，每份3个，任取两份称，若天平平衡，次品在没称的那3个里，若天平不平衡，次品在轻的那3个里，第三次称：从有次品的3个中拿2个称，若天平平衡，没称的那个是次品，若天平不平衡，轻的那个是次品。所以，从27个零件里找次品，保证找到至少要称3次。 【规范解答】A．虽然27个零件数量比10个多，但都至少称3次能保证找到次品，而且称的方法不同，用的次数也不同，所以亮亮用的次数不一定比红红多，选项说法错误。 B．同理，亮亮用的次数不一定比红红少，选项说法错误。 C．因为称的方法可以不同，所以两人用的次数不一定相同，选项说法错误。 D．由于称的方法有多种，亮亮用的次数不一定比红红少，选项说法正确。 故答案为：D 【考点剖析】本道题通过找次品的基本方法确定最少次数，理解次数的不确定性。 6．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期末）有10瓶钙片，其中1瓶是次品（较轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 【答案】3 【思路引导】三分法：每次将物品分成三组，利用天平称量的结果（左轻，右轻，平衡）缩小次品范围。 最坏情况分析：需保证在最不利的情况下（次品所在组需要最多次数）仍能完成任务。 【规范解答】第一次称量，将10瓶分成三组：3瓶，3瓶，4瓶。称量两组3瓶： 若平衡，次品在剩余4瓶中。若不平衡，次品在较轻的3瓶中。第二次称量，情况1：次品在3瓶中，将3瓶分成1瓶，1瓶，1瓶，称量两瓶：平衡则剩下一瓶是次品； 不平衡则较轻的一瓶是次品。总次数为2次；情况2：次品在4瓶中，将4瓶分成1瓶，1瓶，2瓶，称量两瓶：平衡则次品在剩余2瓶中，不平衡则较轻的一瓶是次品；总次数：2次后需再称一次，第三次称量（仅针对情况2的剩余2瓶）称量剩余2瓶中的一瓶与正品比较：若轻则是次品，否则为另一瓶。总次数：3次；结论：最坏情况下需称3次，因此至少需要3次。 7．（24-25五年级下·河南信阳·期末）8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成( )份，这样至少称( )次就能保证找出次品来。 【答案】 3 2 【思路引导】用天平找次品时，每次都把物品分成3份，逐渐缩小次品的范围。 【规范解答】第1次，把8颗珍珠分成3份（3颗，3颗，2颗），先称3颗与3颗，如果天平平衡，次品在剩下的2颗里面；如果天平不平衡，次品在较轻的一边。 第2次，如果第1次天平平衡，称剩下的2颗，次品在轻的一边；如果第1次天平不平衡，把轻的一边的3颗分成3份（1颗，1颗，1颗），称任意2颗，如果天平平衡，次品是剩下的1颗；如果天平不平衡，次品在轻的一边。 综上，可以把8颗珍珠分成3份，这样至少称2次就能保证找出次品来。 8．（24-25五年级下·湖南长沙·期末）11个形状大小、质地一样的红球，其中一个质量较轻，是不合格产品，用天平称，至少称( )次能保证找到次品。 【答案】3 【思路引导】将11个红球分成4、4、3三组，先称两组4个的，确定次品所在组；再将有次品的组继续分组称量，逐步缩小范围，直到找到次品。 【规范解答】第一次称量： 把11个红球分成3组，分别是4个、4个、3个。将两组4个的红球放在天平两端。 若天平平衡，次品在剩下的3个红球中；若天平不平衡，次品在较轻的那4个红球中。 第二次称量： 若次品在3个红球中：把这3个红球分成1个、1个、1个，取其中2个放在天平两端。若平衡，剩下的1个是次品；若不平衡，较轻的是次品。 若次品在4个红球中：把这4个红球分成2个、2个，放在天平两端，次品在较轻的那2个红球中。 第三次称量： 若次品在2个红球中，将这2个红球放在天平两端，较轻的那个就是次品。 综上，至少称3次能保证找到次品。 9．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）中医文明是中华文化长河中的重要组成部分，享誉世界。李叔叔开了5副中药，其中一副少了一味药。配药师傅用天平至少要称__________次可以保证找到这副药。 【答案】2 【思路引导】根据题意，一副少了一味药，那么这副药就轻，放到天平上就会上升；因此我们找这副药时，把5副药分成三份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差1，这样可以保证找出那副药时称的次数最少，据此解答。 【规范解答】把5副药分成三份，天平两边各放两副，剩下的一副质量不足，把轻的一边两副分成2份，天平两边各放一副，托盘高的一边质量不足；配药师傅至少要称两次可以保证找到这副药。 【考点剖析】此题考查找次品的一般方法，要达到次数最少，需要将要称的物品尽可能平均分成三份。 10．（23-24五年级下·河北保定·期末）有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】将6个羽毛球分成（2，2，2），取其中两组各2个称量。无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2个；将2个分成（1、1），再称一次即可确定次品，共2次，所以原题说法正确。 