第四单元 分数的意义和性质（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+20个考点讲练+11个奥数拓展+真题演练 共82题-2025-2026学年人教版新教材数学五年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年人教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第四单元 分数的意义和性质『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+20个考点讲练+11个奥数拓展+真题演练 共82题） 同学你好，该份讲义用于人教新五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 分数的产生 4 知识点二 分数的意义 4 知识点四 分数的基本性质 5 知识点五 约分 6 知识点六 通分 6 知识点七 分数和小数互化 6 考点讲练 真题汇总 7 高频考点一 单位“1”的认识与确定 7 高频考点二 分数与除法的关系 7 高频考点三 求一个数占另一数几分之几 8 高频考点四 真分数、假分数、带分数的认识 8 高频考点五 假分数与带分数或整数的互化 8 高频考点六 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 8 高频考点七 分数的基本性质 8 高频考点八 分数的基本性质的应用 9 高频考点九 分解质因数 9 高频考点十 公因数与最大公团数 9 高频考点十一 用最大公因数解决实际问题 10 高频考点十二 互质数的认识 10 高频考点十三 最简分数 11 高频考点十四 约分的认识及应 11 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 11 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 12 高频考点十七 通分的认识及应用 12 高频考点十八 异分母异分子分数的大小比较 12 高频考点十九 分数化小数 13 高频考点二十 一位或多位小数化分数（约分） 13 奥数拓展 拔尖冲刺 13 奥数拓展一 分数与除法的关系 13 奥数拓展二 假分数与带分数或整数的互化 13 奥数拓展三 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 14 奥数拓展四 分数的基本性质及应用 14 奥数拓展五 分解质因数 14 奥数拓展六 用最大公因数解决实际问题 15 奥数拓展七 约分的认识及应用 15 奥数拓展八 用最小公倍数解决实际问题 16 奥数拓展九 通分的认识及应用 16 奥数拓展十 异分母异分子分数的大小比较 17 奥数拓展十一 分数和小数的互化 17 优选真题 实战演练 18 【基础夯实 知识巩固】 18 【拓展提高 能力拔尖】 19 知识点一 分数的产生 在生产生活实践中，当我们测量、分物或计算，其结果无法用整数精确表示时，需要用到分数，古人用打结的绳子测量，剩余不足一结的部分用分数记录，再后来从实物分配的背景中，抽象为数的转化，就形成了分数的概念，分数的产生和发展经历了漫长的历程： 1. 古埃及的分数应用——莱因德纸草书（约公元前1650年）。 最早系统记录分数运算的数学文献，采用特殊符号表示分子为1的分数。 2. 中国古代的分数实践——《九章算术》（公元前2世纪）。 在"方田"章中，首次系统阐述分数运算，提出约分、通分、四则运算规则，比欧洲早1400年。 3. 古印度（约公元7世纪）的分数应用——用数字直接表示分数。 古印度的分数采用分母在下、分子在上的表示方法，例如3/5写作"3 5"，后来传入阿拉伯地区。 4. 阿拉伯的分数革新（12世纪）——首次引入分数线。 数学家海塞尔首次引入分数线，将3/5写作"3-5"的形式，后来斐波那契将此记法传入欧洲，形成了现代分数符号。 知识点二 分数的意义 （一）分数的意义：表示把单位“1”平均分成若干份，取这样的一份或者几份的数叫做分数。 （二）单位“1”认识和确定。 1. 单位“1”的定义：一个物体、一个计量单位或一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，取这样的一份或几份都可以用分数来表示，这一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。 2. 单位“1”的判断方法 （1）关键字定位法。 ①“是、比、占、相当于”后面的量为单位“1”，例如“女生人数占全班的3/5”中，“全班”是单位“1”。 ②“的”前面的量为单位“1”，例如“小明吃了苹果的1/3”中，“苹果”是单位“1”。 （2）实际情境分析法。 当题目未明确给出单位“1”时，需根据题意自行确定，例如“修一条路的2/5”，默认整条路是单位“1”。 （三）分数单位的认识和确定 1. 分数单位的定义：将单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫作分数单位。 2. 分数单位的确定：一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。 （四）分数与除法的关系 1. 分数与除法的关系：在除法中，被除数÷除数=商，在分数中，被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值，除号相当于分数线，用分数表示为。 2. 分数与除法的转化 （1）分数转除法：将分子作为被除数，分母作为除数 （2）除法转分数：用被除数作分子，除数作分母 3. 分数与除法的区别：分数是一个具体的数（结果），除法是一种运算过程。 知识点三 分数的分类 1. 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 2. 假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 3. 带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。 4. 假分数化成整数或带分数：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变。 5. 带分数化成假分数。 带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子。 知识点四 分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 知识点五 约分 1. 约分的定义：利用分数的基本性质，分子和分母同时除以同一个非零的数，将分数化成与它相等，但分子和分母都比较小的分数，这个过程叫做约分。 2. 最简分数：一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。 （互质数，即只有公因数1的两个数。） 3. 约分的方法 （1）逐步约分法：用分子和分母的公因数（1除外）逐步去除，直到约成最简分数。 （2）一次约分法：找到分子和分母的最大公因数，直接用分子和分母的最大公因数约分，这样可以直接得到最简分数。 4. 注意：约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分，或者多约几次，直到互质再停，教师要注意强调互质再停止约分。 知识点六 通分 1. 通分的定义：将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。 2. 通分的方法和步骤 （1）确定公分母：利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数； （2）转换分数：利用分数的基本性质，将每个分数的分子和分母同时乘以一个数，使分母变为公分母。 3. 注意 （1）通分也不改变分数的大小，通分后的分数必须与原分数大小相等； （2）通分不一定以最小公倍数作为公分母，但最小公倍数计算更简便。 4. 分数比较大小 （1）如果分母相同，就直接比较分子，分子大的分数值就比较大； （2）如果分子相同，就直接比分母，分母小的分数值就比较大； （3）分子分母都不相同的分数的大小比较，将比较的几个分数通分，使分母相等，再根据分子的大小来比较。 知识点七 分数和小数互化 1. 分数和小数的互化： （1）小数化为分数：有几位小数分母就是1后面带几个0，例如：0.1=，0.23=。 （2）分数化常见的为小数：先将分数化为除法，再计算成小数，例如=1÷4=0.25。 2. 常用的分小互化： =0.5 =0.2 =0.625 =0.25 =0.4 =0.125 =0.75 =0.6 =1.375 =0.0625 =0.8 =0.875 =0.04 =0.08 =0.12 =0.16 高频考点一 单位“1”的认识与确定 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东揭阳·期末）把一段绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，下列说法正确的是（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长 D．无法确定 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·甘肃天水·期末）一盒巧克力，小赵取走了，小飞取走了余下的，两人取走的巧克力一样多。( )（判断对错） 高频考点二 分数与除法的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南商丘·期末）一根3米长的绳子，剪成长短相同的小段，共剪5次，每段占总长的（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南长沙·期末）在长沙望城茶亭镇九峰山古驿道旁，矗立着一座别具一格的古塔——惜字塔，塔顶有株令人称奇的朴树，塔与树整体高约19米。朴树大约高7米，扎根于塔顶，历经风雨洗礼，树冠如华盖般舒展，与塔身相互映衬，形成了望城的独特景观。以数学的眼光来看，树高是塔高的几分之几？惜字塔占整个高度的几分之几？ 高频考点三 求一个数占另一数几分之几 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）10g糖溶入到100g水中，糖占糖水的（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南怀化·期末）下面说法中，正确的是（    ）。 A．所有的偶数都是合数。 B．一个数的倍数个数一定比它的因数个数多。 C．五（1）班男生占全班人数的，五（2）班的男生也占全班人数的，两班男生人数一定一样多。 D．两个质数的和一定是合数。 高频考点四 真分数、假分数、带分数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·湖北襄阳·期中）要使是真分数，是假分数，应该是（    ）。 A．6 B．7 C．5 D．4 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南商丘·期末）分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )，最小带分数是( )。 高频考点五 假分数与带分数或整数的互化 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南娄底·期末）一个数由2个1和4个组成，这个数的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·江西赣州·期末）的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 高频考点六 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）要使是真分数，而是假分数，那么括号里最大能填（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）a是一个整数，是假分数，也是假分数，那么a的取值有（    ）种可能。 A．4 B．3 C．2 D．1 高频考点七 分数的基本性质 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）＝＝＝（    ）÷35。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）一个分数的分母增加6，要使分数的大小不变，分子也增加6。( )（判断对错） 高频考点八 分数的基本性质的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北邯郸·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．把分数约分后分数大小不变，分数单位也不变 B．大于小于的分数只有1个 C．两个完全一样的平行四边形可以拼成一个更大的平行四边形 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北恩施·期末）把的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应（    ）。 A．加上6 B．乘6 C．乘3 D．加上8 高频考点九 分解质因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西赣州·期末）如图所示，工程队要在马路一侧等距离安装路灯，马路在乙处拐弯，要求在甲、乙、丙处各安装一盏路灯，最少需要安装多少盏路灯？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川凉山·期末）阳光小学五（1）班有男生36人，女生27人。如果男、女生分别排队，要使每排人数相同，每排最多排多少人？这时男、女生各排了几排？ 高频考点十 公因数与最大公团数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）手工课上，亮亮需要把一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，如果纸张没有剩余，最多可以裁多少个这样的正方形？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东揭阳·期末）画笔描绘美好未来，色彩绘就美好人生。学校要在一块长是20分米。宽是12分米的长方形展板上贴满学生的美术作品，每幅作品都是大小相同且边长为整分米数的正方形。 （1）每幅作品边长最长是多少分米？ （2）可以贴多少幅这样的作品？ 高频考点十一 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东枣庄·期末）有一张长方形纸，长60厘米，宽40厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？并在下图上画出来。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南娄底·期末）下列三个问题，可以通过找最大公因数来解决的是（   ）。 A．王老师买来一些长度分别为96分米，72分米和48分米的长绳，要剪成同款跳绳，且不浪费。跳绳最长能是多少分米？ B．一座喷泉由内外双层构成。外面每隔10分钟喷一次，里面每隔6分钟喷一次。中午12：45同时喷过一次后，下次同时喷水是几时几分？ C．亮亮家的阳台长30分米，宽24分米，要铺满正方形地砖（地砖的边长要求整分米数），可以选边长为多少分米的方砖，不切割就能铺得整齐？ 高频考点十二 互质数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·海南海口·期末）甲数和乙数互质，丙数是甲、乙两数的倍数。甲、乙、丙三个数的最大公因数是（    ）。 A．甲数 B．乙数 C．丙数 D．1 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·吉林·期末）互质的两个数必须都是质数。( )（判断对错） 高频考点十三 最简分数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北孝感·期末）已知a是大于0的自然数，当a最小是( )时，是真分数，且是假分数，当a＝( )时，和既是真分数，又是最简分数。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·北京石景山·期末）一个最简分数，如果分母减1，化简后得，如果分子加4，化简后得，这个最简分数是( )。 高频考点十四 约分的认识及应 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）小明15分钟写了3页字帖，小红8分钟写了2页字帖，请用两种方法计算，谁写的较快？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）的分子加上一个数，分母减去同一个数，所得新分数约分后得。那么这个数是（    ）。 A．3 B．5 C．6 D．9 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）甲、乙两人绕操场步行一圈，甲要5分钟，乙要6分钟，如果两人的速度不变，且他俩同时同地同向出发绕操场步行，那么经过多少分钟后他俩第一次在出发点相遇？相遇时两人分别走了多少圈？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）运动会开幕式上参加体操表演的同学一排站12人或16人，都能正好站成整排，参加体操表演的学生人数在90~100之间，有( )人参加体操表演。 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）学校舞蹈队（人数少于50人）举行校园集体舞表演，如果排成8排则少1人，如果排成10排也少1人，这个舞蹈队有多少人？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东揭阳·期末）某地公交车1路和2路早上8时同时从公交车站出发。1路公交车每6分发一班车，2路公交车每8分发一班车，它们下次同时发车应是（    ）。 A．8时16分 B．8时24分 C．8时30分 D．8时48分 高频考点十七 通分的认识及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东梅州·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．比大又比小的分数有无数个 B．里面有17个 C．真分数一定比1小，假分数一定比1大 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北鄂州·期末）五线谱中的二分音符音长是，四分音符音长是，大于小于的分数只有一个。( )（判断对错） 高频考点十八 异分母异分子分数的大小比较 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河北承德·期末）茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。明明、乐乐、欢欢到茶树种植基地采摘茶叶，体验茶叶的制作工艺。三人各自采摘一片大小相同的区域，1小时后，明明采摘了所在区域的，乐乐采摘了所在区域的，欢欢采摘了所在区域的，( )采摘得最快，( )采摘得最慢。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东揭阳·期末）学校数学兴趣小组举行三阶魔方复原比赛，决赛时欢欢用时分，乐乐用时分，淘淘用时分。谁获得比赛的冠军？ 高频考点十九 分数化小数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）在0.62，，，0.605，0.61五个数中，最大的一个是( )，最小的一个是( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）红星小学开展一年一度的春季田径运动会，男子200米决赛的成绩：贝贝用1分，津津用1.08分，明明用分，请你判一判，这次200米比赛的冠军是谁？（写出你的解题方法） 高频考点二十 一位或多位小数化分数（约分） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北十堰·期末）2.75可以转化为假分数是( )，这个分数的分数单位是( )。它减去( )个这样的分数单位就是最小的质数，加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）。 奥数拓展一 分数与除法的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（19-20五年级下·河南商丘·期末）男生人数比女生人数多，那么女生人数就比男生人数少。( )（判断对错） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）三个连续的奇数，如果最大的数是a＋2，最小的数是( )；如果a，b，c是三个任意的自然数，那么、、这三个数中你认为至少会有( )个自然数。 奥数拓展二 假分数与带分数或整数的互化 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·湖北鄂州·期中）“一分为二”的思想在《黄帝四经》中已有体现，意思是把一个整体分成两个部分。妈妈买了一个蛋糕，乐乐吃了个，这个分数的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位就是最小的质数。如果把这个蛋糕平均分成8份，其中的3份用分数表示是( )，这个分数的分数单位是( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河北石家庄·期中）把下面的假分数化成带分数或整数，带分数化成假分数。                           奥数拓展三 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·辽宁大连·期末）（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有( )种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如果是假分数，那么最小是（    ）。 A．10 B．11 C．12 奥数拓展四 分数的基本性质及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）一个分数，分子比分母小15，将分子、分母同时除以一个相同的数后是。原来的分数是多少？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）填一填。（每题中前后两组中间填的分数不相同）           奥数拓展五 分解质因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东·期中）四个连续奇数乘积为3465，求这四个数各是( )，( )，( )，( )。 奥数拓展六 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）刘老师把49个苹果和29个梨平均分给班上的每位小朋友，结果苹果多出4个，梨少了1个。这个班最多有多少位小朋友？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）娱乐场建造了一个长30分米，宽24分米，深12分米的长方体水池。 （1）如果在水池的四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方分米？ （2）如果要给水池的底面铺上尽可能大的正方形地砖，且所铺地砖都是整块，地砖边长最长是多少分米？这样的地砖铺满底面一共要用多少块？ （3）如果水池中水的高度是6分米，把一块石头假山完全浸入水中，水面上升了2分米，这块石头的体积是多少立方分米？ 奥数拓展七 约分的认识及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）一个分数，分子与分母之和是60，如果分子减去4，分母加上4，新的分数约分后是，原来的分数是( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·全国·随堂练习）下面3个几何体都是用棱长1厘米的小正方体摆成的。 （1）下面的图形分别是哪个几何体从上面看到的？将序号填在括号里。 （2）①、②、③的体积分别是多少？①的体积是③的体积的几分之几？ （3）如果要把①、②、③分别继续补搭成一个大正方体，每个几何体至少还需要多少个小正方体？说一说你的思路。 （4）你还能提出其他数学问题并解答吗？ 奥数拓展八 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）我国明代数学家程大位在《算法统宗》中记载了一个有趣的数学问题：山上有一座古寺叫“都来寺”，在这座寺庙里，3个和尚合吃1碗饭，4个和尚合喝1碗汤，他们一共用了364只碗，请问一共有多少个和尚？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·全国·单元复习）绿萝生命力强，好养活，还可以吸收空气中的二氧化碳、甲醛，使室内空气变得清新，是室内净化空气植物的首选。刘叔叔在一家新公司内的走廊一边每隔60厘米放一盆绿萝来净化空气（两端都放），一共放了31盆。后来又买了一些绿萝，准备改为每隔45厘米放一盆，除两端的绿萝外，还有多少盆绿萝不需要挪动位置？ 奥数拓展九 通分的认识及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个分数，分子与分母的和是63，如果分母加上17，这个分数约分后是，原分数是( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）已知A，B为非零自然数，并且满足，那么A的最大值是多少？B的最小值是多少？ 奥数拓展十 异分母异分子分数的大小比较 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如下图，直线上点Р在0和1之间，点Р表示的数可能是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）张明在比较分数大小的时发现这样一条规律：一个真分数的分子和分母加上相同的数（0除外），这个新分数大于原来的真分数。你认为这条规律对吗？ （1）○    ○    ○ 你的例子：（    ）…… （2）思考：和比，（    ）更接近1；（    ）和（    ）比，（    ）更接近1。 （3）你的结论：（    ）。 （4）联想：假分数符合这个规律吗？有理有据的思考并简要写出你的推导过程。 奥数拓展十一 分数和小数的互化 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南郑州·期末）分数也是“数”出来的。 （1）图中点表示，以它为分数单位往下数，数到点是，点表示的数有（    ）个这样的分数单位，将点B表示的数化成带分数是（    ）；再接着数到点是，将点表示的数化成小数是（    ）。 （2）画图表示点A表示的数（用2种不同的方式）。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）a，b是两个自然数，并且a＋b＝19，，则b－a＝( )。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·山东枣庄·期末）观察下图，米表示的意义是（    ）。 A．把1米平均分成2份，表示其中的1份。 B．把1米平均分成5份，表示其中的2份。 C．把1米平均分成3份，表示其中的2份。 2．（25-26五年级下·甘肃天水·期中）一根绳子连续对折3次，每段是全长的（    ）。 A． B． C． 3．如果a÷b＝5（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．5 D．1 4．（24-25五年级下·山东济宁·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )            ( )6 5．（24-25五年级下·山东济宁·期末）的分数单位是( )，加上( )个这样的分数单位，就等于最小的合数。 6．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）在、0.875和中，最大的数是( )，最小的数是( )。 7．（24-25五年级下·山东济宁·期末）大于而小于的分数只有一个。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·山东济宁·期末）比较两个异分母分数的大小时，分数单位大的分数就大。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·山东济宁·期末）中国结是手工编织工艺品，寓意团圆、吉祥，代表中华民族传统文化，饱含爱国之情与对未来的展望，是中国文化瑰宝，需我们传承。手工课上，张老师拿来两根丝绳要教同学们做中国结，一根长16米，另一根长20米。现在要把两根丝绳截成长度相等的小段，不能有剩余。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 10．（24-25五年级下·山东济宁·期末）五年级1班共50人，近视的有15人；五年级2班共45人，近视的有12人。五年级1班近视人数占全班人数的几分之几？五年级2班近视人数占全班人数的几分之几？哪个班近视的情况更严重？写出比较过程。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）一包糖果平均分给3个、4个或5个小朋友，都正好分完，这包糖果最少有（    ）颗。 A．30 B．40 C．50 D．60 2．（24-25五年级下·山东枣庄·期末）五（1）班有男生24人，女生18人，会操比赛时分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有（    ）人。 A．12 B．6 C．8 3．（24-25五年级下·重庆南川·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．3.6是3的倍数 B．如果，那么和的最小公倍数是 C．个位上是3、6、9的数，都是3的倍数 D．任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数 4．（24-25五年级下·山东济宁·期末）＝0.8＝16÷（    ）＝。 5．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）把的分母加上6，要使分数的大小不变，分子应加上( )。 6．（25-26五年级上·河南驻马店·期末）已知两个数的和是72，并且它们的最小公倍数和最大公因数的商是15，这两个数的差是( )。 7．（25-26五年级上·河北邯郸·期末）把下面分数约分，是假分数的要化成带分数或整数。              8．（24-25五年级下·山东济宁·期末）空气加湿器能增加空气湿度，减轻皮肤干燥、喉咙干痒、鼻腔不适等问题，尤其适合空调房、暖气房或干燥季节使用。小刚家的空气加湿器每6天会亮一次灯（提醒清洗），每15天会响一次铃（提醒消毒）。6月1日，加湿器既亮灯又响铃了，下一次既亮灯又响铃是在哪一天？ 9．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）学校有三个水龙头在滴水。第一个水龙头小时滴满1桶水；第二个水龙头小时滴满1桶水；第三个水龙头小时滴满1桶水，每个桶装的水一样多，哪个水龙头滴水最慢？（请写出你的判断理由） 10．（23-24五年级下·重庆綦江·期末）一个容器内装满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的2倍，第三次溢出的水量是第一次的3倍。中球体积是大球体积的几分之几？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第四单元 分数的意义和性质『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+20个考点讲练+11个奥数拓展+真题演练 共82题） 同学你好，该份讲义用于人教新五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 分数的产生 4 知识点二 分数的意义 4 知识点四 分数的基本性质 5 知识点五 约分 6 知识点六 通分 6 知识点七 分数和小数互化 6 考点讲练 真题汇总 7 高频考点一 单位“1”的认识与确定 7 高频考点二 分数与除法的关系 8 高频考点三 求一个数占另一数几分之几 9 高频考点四 真分数、假分数、带分数的认识 10 高频考点五 假分数与带分数或整数的互化 10 高频考点六 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 11 高频考点七 分数的基本性质 12 高频考点八 分数的基本性质的应用 12 高频考点九 分解质因数 13 高频考点十 公因数与最大公团数 15 高频考点十一 用最大公因数解决实际问题 16 高频考点十二 互质数的认识 17 高频考点十三 最简分数 18 高频考点十四 约分的认识及应 19 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 20 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 21 高频考点十七 通分的认识及应用 22 高频考点十八 异分母异分子分数的大小比较 23 高频考点十九 分数化小数 24 高频考点二十 一位或多位小数化分数（约分） 25 奥数拓展 拔尖冲刺 26 奥数拓展一 分数与除法的关系 26 奥数拓展二 假分数与带分数或整数的互化 27 奥数拓展三 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 29 奥数拓展四 分数的基本性质及应用 29 奥数拓展五 分解质因数 30 奥数拓展六 用最大公因数解决实际问题 32 奥数拓展七 约分的认识及应用 33 奥数拓展八 用最小公倍数解决实际问题 36 奥数拓展九 通分的认识及应用 37 奥数拓展十 异分母异分子分数的大小比较 38 奥数拓展十一 分数和小数的互化 39 优选真题 实战演练 41 【基础夯实 知识巩固】 41 【拓展提高 能力拔尖】 44 知识点一 分数的产生 在生产生活实践中，当我们测量、分物或计算，其结果无法用整数精确表示时，需要用到分数，古人用打结的绳子测量，剩余不足一结的部分用分数记录，再后来从实物分配的背景中，抽象为数的转化，就形成了分数的概念，分数的产生和发展经历了漫长的历程： 1. 古埃及的分数应用——莱因德纸草书（约公元前1650年）。 最早系统记录分数运算的数学文献，采用特殊符号表示分子为1的分数。 2. 中国古代的分数实践——《九章算术》（公元前2世纪）。 在"方田"章中，首次系统阐述分数运算，提出约分、通分、四则运算规则，比欧洲早1400年。 3. 古印度（约公元7世纪）的分数应用——用数字直接表示分数。 古印度的分数采用分母在下、分子在上的表示方法，例如3/5写作"3 5"，后来传入阿拉伯地区。 4. 阿拉伯的分数革新（12世纪）——首次引入分数线。 数学家海塞尔首次引入分数线，将3/5写作"3-5"的形式，后来斐波那契将此记法传入欧洲，形成了现代分数符号。 知识点二 分数的意义 （一）分数的意义：表示把单位“1”平均分成若干份，取这样的一份或者几份的数叫做分数。 （二）单位“1”认识和确定。 1. 单位“1”的定义：一个物体、一个计量单位或一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，取这样的一份或几份都可以用分数来表示，这一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。 2. 单位“1”的判断方法 （1）关键字定位法。 ①“是、比、占、相当于”后面的量为单位“1”，例如“女生人数占全班的3/5”中，“全班”是单位“1”。 ②“的”前面的量为单位“1”，例如“小明吃了苹果的1/3”中，“苹果”是单位“1”。 （2）实际情境分析法。 当题目未明确给出单位“1”时，需根据题意自行确定，例如“修一条路的2/5”，默认整条路是单位“1”。 （三）分数单位的认识和确定 1. 分数单位的定义：将单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫作分数单位。 2. 分数单位的确定：一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。 （四）分数与除法的关系 1. 分数与除法的关系：在除法中，被除数÷除数=商，在分数中，被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值，除号相当于分数线，用分数表示为。 2. 分数与除法的转化 （1）分数转除法：将分子作为被除数，分母作为除数 （2）除法转分数：用被除数作分子，除数作分母 3. 分数与除法的区别：分数是一个具体的数（结果），除法是一种运算过程。 知识点三 分数的分类 1. 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 2. 假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 3. 带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。 4. 假分数化成整数或带分数：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变。 5. 带分数化成假分数。 带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子。 知识点四 分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 知识点五 约分 1. 约分的定义：利用分数的基本性质，分子和分母同时除以同一个非零的数，将分数化成与它相等，但分子和分母都比较小的分数，这个过程叫做约分。 2. 最简分数：一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。 （互质数，即只有公因数1的两个数。） 3. 约分的方法 （1）逐步约分法：用分子和分母的公因数（1除外）逐步去除，直到约成最简分数。 （2）一次约分法：找到分子和分母的最大公因数，直接用分子和分母的最大公因数约分，这样可以直接得到最简分数。 4. 注意：约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分，或者多约几次，直到互质再停，教师要注意强调互质再停止约分。 知识点六 通分 1. 通分的定义：将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。 2. 通分的方法和步骤 （1）确定公分母：利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数； （2）转换分数：利用分数的基本性质，将每个分数的分子和分母同时乘以一个数，使分母变为公分母。 3. 注意 （1）通分也不改变分数的大小，通分后的分数必须与原分数大小相等； （2）通分不一定以最小公倍数作为公分母，但最小公倍数计算更简便。 4. 分数比较大小 （1）如果分母相同，就直接比较分子，分子大的分数值就比较大； （2）如果分子相同，就直接比分母，分母小的分数值就比较大； （3）分子分母都不相同的分数的大小比较，将比较的几个分数通分，使分母相等，再根据分子的大小来比较。 知识点七 分数和小数互化 1. 分数和小数的互化： （1）小数化为分数：有几位小数分母就是1后面带几个0，例如：0.1=，0.23=。 （2）分数化常见的为小数：先将分数化为除法，再计算成小数，例如=1÷4=0.25。 2. 常用的分小互化： =0.5 =0.2 =0.625 =0.25 =0.4 =0.125 =0.75 =0.6 =1.375 =0.0625 =0.8 =0.875 =0.04 =0.08 =0.12 =0.16 高频考点一 单位“1”的认识与确定 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东揭阳·期末）把一段绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，下列说法正确的是（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】将这段绳子看成单位“1”，根据第二段占全长的，那么第二段就是占7份中的1份，第一段就是占7份中的6份即，两者进行比较。 【规范解答】根据分析，第一段占全长的，第二段占全长的 ＞，即第一段长； 故答案为：A 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·甘肃天水·期末）一盒巧克力，小赵取走了，小飞取走了余下的，两人取走的巧克力一样多。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】先把这盒巧克力看作单位“1”，小赵取走了，这个是总量的；再把余下的巧克力看作单位“1”，小飞取走了余下的，这个是第一次取走后余下巧克力的，两个的单位“1”不相同，所以他们取走的数量不相同，据此解答。 【规范解答】 分析可知，一盒巧克力，小赵取走了，小飞取走了余下的，这两个的单位“1”不相同，所以两人取走的巧克力不一样多，题目说法错误。 故答案为：× 高频考点二 分数与除法的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南商丘·期末）一根3米长的绳子，剪成长短相同的小段，共剪5次，每段占总长的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】剪绳子的次数和段数的关系，段数＝剪的次数＋1，已知绳子剪了5次，所以能得到5＋1＝6段；再把绳子的总长看作单位“1”，将单位“1”平均分成6段，每段占总长的占比就是1÷6＝。 【规范解答】5＋1＝6（段） 1÷6＝ 所以一根3米长的绳子，剪成长短相同的小段，共剪5次，每段占总长的。 故答案为：B 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南长沙·期末）在长沙望城茶亭镇九峰山古驿道旁，矗立着一座别具一格的古塔——惜字塔，塔顶有株令人称奇的朴树，塔与树整体高约19米。朴树大约高7米，扎根于塔顶，历经风雨洗礼，树冠如华盖般舒展，与塔身相互映衬，形成了望城的独特景观。以数学的眼光来看，树高是塔高的几分之几？惜字塔占整个高度的几分之几？ 【答案】； 【思路引导】已知塔与树整体高约19米，朴树大约高7米，则塔高（19－7）米；用树高除以塔高，求出树高是塔高的几分之几；用惜字塔的高度除以整个高度，求出惜字塔占整个高度的几分之几。 【规范解答】塔高：19－7＝12（米） 7÷12＝ 12÷19＝ 答：树高是塔高的，惜字塔占整个高度的。 高频考点三 求一个数占另一数几分之几 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）10g糖溶入到100g水中，糖占糖水的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】糖＋水＝糖水，将糖水质量看作单位“1”，糖的质量÷糖水质量＝糖占糖水的几分之几。 【规范解答】10÷（10＋100） ＝10÷110 ＝ 即10g糖溶入到100g水中，糖占糖水的。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南怀化·期末）下面说法中，正确的是（    ）。 A．所有的偶数都是合数。 B．一个数的倍数个数一定比它的因数个数多。 C．五（1）班男生占全班人数的，五（2）班的男生也占全班人数的，两班男生人数一定一样多。 D．两个质数的和一定是合数。 【答案】B 【思路引导】偶数是能够被2所整除的整数；合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【规范解答】A．2是偶数，但2只能被1和它本身整除，是质数不是合数，所以该选项错误。 B．一个数的倍数个数一定比它的因数个数多，该选项正确。 C．两个班的总人数不一定相同，所以两班男生人数不一定一样多，该选项错误。 D．2和3都是质数，它们的和2＋3＝5，5也是质数，不是合数，所以该选项错误。 所以说法正确的是选项B中的说法。 故答案为：B 高频考点四 真分数、假分数、带分数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·湖北襄阳·期中）要使是真分数，是假分数，应该是（    ）。 A．6 B．7 C．5 D．4 【答案】A 【思路引导】在分数中，分子小于分母的分数为真分数；分子大于或等于分母的分数为假分数；据此解答。 【规范解答】根据真分数的定义，＜1，可得x＜7； 根据假分数的定义，≥1，可得x≥6； 所以6≤x＜7；x＝6满足条件。 因此x应该是6。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南商丘·期末）分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )，最小带分数是( )。 【答案】 【思路引导】分子小于分母的分数是真分数；分子等于或大于分母的分数是假分数；由整数和真分数组成的分数是带分数。据此解答即可。 【规范解答】由分析可知：分数单位是的最大真分数是，最小假分数是，最小带分数是。 高频考点五 假分数与带分数或整数的互化 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南娄底·期末）一个数由2个1和4个组成，这个数的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位。 【答案】 14 【思路引导】2个1表示2，4个表示，合起来是带分数； 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。把带分数化成假分数，对于真分数、假分数来说，分子是几，就有几个这样的分数单位。 【规范解答】一个数由2个1和4个组成，即，这个数的分数单位是； ＝，它有14个这样的分数单位。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·江西赣州·期末）的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】 19 【思路引导】分母是几分数单位就是几分之一，分子是几就有几个这样的分数单位；最小的合数是4，将4化成分母是6的假分数，求出两个分子之间的差就是再添上的分数单位的个数。 【规范解答】4＝、24－5＝19（个） 的分数单位是，再添上19个这样的分数单位就是最小的合数。 高频考点六 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）要使是真分数，而是假分数，那么括号里最大能填（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】真分数的分子小于分母，真分数小于1；假分数分子等于或大于分母，假分数等于或大于1；据此解答。 【规范解答】A．括号里填5时，是假分数，不符合题意； B．括号里填6时，是真分数，是假分数，但不是最大能填的数，不符合题意； C．括号里填7时，是真分数，是假分数，是最大能填的数，符合题意； D．括号里填8时，是真分数，不是假分数，不符合题意； 故答案为：C 【考点剖析】此题考查了真分数与假分数的意义，关键要找到符合条件最大能填的数。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）a是一个整数，是假分数，也是假分数，那么a的取值有（    ）种可能。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】假分数的分子大于等于分母，分母小于等于分子，分别找出是假分数和是假分数时a的取值范围，最后找出符合条件的a的值。 【规范解答】当是假分数时，a≥9；当是假分数时，a≤11；则9≤a≤11，a的值为9、10、11，一共3种可能。 故答案为：B 【考点剖析】本题主要考查假分数的认识，掌握假分数的意义是解答题目的关键。 高频考点七 分数的基本性质 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）＝＝＝（    ）÷35。 【答案】28；18；15 【思路引导】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 【规范解答】＝＝ ＝＝ ＝＝＝15÷35 即：＝＝＝15÷35 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）一个分数的分母增加6，要使分数的大小不变，分子也增加6。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据分数的性质，分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。据此解答。 【规范解答】例如：，分母和分子增加6后变为，与不相等；题目说法错误。 故答案为：× 高频考点八 分数的基本性质的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北邯郸·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．把分数约分后分数大小不变，分数单位也不变 B．大于小于的分数只有1个 C．两个完全一样的平行四边形可以拼成一个更大的平行四边形 【答案】C 【思路引导】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，但是分母改变了，分数单位也变了； 根据分数的基本性质，把两个分数扩大到原来的2、3、4倍，可以找到大于小于的分数有无数个； 利用平行四边形两组对边分别平行且相等把两个完全一样的平行四边形拼在一起，面积为原来一个平行四边形面积的2倍。 【规范解答】A．分数约分前后大小不变，但是分母不一样，分数单位也不一样，例如约分后是，分数单位由变为； B．，，根据分数的基本性质，分子分母可扩大到原来的2、3、4倍，分数的大小不变，倍数的个数是无限的，所以可以找到大于小于的分数有无数个； C．把两个完全一样的平行四边形的两条相等的边对齐拼接在一起，邻边放在同一条直线上，就可以拼成一个更大的平行四边形。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北恩施·期末）把的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应（    ）。 A．加上6 B．乘6 C．乘3 D．加上8 【答案】C 【思路引导】原分数的分子是3，分子加上6后，新的分子为3＋6＝9。9÷3＝3，即分子乘3，根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。因为分子乘3，要使分数的大小不变，分母也应乘3。用现在的分母减去原来的分母8，求出分母应增加多少。 【规范解答】的分子是3。 3＋6＝9 9÷3＝3 8×3－8 ＝24－8 ＝16 因为分子乘3，要使分数的大小不变，分母也应乘3，或加上16。 故答案为：C 高频考点九 分解质因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西赣州·期末）如图所示，工程队要在马路一侧等距离安装路灯，马路在乙处拐弯，要求在甲、乙、丙处各安装一盏路灯，最少需要安装多少盏路灯？ 【答案】12盏 【思路引导】路灯数量最少，意味着相邻路灯的间距要尽可能大，这个最大间距就是420和240的最大公因数。可通过短除法求出两个数的最大公因数。乙处是两段路的公共点，路灯只需要安装1次，无需重复计算。甲、丙两端都需要安装路灯，属于“两端植树”问题，根据“段数＝路长÷间距”、“段数＋1＝路灯数”，分别计算两段路的路灯数。用两段路的路灯总数减去重复的乙处路灯就是最少需要安装路灯数。 【规范解答】 420和240的最大公因数为2×2×3×5＝60，即最大间距为60米； 甲到乙段：420÷60＝7（段），7＋1＝8（盏） 乙到丙段：240÷60＝4（段），4＋1＝5（盏） 一共：8＋5－1＝12（盏） 答：最少需要安装12盏路灯。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川凉山·期末）阳光小学五（1）班有男生36人，女生27人。如果男、女生分别排队，要使每排人数相同，每排最多排多少人？这时男、女生各排了几排？ 【答案】每排最多9人；男生4 排；女生3 排 【思路引导】根据题意，男生36人，女生27人，要使每排人数相同，那么每排人数是36和27的公因数；求每排最多的人数，就是求36和27的最大公因数。 求出每排人数后，用男、女生各自的人数除以每排人数，即可求出各排了几排。 【规范解答】36＝2×2×3×3 27＝3×3×3 36和27的最大公因数：3×3＝9 即每排最多排9人。 男生排的排数：36÷9＝4（排） 女生排的排数：27÷9＝3（排） 答：每排最多排9人，这时男生排了4排，女生排了3排。 高频考点十 公因数与最大公团数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）手工课上，亮亮需要把一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，如果纸张没有剩余，最多可以裁多少个这样的正方形？ 【答案】20个 【思路引导】要裁出无剩余的最大正方形，边长得是20和16的公因数，要最大的就取它们的最大公因数，用分解质因数法求出它们的最大公因数作为边长，再用长方形的长和宽分别除以边长，相乘求出可裁出的正方形个数。 【规范解答】20＝2×2×5 16＝2×2×2×2 20和16的最大公因数是2×2＝4 所以裁成的正方形边长是4厘米。 20÷4＝5（个） 16÷4＝4（个） 5×4＝20（个） 答：最多可以裁20个这样的正方形。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东揭阳·期末）画笔描绘美好未来，色彩绘就美好人生。学校要在一块长是20分米。宽是12分米的长方形展板上贴满学生的美术作品，每幅作品都是大小相同且边长为整分米数的正方形。 （1）每幅作品边长最长是多少分米？ （2）可以贴多少幅这样的作品？ 【答案】 （1）4分米； （2）15幅 【思路引导】（1）用分解质因数法求出20和12的最大公因数，即、，所求得的最大公因数就是每幅作品最大边长； （2）用长方形的长和宽分别除以最大作品边长，得到的商再相乘，即可解答。 【规范解答】（1） 所以，20和12的最大公因数是： 答：每幅作品边长最长是4分米。 （2）（个） （个） （幅） 答：可以贴15幅这样的作品。 高频考点十一 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东枣庄·期末）有一张长方形纸，长60厘米，宽40厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？并在下图上画出来。 【答案】 20厘米 【思路引导】剪成若干同样大小的正方形没有剩余，就是求60和40的最大公因数，根据分解质因数，把两个数的公有质因数相乘即可，据此解答。 【规范解答】60＝2×2×3×5； 40＝2×2×2×5； 60和40的最大公因数是2×2×5＝20；　 答：剪出的正方形的边长最大是20厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南娄底·期末）下列三个问题，可以通过找最大公因数来解决的是（   ）。 A．王老师买来一些长度分别为96分米，72分米和48分米的长绳，要剪成同款跳绳，且不浪费。跳绳最长能是多少分米？ B．一座喷泉由内外双层构成。外面每隔10分钟喷一次，里面每隔6分钟喷一次。中午12：45同时喷过一次后，下次同时喷水是几时几分？ C．亮亮家的阳台长30分米，宽24分米，要铺满正方形地砖（地砖的边长要求整分米数），可以选边长为多少分米的方砖，不切割就能铺得整齐？ 【答案】A 【思路引导】当需要把多个数对应的量分成相同的最大单位，且无剩余时，需用最大公因数解决。据此逐一分析。 【规范解答】A．要将不同长度的长绳剪成同款最长跳绳且不浪费，需要找96、72、48的最大公因数，该问题可用最大公因数解决； B．要找内外喷泉下次同时喷水的时间，本质是找10和6的最小公倍数，所以该问题用最小公倍数解决，而非最大公因数； C．要找能铺满阳台的正方形地砖边长，需找30和24的公因数，不特指最大的那一个，所以不是专门求最大公因数。 高频考点十二 互质数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·海南海口·期末）甲数和乙数互质，丙数是甲、乙两数的倍数。甲、乙、丙三个数的最大公因数是（    ）。 A．甲数 B．乙数 C．丙数 D．1 【答案】D 【思路引导】公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。两个数公有因数叫做这两个数的公因数；其中最大的叫最大公因数。甲数和乙数互质，它们的最大公因数是1；丙数是甲、乙两数的倍数，则甲、乙、丙三个数互质，它们的最大公因数是1；可以通过举例得到答案。 【规范解答】如：甲数是2，乙数是3，2和3互质；丙数是6，6是2、3的倍数；2、3、6互质，2、3、6的最大公因数是1。 故答案为：D 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·吉林·期末）互质的两个数必须都是质数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】公因数只有1的两个数叫做互质数，这两个数可能都是质数，也可能都是合数，也可能是一个质数、一个合数，由此即可得出答案。 【规范解答】由分析可得：互质的两个数不一定都是质数，例如：7和8互质，但是8不是质数，9和10也互质，但是9和10都不是质数，所以原题说法错误。 故答案为：× 高频考点十三 最简分数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北孝感·期末）已知a是大于0的自然数，当a最小是( )时，是真分数，且是假分数，当a＝( )时，和既是真分数，又是最简分数。 【答案】 7 7 【思路引导】先明确相关概念：真分数是分子小于分母的分数，假分数是分子大于或等于分母的分数，最简分数是分子与分母只有公因数1的分数。 求第一个空： 要使是真分数，得； 要使是假分数，得，把大于6，小于或等于10的自然数 列出来，选最小的即可； 求第二个空： 要使和都是真分数，也就是大于5，小于8，把符合的自然数列出来，代入原来的分数里，再检验是否为最简分数即可。 【规范解答】根据分析可知： 第一个空：大于6，小于或等于10的自然数有7、8、9、10， 从这些数里选出最小的是：7，所以第一个空填7。 第二个空：大于5，小于8的自然数有6、7， 时，​，6和8有公因数2，不是最简分数，不符合； 时，（5和7互质）、（7和8互质），都是最简真分数，符合要求； 所以第二个空填7。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·北京石景山·期末）一个最简分数，如果分母减1，化简后得，如果分子加4，化简后得，这个最简分数是( )。 【答案】 【思路引导】从“如果分母减1，化简后得”可知：分母比分子的3倍还多1。设这个最简分数的分子是，则分母是3＋1；从“如果分子加4，化简后得”可得等式：分母＝（分子＋4）×2，根据等式列方程，求出的值，即这个最简分数的分子，再用分子×3＋1就求出分母。据此解答。 【规范解答】解：设这个最简分数的分子是，则分母是3＋1。 3＋1＝（＋4）×2 3＋1＝2＋4×2 3＋1＝2＋8 3＋1－1＝2＋8－1 3＝2＋7 3－2＝2＋7－2 ＝7 7×3＋1 ＝21＋1 ＝22 这个最简分数是。 【考点剖析】将最简分数转化成分子分母的倍数关系，利用这个关系列方程是解此题的关键。 高频考点十四 约分的认识及应 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）小明15分钟写了3页字帖，小红8分钟写了2页字帖，请用两种方法计算，谁写的较快？ 【答案】小红 【思路引导】方法一：写的页数÷用的时间＝每分钟写的页数，据此分别计算出两人每分钟写的页数，比较即可，每分钟写的页数越多写的越快。分数的分子表示被除数、分母相当于除数、分数值相当于商，据此用分数表示出结果。两分数比大小，分子相同看分母，分母小的分数大。 方法二：用的时间÷写的页数＝每页用的时间，据此分别计算出两人每页用的时间，比较即可，每页用的时间越少写的越快。 【规范解答】方法一：小明：3÷15＝（页） 小红：2÷8＝（页） ，小红写的较快。 方法二：小明：15÷3＝5（分钟） 小红：8÷2＝4（分钟） 5＞4，小红写的较快。 答：小红写的较快。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）的分子加上一个数，分母减去同一个数，所得新分数约分后得。那么这个数是（    ）。 A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【思路引导】设约分之前，新分数的分子是2x，分母是7x，因为的分子加上一个数，分母减去同一个数才得到新的分数，说明2x与11的差跟61与7x的差相同，据此列方程得2x－11＝61－7x，解出方程后即可求解新分数约分之前的分子和分母，进而求解这个数是多少。 【规范解答】解：设约分之前，新分数的分子是2x，分母是7x。 2x－11＝61－7x 2x＋7x＝61＋11 9x＝72 9x÷9＝72÷9 x＝8 分子是2×8＝16 16－11＝5 这个数是5。 故答案为：B 【考点剖析】本题主要利用约分以及列方程解决问题，抓住相同的量是解题的关键。 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）甲、乙两人绕操场步行一圈，甲要5分钟，乙要6分钟，如果两人的速度不变，且他俩同时同地同向出发绕操场步行，那么经过多少分钟后他俩第一次在出发点相遇？相遇时两人分别走了多少圈？ 【答案】30分钟；甲6圈；乙5圈 【思路引导】两人同时同地同向出发，要在出发点第一次相遇，经过的时间必须既是甲走一圈时间的倍数，又是乙走一圈时间的倍数，即求5和6的最小公倍数。求出相遇时间后，用相遇时间分别除以两人走一圈所需的时间，即可求出各自走的圈数。 【规范解答】5×6＝30（分钟） 30÷5＝6（圈） 30÷6＝5（圈） 答：经过 30 分钟后他俩第一次在出发点相遇；相遇时甲走了6圈，乙走了5圈。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）运动会开幕式上参加体操表演的同学一排站12人或16人，都能正好站成整排，参加体操表演的学生人数在90~100之间，有( )人参加体操表演。 【答案】96 【思路引导】此题要求12和16的公倍数，并且这个公倍数在90~100之间。可以先将12和16的倍数写出几个，看公倍数有哪些，找出在90~100之间的公倍数。 【规范解答】12的倍数有：12、24、36、48、60、72、84、96、108...... 16的倍数有：16、32、48、64、80、96、112...... 12和16的公倍数有48、96......，在90~100之间的公倍数是96，所以有96人参加体操表演。 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）学校舞蹈队（人数少于50人）举行校园集体舞表演，如果排成8排则少1人，如果排成10排也少1人，这个舞蹈队有多少人？ 【答案】39人 【思路引导】根据题意，舞蹈队人数排成8排少1人，排成10排也少1人，说明舞蹈队人数加上1人后，既是8的倍数，又是10的倍数，即人数加1是8和10的公倍数。先找出8和10的公倍数，再结合人数少于50人的条件确定公倍数的具体数值，最后减去1即可求出舞蹈队人数。 【规范解答】因为排成8排少1人，排成10排也少1人， 所以舞蹈队人数加上1人后，是8和10的公倍数。 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56…… 10的倍数有：10，20，30，40，50…… 8和10的公倍数有：40，80…… 因为舞蹈队人数少于50人， 所以人数加上1人后的数值只能是40。 40-1＝39（人） 答：这个舞蹈队有39人。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东揭阳·期末）某地公交车1路和2路早上8时同时从公交车站出发。1路公交车每6分发一班车，2路公交车每8分发一班车，它们下次同时发车应是（    ）。 A．8时16分 B．8时24分 C．8时30分 D．8时48分 【答案】B 【思路引导】1路公交车每隔6分钟发一班车，2路公交车每隔8分钟发一班车。这两路车下一次同时发车的时间既是6的倍数，又是8的倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法。求出最小公倍数。再用出发时间加上经过时间就是下次一起发车的时间。 【规范解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。所以它们下次同时发车在24分钟后。 8时＋24分＝8时24分，它们下次同时发车应是8时24分。 故答案为：B 高频考点十七 通分的认识及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东梅州·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．比大又比小的分数有无数个 B．里面有17个 C．真分数一定比1小，假分数一定比1大 【答案】C 【思路引导】A．根据分数的基本性质，把、两个分数的分子、分母同时乘2、3、4……可以得到无数个在和之间的分数。 B．把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。先把带分数化成假分数，分子是几，就有几个这样的分数单位。 C．分子比分母小的分数叫做真分数。分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。 【规范解答】A．分母为7且比大又比小的分数是： ＝＝，＝＝，分母为14且比大又比小的分数有：、、； ＝＝，＝＝，分母为21且比大又比小的分数有：、、、、； …… 所以，比大又比小的分数有无数个，原选项说法正确； B．＝，里有17个，所以里面有17个，原选项说法正确； C．真分数一定比1小，假分数等于1或大于1，原选项说法错误。 故答案为：C 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北鄂州·期末）五线谱中的二分音符音长是，四分音符音长是，大于小于的分数只有一个。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】题目认为介于和之间的分数只有一个，但根据分数的性质，两个不同分数之间存在无数个分数。例如，通过通分或寻找中间值的方法，可以找到多个符合条件的分数，因此原题说法错误。 【规范解答】将和通分为同分母分数：，，中间的满足。此外，和还可能通分为同分母分数：，，中间的、满足。以此类推还有无数个符合条件的分数，所以原题说法错误。 故答案为：× 高频考点十八 异分母异分子分数的大小比较 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河北承德·期末）茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。明明、乐乐、欢欢到茶树种植基地采摘茶叶，体验茶叶的制作工艺。三人各自采摘一片大小相同的区域，1小时后，明明采摘了所在区域的，乐乐采摘了所在区域的，欢欢采摘了所在区域的，( )采摘得最快，( )采摘得最慢。 【答案】 明明 欢欢 【思路引导】三人采摘的区域大小相同，用时都是1小时，因此完成的占比越大，采摘速度越快。 我们通过通分比较三个分数的大小： 三个分母9、6、3的最小公倍数是18，18作为分母，原来的分母扩大几倍，分子也扩大相同的倍数。 再利用分母相同时，分子越大，采摘越快，分子越小，采摘越慢。 【规范解答】通分后得： ，​， 因为​，即​， 所以明明采摘最快，欢欢采摘最慢。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广东揭阳·期末）学校数学兴趣小组举行三阶魔方复原比赛，决赛时欢欢用时分，乐乐用时分，淘淘用时分。谁获得比赛的冠军？ 【答案】乐乐 【思路引导】魔方复原比赛用时越短成绩越好，先利用通分的方法，将它们转化为同分母分数，如果某个分数最小，那么对应的选手用时最短，就是比赛冠军。 【规范解答】，， 32＜35＜45，，即。 答：乐乐获得比赛的冠军。 高频考点十九 分数化小数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）在0.62，，，0.605，0.61五个数中，最大的一个是( )，最小的一个是( )。 【答案】 【思路引导】先把化成小数，即用分子5除以分母6； 再把化成小数，即用分子3除以分母5； 最后进行小数的大小比较，即从高位到低位逐位进行比较。 【规范解答】＝5÷6＝0.8333… ＝3÷5＝0.6 0.8333…＞0.62＞0.61＞0.605＞0.6 即：＞0.62＞0.61＞0.605＞ 最大的一个是，最小的一个是。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）红星小学开展一年一度的春季田径运动会，男子200米决赛的成绩：贝贝用1分，津津用1.08分，明明用分，请你判一判，这次200米比赛的冠军是谁？（写出你的解题方法） 【答案】明明是冠军 【思路引导】要确定200米比赛的冠军，先明确赛跑用时越短成绩越好，再将三位同学的用时统一成小数形式进行大小比较，找出用时最短的同学，即为本次比赛的冠军。 【规范解答】1＝1.1 ≈0.983 1.1＞1.08＞0.983 所以1＞1.08＞ 答：这次200米比赛的冠军是明明。 高频考点二十 一位或多位小数化分数（约分） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北十堰·期末）2.75可以转化为假分数是( )，这个分数的分数单位是( )。它减去( )个这样的分数单位就是最小的质数，加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】 3 5 【思路引导】2.75是两位小数，两位小数先化成分母为100的分数，再化简成最简分数即是假分数。 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。对于真分数、假分数来说，分子是几，就有几个这样的分数单位。 最小的质数是2，将2化成分母为4而大小不变的分数，再看分子与的分子相差几，就需要减去几个这样的分数单位就是最小的质数。 最小的合数是4，将4化成分母为4而大小不变的分数，再看分子与的分子相差几，就需要加上几个这样的分数单位就是最小的合数。 【规范解答】2.75＝＝ 的分数单位是，里有11个； 最小的质数是2，2＝，里有8个； 11－8＝3（个） 最小的合数是4，4＝，里有16个； 16－11＝5（个） 2.75可以转化为假分数（），这个分数的分数单位是（）。它减去（3）个这样的分数单位就是最小的质数，加上（5）个这样的分数单位就是最小的合数。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）。 【答案】4；20；15；45 【思路引导】小数化成分数，一位小数先化成分母为10的分数，再化简成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 【规范解答】0.8＝＝ ＝＝，＝20÷25 ＝＝ ＝＝，＝36÷45 即＝20÷25＝＝36÷45＝0.8。 奥数拓展一 分数与除法的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（19-20五年级下·河南商丘·期末）男生人数比女生人数多，那么女生人数就比男生人数少。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据男生人数比女生人数多，将女生人数看作3，男生人数就是3＋1，男女生人数差÷男生人数＝女生人数比男生少几分之几，据此分析。 【规范解答】3＋1＝4 （4－3）÷4 ＝1÷4 ＝ 男生人数比女生人数多，那么女生人数就比男生人数少。 故答案为：× 【考点剖析】此类问题一般用表示单位“1”的量作除数。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）三个连续的奇数，如果最大的数是a＋2，最小的数是( )；如果a，b，c是三个任意的自然数，那么、、这三个数中你认为至少会有( )个自然数。 【答案】 a－2 1/一 【思路引导】（1）相邻两个奇数相差2，中间的奇数为（a＋2－2），最小的奇数为（a＋2－2－2）； （2）若a、b、c都是奇数，“奇数＋奇数＝偶数”，则a＋b，a＋c，b＋c这三个算式的和都是偶数，都能被2整除，其结果都是自然数； 若a、b、c都是偶数，“偶数＋偶数＝偶数”，则a＋b，a＋c，b＋c这三个算式的和都是偶数，都能被2整除，其结果都是自然数； 若a、b、c有一个奇数，两个偶数，“奇数＋偶数＝奇数”，则a＋b，a＋c，b＋c这三个算式中一定有两个奇数，一个偶数，其结果只有1个自然数； 若a、b、c有两个奇数，一个偶数，“奇数＋偶数＝奇数”，则a＋b，a＋c，b＋c这三个算式中一定有两个奇数，一个偶数，其结果只有1个自然数；据此解答。 【规范解答】分析可知，三个连续的奇数，如果最大的数是a＋2，最小的数是（a－2）；如果a，b，c是三个任意的自然数，那么、、这三个数中至少会有1个自然数。 【考点剖析】掌握连续奇数的特征和奇数偶数的运算性质是解答题目的关键。 奥数拓展二 假分数与带分数或整数的互化 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·湖北鄂州·期中）“一分为二”的思想在《黄帝四经》中已有体现，意思是把一个整体分成两个部分。妈妈买了一个蛋糕，乐乐吃了个，这个分数的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位就是最小的质数。如果把这个蛋糕平均分成8份，其中的3份用分数表示是( )，这个分数的分数单位是( )。 【答案】 2 12 【思路引导】分母是几，这个分数的分数单位就是几分之一，分子是几就有几个这样的分数单位；最小的质数是2，把2化成分母为7的分数，看有几个分数单位，再减去2个分数单位即可求出再加上几个这样的分数单位是最小的质数。把一个蛋糕看作单位“1”平均分成几份，每份是它几分之一（即分数单位），占有几份，用分数表示为几分之几，分母为分成的份数，分子为占有的份数。 【规范解答】2＝ 14－2＝12 妈妈买了一个蛋糕，乐乐吃了，这个分数的分数单位是，它有2个这样的分数单位，再加上12个这样的分数单位就是最小的质数。如果把这个蛋糕平均分成8份，其中的3份用分数表示是，这个分数的分数单位是。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河北石家庄·期中）把下面的假分数化成带分数或整数，带分数化成假分数。                           【答案】；；；； ；；； 【思路引导】假分数化成带分数或整数，用分子除以分母，求出商和余数，商作带分数整数部分，余数作带分数中真分数部分的分子，分母不变； 带分数化成假分数，整数部分乘分母加分子作新分子，分母不变；据此计算即可。 【规范解答】，15÷2＝7……1，所以； ，23÷7＝3……2，所以； ，54÷9＝6，所以； ，3×8＋7＝24＋7＝31，所以； ，1×5＋2＝5＋2＝7，所以； ，2×8＋3＝16＋3＝19，所以； ，19÷6＝3……1，所以； ，10÷3＝3……1，所以。 奥数拓展三 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·辽宁大连·期末）（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有( )种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是( )。 【答案】 7/七 8 【思路引导】根据真分数的意义：分子小于分母的分数叫做真分数；是真分数，x小于8；假分数的意义：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，x大于或等于8；据此解答。 【规范解答】是真分数，x可能是1，2，3，4，5，6，7，一共有七种填法； 是假分数，x最小，分子等于分母，x是8。 （x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有7种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是8。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如果是假分数，那么最小是（    ）。 A．10 B．11 C．12 【答案】B 【思路引导】一个分数的分子等于或大于分母，这样的分数就是假分数。据此选择即可。 【规范解答】由分析可知： 如果是假分数，那么： 则最小是11。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查假分数，明确假分数的定义是解题的关键。 奥数拓展四 分数的基本性质及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）一个分数，分子比分母小15，将分子、分母同时除以一个相同的数后是。原来的分数是多少？ 【答案】 【思路引导】分数的基本性质是分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变。原来分子比分母小15，除以一个相同的数后分子比分母小，由此可求出分子和分母同时除以的数，再求出原分数的分子、分母即可。 【规范解答】 答：原来的分数是。 【考点剖析】本题主要考查了分数的基本性质的应用，解答此题的关键是求出原来的分子、分母同时除以相同的数是多少。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）填一填。（每题中前后两组中间填的分数不相同）           【答案】；； ；（答案不唯一） 【思路引导】根据分数的基本性质，把每组中最大和最小的两个分数化成分母更大但分数大小不变的分数，即可填出中间的分数。 【规范解答】（1），，即＜＜； （2），，即＜＜； （3），，即＜＜； （4），，即＜＜； （答案不唯一） 【考点剖析】掌握并能灵活运用分数的基本性质，这是解决此题的关键。 奥数拓展五 分解质因数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【答案】 24只 【思路引导】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【规范解答】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【考点剖析】先根据已知条件求出实际可平均分的猫粮袋数和鱼干条数，再通过求这两个数的最大公因数确定小猫的最多数量。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东·期中）四个连续奇数乘积为3465，求这四个数各是( )，( )，( )，( )。 【答案】 5 7 9 11 【思路引导】根据题意，这四个奇数是3465的因数，将3465分解质因数，将3465的质因数组合相乘得到四个连续的奇数。 【规范解答】 3465＝3×3×5×7×11，观察可知，5、7是相邻的奇数，7和11之间隔着一个奇数9，而3×3＝9，所以这四个连续奇数为：5，7，9，11。 奥数拓展六 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）刘老师把49个苹果和29个梨平均分给班上的每位小朋友，结果苹果多出4个，梨少了1个。这个班最多有多少位小朋友？ 【答案】15位 【思路引导】根据题意可知：如果苹果有（个），梨有（个），那么正好平均分完，求这个班最多有几位小朋友，即求45和30的最大公因数，把45和30进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数。由此解答即可。 【规范解答】（个） （个） 所以45和30的最大公因数是，即最多有15位小朋友。 答：这个班最多有15位小朋友。 【考点剖析】本题考查学生解决稍复杂的应用题的能力，本题中水果不能平均分，先转化成平均分，进一步转化成求两个数的最大公因数，从而使问题得以解决。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）娱乐场建造了一个长30分米，宽24分米，深12分米的长方体水池。 （1）如果在水池的四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方分米？ （2）如果要给水池的底面铺上尽可能大的正方形地砖，且所铺地砖都是整块，地砖边长最长是多少分米？这样的地砖铺满底面一共要用多少块？ （3）如果水池中水的高度是6分米，把一块石头假山完全浸入水中，水面上升了2分米，这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）1296平方分米 （2）6分米；20块 （3）1440立方分米 【思路引导】（1）由题意可知：贴瓷砖的面积是长方体水池前、后、左、右四个侧面的面积。即长×高×2＋宽×高×2，把长、宽、高的数据代入计算即可。 （2）如果要给水池的底面铺上尽可能大的正方形地砖，且所铺地砖都是整块，地砖边长最长是30和24的最大公因数。先用分解质因数法求出30和24的最大公因数，即正方形的边长；再用边长乘边长求出一块正方形地砖的面积；然后用水池底面的面积除以一块地砖的面积即可求出需要的块数。 （3）根据题意可知，把石头放入水池中，水面上升的那部分水的体积就等于这块石头的体积。把长30分米、宽24分米、高2分米代入长方体的体积公式，即可计算出这块石头的体积。 【规范解答】（1）30×12×2＋24×12×2 ＝720＋576 ＝1296（平方分米） 答：贴瓷砖的面积是1296平方分米。 （2）30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 30和24的最大公因数是2×3＝6。 30×24÷（6×6） ＝720÷36 ＝20（块） 答：地砖边长最长是6分米，这样的地砖铺满底面一共要用20块。 （3）30×24×2 ＝720×2 ＝1440（立方分米） 答：这块石头的体积是1440立方分米。 【考点剖析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 奥数拓展七 约分的认识及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）一个分数，分子与分母之和是60，如果分子减去4，分母加上4，新的分数约分后是，原来的分数是( )。 【答案】 【思路引导】分子减去4，分母加上4，分子与分母的和没变，新的分数约分后是，将分子和分母看成份数，分子和分母的和÷总份数＝一份数，一份数分别乘新分数分子和分母的对应份数，求出新分数的分子和分母，新分子＋4＝原分子，新分母－4＝原分母，据此写出原来的分数。 【规范解答】60÷（1＋3） ＝60÷4 ＝15 新分子：1×15＝15 新分母：3×15＝45 原分子：15＋4＝19 原分母：45－4＝41 原来的分数是。 【考点剖析】关键是理解分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·全国·随堂练习）下面3个几何体都是用棱长1厘米的小正方体摆成的。 （1）下面的图形分别是哪个几何体从上面看到的？将序号填在括号里。 （2）①、②、③的体积分别是多少？①的体积是③的体积的几分之几？ （3）如果要把①、②、③分别继续补搭成一个大正方体，每个几何体至少还需要多少个小正方体？说一说你的思路。 （4）你还能提出其他数学问题并解答吗？ 【答案】（1）③；②；① （2）6立方厘米；10立方厘米；11立方厘米； （3）①58个；②54个；③16个；见详解 （4）见详解 【思路引导】（1）从上面能看到：①2排4列，前排有2个小正方形，后排有3个小正方形；②3排4列，前排有2个小正方形，中排有2个小正方形，后排有3个小正方形；③3排3列，前排有2个小正方形，中排有2个小正方形，后排有3个小正方形；据此得出每个几何体从上面看到的图形。 （2）已知每个小正方体的棱长为1厘米，先根据正方体的体积公式V＝a3，求出每个小正方体的体积；再分别乘已用小正方体的个数，即是这3个几何体的体积。 求①的体积是③的体积的几分之几，用①的体积除以③的体积即可。 （3）先确定每个几何体继续补搭成一个大正方体，这个大正方体的棱长至少是多少厘米，然后根据正方体的体积公式V＝a3，求出每个大正方体至少需要小正方体的个数，再分别减去已有的小正方体个数，即可求出每个几何体至少还需要小正方体的个数。 （4）结合题目的信息，提出问题，合理即可。如：①的体积是②的体积的几分之几？ 用①的体积除以②的体积，结果用最简分数表示即可。 【规范解答】（1）几何体从上面看到的图形： （2）1×1×1＝1（立方厘米） ①的体积：1×6＝6（立方厘米） ②的体积：1×10＝10（立方厘米） ③的体积：1×11＝11（立方厘米） 6÷11＝ 答：①的体积是6立方厘米，②的体积是10立方厘米，③的体积是11立方厘米。①的体积是③的体积的。 （3）①补搭成一个棱长至少是4厘米的大正方体，还需小正方体： 4×4×4－6 ＝64－6 ＝58（个） ②补搭成一个棱长至少是4厘米的大正方体，还需小正方体： 4×4×4－10 ＝64－10 ＝54（个） ③补搭成一个棱长至少是3厘米的大正方体，还需小正方体： 3×3×3－11 ＝27－11 ＝16（个） 答：①至少还需要58个小正方体，②至少还需要54个小正方体，③至少还需要16个小正方体。 （4）可以提问：①的体积是②的体积的几分之几？（答案不唯一） 6÷10＝ 答：①的体积是②的体积的。 【考点剖析】（1）本题考查从上面观察不同的几何体，得出相应的平面图形。 （2）本题考查几何体体积的计算方法以及分数与除法的关系，掌握求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。 （3）运用空间想象力，把几何体补成一个大正方体，掌握正方体的体积公式及应用。 （4）培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。 奥数拓展八 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）我国明代数学家程大位在《算法统宗》中记载了一个有趣的数学问题：山上有一座古寺叫“都来寺”，在这座寺庙里，3个和尚合吃1碗饭，4个和尚合喝1碗汤，他们一共用了364只碗，请问一共有多少个和尚？ 【答案】624个 【思路引导】根据“3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合喝一碗汤”，能知道12个和尚要3个汤碗和4个饭碗，计7只碗，把他们12个和尚要7只碗作为一组，现在一共用了364只碗，可以分成52组，每组12人，共来了624个和尚。 【规范解答】3和4的最小公倍数是12 （只），（只），（只） （组） （个） 答：都来寺里有624个和尚． 【考点剖析】12个和尚要3个汤碗和4个饭碗，计7只碗，把他们12个和尚要7只碗作为一组。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·全国·单元复习）绿萝生命力强，好养活，还可以吸收空气中的二氧化碳、甲醛，使室内空气变得清新，是室内净化空气植物的首选。刘叔叔在一家新公司内的走廊一边每隔60厘米放一盆绿萝来净化空气（两端都放），一共放了31盆。后来又买了一些绿萝，准备改为每隔45厘米放一盆，除两端的绿萝外，还有多少盆绿萝不需要挪动位置？ 【答案】9盆 【思路引导】这条走廊的长度＝（放绿萝的盆数－1）×间距＝1800厘米，然后用短除法求出60和45的最小公倍数是180，不需要挪动位置的绿萝盆数＝这条走廊的长度÷180－1盆。 【规范解答】（31－1）×60 ＝30×60 ＝1800（厘米） 60和45的最小公倍数是5×3×4×3＝180 1800÷180－1 ＝10－1 ＝9（盆） 答：还有9盆绿萝不需要挪动位置。 【考点剖析】掌握植树问题的解题方法是关键，首先要判断出是两端栽树、一端栽树或两端都不栽的情况。 奥数拓展九 通分的认识及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个分数，分子与分母的和是63，如果分母加上17，这个分数约分后是，原分数是( )。 【答案】 【思路引导】根据原分数分子与分母的和是63，如果分数的分母加上17，可知得到的新分数的分子与分母的和就是63＋17＝80；再根据分数的性质通分，找出分子与分母的和是80的分数，进而用逆推法把这个分数的分母减去17，即可求得原分数。 【规范解答】63＋17＝80 20＋60＝80，符合题意。 60－17＝43 所以原分数是。 【考点剖析】利用分数的基本性质进行通分，并能根据题干描述进行简单的逻辑推理是解决问题的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）已知A，B为非零自然数，并且满足，那么A的最大值是多少？B的最小值是多少？ 【答案】A的最大值是5，B的最小值是2 【思路引导】异分母分数比较大小，先通分成同分母分数，再按照同分母分数的方法比较大小； 同分母分数比较大小，分母相同，分子越大，分数越大，据此解答。 【规范解答】， 因为，所以，即 答：A的最大值是5，B的最小值是2。 【考点剖析】本题关键在于根据异分母比较大小的方法进行通分，将分数统一成同分母分数，再根据分子的大小判断A、B的范围。 奥数拓展十 异分母异分子分数的大小比较 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如下图，直线上点Р在0和1之间，点Р表示的数可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】通过观察发现，点P的位置在0和1之间，超过一半接近1，没有超过，据此逐项分析，找出符合题意的选项即可。 【规范解答】A．不到一半，不符合题意； B．不到一半，不符合题意； C．超过一半，但大于，不符合题意； D．大于且小于，符合题意。 所以点Р表示的数可能是。 故答案为：D 【考点剖析】本题主要考查了对数轴的认识以及分数大小的比较。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）张明在比较分数大小的时发现这样一条规律：一个真分数的分子和分母加上相同的数（0除外），这个新分数大于原来的真分数。你认为这条规律对吗？ （1）○    ○    ○ 你的例子：（    ）…… （2）思考：和比，（    ）更接近1；（    ）和（    ）比，（    ）更接近1。 （3）你的结论：（    ）。 （4）联想：假分数符合这个规律吗？有理有据的思考并简要写出你的推导过程。 【答案】见详解 【思路引导】异分母分数比较大小，先通分再比较，先比较大小，再验证结论。 【规范解答】这条规律对。 （1）＜    ＜    ＞ 我的例子：和，＜ （2）思考：和比，更接近1；和比，更接近1。 （3）结论：真分数越接近1，这个真分数越大。 （4）假分数不符合这个规律。 思考：和比，、，所以＞。更接近1，假分数越接近1，这个假分数越小。 【考点剖析】关键是掌握分数大小比较方法。 奥数拓展十一 分数和小数的互化 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南郑州·期末）分数也是“数”出来的。 （1）图中点表示，以它为分数单位往下数，数到点是，点表示的数有（    ）个这样的分数单位，将点B表示的数化成带分数是（    ）；再接着数到点是，将点表示的数化成小数是（    ）。 （2）画图表示点A表示的数（用2种不同的方式）。 【答案】（1）；；9；；；2.2（2）图见详解 【思路引导】根据题意，先确定数轴上的单位长度划分，明确分数单位，再结合分数的意义、分数与带分数的互化、分数与小数的互化来求解各空，最后思考表示点A的不同画图方式。据此解答。 【规范解答】（1）观察数轴，0到1之间被平均分成5份，所以每份是，点A表示。从点A（）往右数，数到点B，共数了9个，所以点B表示，它有9个这样的分数单位。化成带分数，9÷5＝1……4，所以是。接着数到点C，是， ＝11÷5＝2.2。 图中点表示，以它为分数单位往下数，数到点是，点表示的数有9个这样的分数单位，将点B表示I的数化成带分数是；再接着数到点是，将点表示的数化成小数是2.2。 （2）方式一：将一个长方形平均分成5份，涂其中1份，表示。 方式二：将一条线段平均分成5份，取其中1份，表示。 【考点剖析】解决此类数轴与分数结合的问题，关键是确定单位长度的划分，明确分数单位，再灵活运用分数的相关互化知识。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）a，b是两个自然数，并且a＋b＝19，，则b－a＝( )。 【答案】5 【思路引导】由题意可知，是一个真分数，则a＜b，根据a＋b＝19找出a和b的所有取值，再找出分数值大于小于的a和b的值，即可求得。 【规范解答】≈0.57，＝0.625 当a＝1时，b＝19－1＝18，＝≈0.05，不符合题意； 当a＝2时，b＝19－2＝17，＝≈0.12，不符合题意； 当a＝3时，b＝19－3＝16，＝≈0.19，不符合题意； 当a＝4时，b＝19－4＝15，＝≈0.27，不符合题意； 当a＝5时，b＝19－5＝14，＝≈0.36，不符合题意； 当a＝6时，b＝19－6＝13，＝≈0.46，不符合题意； 当a＝7时，b＝19－7＝12，＝≈0.58，符合题意； 当a＝8时，b＝19－8＝11，＝≈0.73，不符合题意； 由上可知，a＝7，b＝12，b－a＝12－7＝5。 【考点剖析】根据a和b的关系找出符合条件的分数并确定a和b的值是解答题目的关键。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·山东枣庄·期末）观察下图，米表示的意义是（    ）。 A．把1米平均分成2份，表示其中的1份。 B．把1米平均分成5份，表示其中的2份。 C．把1米平均分成3份，表示其中的2份。 【答案】C 【思路引导】根据分数的意义，将单位“1” 平均分成若干份，分成的总份数写成分母，而取其中的几份则写成分子。据此解答。 【规范解答】根据分析和图片可得，1米为单位“1” ，米表示的意义是把1米平均分成3份，表示其中的2份。 2．（25-26五年级下·甘肃天水·期中）一根绳子连续对折3次，每段是全长的（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】将一根绳子连续对折3次，相当于将绳子平均分成8段，每段是全长的，据此解答。 【规范解答】一根绳子连续对折3次，每段是全长的。 3．如果a÷b＝5（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．5 D．1 【答案】B 【思路引导】当两个整数成倍数关系时，较大的数是这两个数的最小公倍数，较小的数是这两个数的最大公因数，据此即可解答。 【规范解答】根据分析可知，如果a÷b＝5（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是b。 4．（24-25五年级下·山东济宁·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )            ( )6 【答案】 ＝ ＜ ＞ 【思路引导】将带分数化为假分数，再按同分母分数比较的方法判断；将整数转化为分数单位相同的假分数，再按同分母分数比较的方法判断。 【规范解答】，＝； ，＜，即＜； ， ＞，即 ＞6。 5．（24-25五年级下·山东济宁·期末）的分数单位是( )，加上( )个这样的分数单位，就等于最小的合数。 【答案】 26 【思路引导】把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位，因此，这个分数的分数单位是，最小的合数是4，有36个，用36减去10就能求出再加上几个这样的分数单位是最小的合数。 【规范解答】的分数单位是； ，36－10＝26，加上26个这样的分数单位，就等于最小的合数。 6．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）在、0.875和中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 【思路引导】分数化小数：用分子除以分母，据此把给出的分数都化成小数，再按照小数比较大小的方法比较大小并确定最大和最小的数。 【规范解答】＝7÷8＝0.875 ＝9÷10＝0.9 ＝1÷5＝0.2 因为0.9＞0.875＞0.2，所以＞＝0.875＞，所以最大的数是，最小的数是。 7．（24-25五年级下·山东济宁·期末）大于而小于的分数只有一个。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。可以通过扩大分母的方法，在两个已知分数之间找到更多的分数，从而判断介于这两个分数之间的分数是否有无数个。 【规范解答】大于而小于且分母是12的分数只有一个。 将和的分子和分母同时乘2：，，大于而小于且分母是24的分数有、、。 若将分子和分母同时乘3、乘4……可以找到更多分数。 所以大于而小于的分数有无数个，原题说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·山东济宁·期末）比较两个异分母分数的大小时，分数单位大的分数就大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】分数单位的大小仅由分母决定，分母越小，分数单位越大。而分数的大小是由分子和分母共同决定的。若分子不同，分数单位大的分数，其实际大小不一定大。本题可通过举反例的方法进行验证，若存在反例，则原说法错误。 【规范解答】分数单位是把单位1平均分成若干份，表示其中一份的数。 例如： 的分数单位是， 的分数单位是。 因为2＜10，所以＞，即的分数单位较大。 将两个分数通分进行比较：＝，＝。 因为＜，所以＜。 所以，比较两个异分母分数的大小时，分数单位大的分数就大，这种说法是错误的。 故答案为：× 9．（24-25五年级下·山东济宁·期末）中国结是手工编织工艺品，寓意团圆、吉祥，代表中华民族传统文化，饱含爱国之情与对未来的展望，是中国文化瑰宝，需我们传承。手工课上，张老师拿来两根丝绳要教同学们做中国结，一根长16米，另一根长20米。现在要把两根丝绳截成长度相等的小段，不能有剩余。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】4米；9段 【思路引导】要把两根丝绳截成长度相等的小段且没有剩余，说明每段的长度必须是两根丝绳长度的公因数。要求每段最长是多少米，即求16和20的最大公因数。求出每段长度后，用两根丝绳的总长度除以每段的长度，即可得到一共可以截成的段数。 【规范解答】16＝2×2×2×2 20＝2×2×5 16和20的最大公因数是2×2＝4 （16＋20）÷4 ＝36÷4 ＝9（段） 答：每段最长是4米，一共可以截成9段。 10．（24-25五年级下·山东济宁·期末）五年级1班共50人，近视的有15人；五年级2班共45人，近视的有12人。五年级1班近视人数占全班人数的几分之几？五年级2班近视人数占全班人数的几分之几？哪个班近视的情况更严重？写出比较过程。 【答案】；；五年级1班，过程见详解 【思路引导】求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，分别用近视人数除以全班人数即可。比较两个分数大小，分数越大，近视的情况越严重。 【规范解答】 因为，所以 答：五年级1班近视人数占全班人数的，五年级2班近视人数占全班人数的，五年级1班近视的情况更严重。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）一包糖果平均分给3个、4个或5个小朋友，都正好分完，这包糖果最少有（    ）颗。 A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【思路引导】读题可知，这包糖果的颗数至少是3、4、5的最小公倍数。三个数两两互质，最小公倍数是这三个数的积。 【规范解答】3×4×5＝60（颗） 这包糖果最少有60颗。 2．（24-25五年级下·山东枣庄·期末）五（1）班有男生24人，女生18人，会操比赛时分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有（    ）人。 A．12 B．6 C．8 【答案】B 【思路引导】要使每排的人数相同，求出24和18的最大公因数即为每排最多可以站的人数，据此解答。 【规范解答】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 所以24和18的最大公因数是2×3＝6， 因此要使每排的人数相同，每排最多有6人。 3．（24-25五年级下·重庆南川·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．3.6是3的倍数 B．如果，那么和的最小公倍数是 C．个位上是3、6、9的数，都是3的倍数 D．任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数 【答案】D 【思路引导】3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；公倍数：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数；质数：在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。据此求解。 【规范解答】A．在研究因数和倍数时，所说的数一般指非0自然数，3.6是小数，所以不能说3.6是3的倍数，该选项错误； B．如果，那么和是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数是互质的，互质数的最小公倍数是它们的乘积，即，而不是，该选项错误； C．判断一个数是不是3的倍数，要看这个数各位上数字的和是不是3的倍数，而不是看个位上的数字，例如13、16、19，个位上分别为3、6、9，但它们都不是3的倍数，该选项错误； D．质数中2是偶数，其余质数都是奇数，当2和其他质数相乘时，积是偶数，比如；当两个不是2的质数相乘时，积是奇数，比如。所以任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数，该选项正确。 故答案为：D 4．（24-25五年级下·山东济宁·期末）＝0.8＝16÷（    ）＝。 【答案】4；20；15 【思路引导】根据小数化分数的方法，分数的基本性质，分子和分母同时除以2，分数的大小不变：0.8＝＝；根据分数与除法的关系，以及商不变的规律，被除数和除数同时乘4：＝4÷5＝（4×4）÷（5×4）＝16÷20；根据分数的基本性质：＝＝。 【规范解答】根据分析可得：＝0.8＝16÷20＝。 5．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）把的分母加上6，要使分数的大小不变，分子应加上( )。 【答案】14 【思路引导】分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【规范解答】（3＋6）÷3 ＝9÷3 ＝3 把的分母加上6，即分母乘3，分子也应该乘3。 7×3－7 ＝21－7 ＝14 分子应加上14。 6．（25-26五年级上·河南驻马店·期末）已知两个数的和是72，并且它们的最小公倍数和最大公因数的商是15，这两个数的差是( )。 【答案】18 【思路引导】设这两个数的最大公因数为d，则两数可表示为d×a、d×b（a、b互质），它们的最小公倍数是d×a×b。由“最小公倍数与最大公因数的商是15”，可得a×b＝15，且a、b互质，所以a、b只能是1和15或3和5。两数和是72，即d×a＋d×b＝d×（a＋b）＝72，用72除以a与b的和即可求出d，也就是这两个数的最大公因数。若a＝1、b＝15，72÷（1＋15），结果不是整数，舍去；若a＝3、b＝5，72÷（3＋5），结果是9，即最大公因数是9。由此得到两数为9×3＝27和9×5＝45，最后计算两数的差即可。 【规范解答】设这两个数的最大公因数为d，则两数可表示为d×a、d×b（a、b互质）。 d×a＋d×b＝d×（a＋b）＝72 15＝1×15＝3×5 若a＝1、b＝15， 72÷（1＋15） ＝72÷16 ＝4.5（不符） 若a＝3、b＝5， 72÷（3＋5） ＝72÷8 ＝9（符合） 9×3＝27 9×5＝45 45－27＝18 所以这两个数的差是18。 7．（25-26五年级上·河北邯郸·期末）把下面分数约分，是假分数的要化成带分数或整数。              【答案】3；；；； 【思路引导】先找出分子和分母的最大公因数，利用分数的基本性质，用分子分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数。判断约分后的分数是否为假分数，如果是假分数，那么用分子除以分母，将其转化为带分数或整数；如果是真分数，直接保留最简形式即可。 【规范解答】＝＝＝3 ＝＝ ＝＝＝ ＝＝＝ ＝＝ 8．（24-25五年级下·山东济宁·期末）空气加湿器能增加空气湿度，减轻皮肤干燥、喉咙干痒、鼻腔不适等问题，尤其适合空调房、暖气房或干燥季节使用。小刚家的空气加湿器每6天会亮一次灯（提醒清洗），每15天会响一次铃（提醒消毒）。6月1日，加湿器既亮灯又响铃了，下一次既亮灯又响铃是在哪一天？ 【答案】7月1日 【思路引导】亮灯和响铃下一次同时发生，间隔天数就是6和15的最小公倍数。分解质因数求出相隔天数后，结合6月份的天数（30天），从6月1日往后推算相应的天数，即可得出下一次同时发生的日期。 【规范解答】6＝2×3 15＝3×5 6和15的最小公倍数是2×3×5＝30 6月1日＋30天＝7月1日 答：下一次既亮灯又响铃是在7月1日。 9．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）学校有三个水龙头在滴水。第一个水龙头小时滴满1桶水；第二个水龙头小时滴满1桶水；第三个水龙头小时滴满1桶水，每个桶装的水一样多，哪个水龙头滴水最慢？（请写出你的判断理由） 【答案】第二个水龙头滴水最慢；理由见详解 【思路引导】在工作量相同的情况下，用时越长的水龙头，滴水速度越慢。因此，只需要比较三个水龙头滴满1桶水所用时间的大小，找出用时最长的即可。比较异分母分数大小，需要先通分。 【规范解答】因为2、5、4的最小公倍数是5×4＝20，所以将三个分数通分如下： ＝＝ ＝＝ ＝＝ 因为，所以 ，即 ，第二个水龙头用时最长，滴水最慢。 答：第二个水龙头用时最长，所以第二个水龙头滴水最慢。 10．（23-24五年级下·重庆綦江·期末）一个容器内装满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的2倍，第三次溢出的水量是第一次的3倍。中球体积是大球体积的几分之几？ 【答案】 【思路引导】第一次，沉入小球，溢出的水量是小球的体积；第二次，取出小球，沉入中球，溢出的水量＝中球体积－小球体积；第三次，取出中球，沉入大球，溢出的水量＝大球体积－中球体积。第一次溢出的水量是第二次的2倍，假设小球体积是2，则中球体积－小球体积是1，那么中球体积是3。第三次溢出的水量是第一次的3倍，即大球体积－中球体积＝小球体积×3，由此确定大球体积，将大球体积看作单位“1”，中球体积÷大球体积＝中球体积是大球体积的几分之几。 【规范解答】假设小球体积是2，则中球体积是3。 大球体积－中球体积＝2×3＝6 大球体积＝3＋6＝9 3÷9＝ 答：中球体积是大球体积的。 【考点剖析】关键是根据溢出的水量，确定小球、中球和大球体积之间的关系。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null