故答案为：√ 11．有13个乒乓球，其中有12个质量相同，另有一个较轻，如果用天平称，至少称3次保证能找出这个较轻的乒乓球。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 …… 【规范解答】13在10～27个之间，由分析可知，10～27个物品至少称3次。 所以原题说法正确。 故答案为：√ 12．（24-25五年级下·四川德阳·期末）11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称2次就能找出这个次品。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据找次品的最优策略，将物品尽量平均分成三组。这11个零件，第1次分成4、4、3，若第1次称量4、4平衡，则次品在剩下3个零件中，需再称2次；若第1次称量4、4不平衡，则次品在这8个零件中，剩下的3个零件是正品，将这8个零件重新分组3，3，2，先称数量相同的两组，若天平平衡，则次品在剩下一组里面，需再称1次；若天平不平衡，称其中一组和另外3个正品，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【规范解答】 综上所述，11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称4次就能找出这个次品，所以题目说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题主要考查找次品问题，因为不知道次品比正品轻还是比正品重，需要多次称重才能确定次品在哪一组里面，逐步缩小范围直到最后确定次品是解答题目的关键。 13．（24-25五年级下·全国·课后作业）猫妈妈的肉食店进了13罐质量相同的牛肉干，馋嘴的小猫偷吃了某一罐中的5块。 将13罐牛肉干分成（    ）份，用（  ，  ，  ）表示。 （1）至少称几次可以保证找出来？ （2）如果天平两端各放1罐，称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐吗？ 【答案】3；4；4；5； （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐 【思路引导】（1）通过合理分组称重，把13罐牛肉干分成4、4、5，步骤如下： 第一次称：称4和4。 若不平衡，次品在轻的4罐中，若平衡，次品在5罐中； 若在5罐中，再分成2、2、1；第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 若次品在4罐中，分成2和2，第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 因此，至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 【规范解答】将13罐牛肉干分成3份，用（4，4，5）表示。 （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 14．（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【答案】3次；流程图见详解 【思路引导】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【规范解答】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 15．（19-20五年级下·全国·周测）有个制造小球的工厂，生产了6箱小球，每个箱子里有100个小球。正品小球每个重10克，次品小球每个重11克。由于每个箱子里的小球由同一车间生产，如果一个箱子里有次品，则这个箱子里的球肯定都是次品。现在假设只有一个箱子里有次品，利用有砝码的天平，如何称一次把这个箱子找出来？ 【答案】见详解 【思路引导】本题的解题关键在于给每个箱子设置不同点，通过不同点来确定箱子，如（方法不唯一）：给六个箱子分别编号1、2、3、4、5、6号，从每个箱子里取出对应编号数量的小球，共取21个，给这21个小球称重，实际重量必然大于210克，根据多出的重量即可确定次品箱。 【规范解答】给六个箱子分别编号1、2、3、4、5、6号，从每个箱子里取出对应编号数量的小球，共取出：1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个） 应重：21×10＝210（克） 实际重量必定多于210克，多了几克，几号箱中就是次品（如：若5号箱重为次品，那就会多5克，实际重量为215克。） 16．（2024五年级下·全国·专题练习）在81颗珍珠中有一颗比其他珍珠重的假珍珠，给你一个没有砝码的天平，至少称多少次能够保证找到这颗假珍珠？ 【答案】4次 【思路引导】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【规范解答】把81颗珍珠平均分成3份，即（27，27，27），第一次称，天平两边各放27颗，如果天平不平衡，次品就在较重的27颗中；如果天平平衡，次品在剩下的27颗中；然后把有次品的27颗珍珠平均分成3份，即（9，9，9），第二次称，天平两边各放9颗，如果天平不平衡，次品就在较重的9颗中；如果天平平衡，次品在剩下的9颗中；再把有次品的9颗珍珠平均分成3份，即（3，3，3），第三次称，天平两边各放3颗，如果天平不平衡，次品就在较重的3颗中；如果天平平衡，次品就在剩下的3颗中。最后把有次品的3颗珍珠平均分成3份，即（1，1，1），第四次称，天平两边各放1颗，天平不平衡，次品就是较重的那颗；如果天平平衡，次品就是剩下的那颗。所以至少称4次能够保证能找到这颗假珍珠。 答：至少称4次能够保证找到这颗假珍珠。 17．永春老醋是全国四大名醋之一。质监部门对某企业生产的永春老醋进行质量抽测，在抽测的21瓶永春老醋中有1瓶不合格（质量稍轻一些）。 （1）至少称几次能保证将这瓶不合格产品找出来？ （2）如果在天平的左右两边各放10瓶永春老醋，只称1次有可能称出来吗？为什么？ 【答案】（1）3次 （2）有可能。因为如果在天平的左右两边各放10瓶，天平正好平衡，则剩下的1瓶就是不合格产品。 【思路引导】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】（1）将21瓶分成（7、7、7），称（7、7），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中7瓶；将7瓶分成（2、2、3），称（2、2），只考虑最不利的情况，平衡，次品在3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 （2）有可能。因为如果在天平的左右两边各放10瓶，天平正好平衡，则剩下的1瓶就是不合格产品。 【考点剖析】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 18．福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程） 【答案】3次 【思路引导】分成每6箱一组，用天平称，因有一箱质量不足，所以找出轻的一组，再把轻的一组任意3箱分成一组用天平称，再找出轻的一组，再任取2箱用天平称，若天平平衡，则没称的1箱是次品，若不平衡测轻的是次品，据此解答。 【规范解答】把12箱分成两组：6箱为1组，进行第一次称量，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中； 由此再把较轻的一端的6箱分成2组：3箱为1组，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中； 由此再把较轻的一端的3箱分成3组：1箱为1组，取两箱称量，如果左右相等，那么说明剩下的1箱就是次品。如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一箱； 答：至少称3次就能能保证找出这箱轻一些的脐橙，称量过程如下图所示： 【考点剖析】根据天平的平衡性进行称量，找到质量较轻的物品，合理分组是解题的关键。 19．某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？ 【答案】3次 【思路引导】根据题意，一个次品比正品略轻一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。 【规范解答】把11个机器零件分成三份（4，4，3）； 第一次称重：把其中4个零件的两份分别放在天平两端；可能出现两种情况： ①若天平平衡，则次品在未取的3个零件中，从这3个零件中任取2个零件，分别放在天平两端，若平衡，则剩下的那个是次品； ②若不平衡，则天平较高一端的零件为次品； 第二次称重：次品在天平较高一端的4个零件中，把这4个零件平均分成两份，分别放在天平两端，次品在天平较高一端的2个零件中； 第三场称重：把这2个零件分别放在天平两端，天平较高一端的零件为次品，要称3次。 答：用天平把次品找出来，最少称3次。 【考点剖析】本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的零件是次品。 20．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？ 【答案】3次 【思路引导】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。 【规范解答】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中； 第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中； 第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品； 因此，至少称3次可以保证找出次品。 【考点剖析】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $