卷2 第20章 二次根式 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（华东师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次根式的定义、性质、运算、化简及应用，通过“上分技巧”“上分心得”等模块结合选择、填空、解答题，将定义判断、性质应用、运算化简、实际问题解决等核心内容串联，帮助学生构建完整的二次根式知识网络。 其亮点在于融入新考法、传统文化及探究性问题，如通过“运算符号使结果为有理数”培养推理能力，结合海伦-秦九韶公式渗透数学眼光，设计分层题目（基础题如选择1-5、中档题如7-10、难题如16题），助力学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习针对性。

数 学 九年级全一册 HS 1 2 3 卷2 第20章提优验收卷（B卷） 考查内容：二次根式 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间：90 min 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026四川泸州月考]下列式子是二次根式的是( ) D A. B. C. D. 【解析】A选项，无意义，故本选项不符合题意；B选项， 的根指数是3， 不是2，故本选项不符合题意；C选项，当 时，根式无意义，故本选项不符 合题意；D选项，该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 上分技巧 识别二次根式的方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.[2026山东淄博月考]下列各根式中，不能与 合并的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，原式，能与 合并，故本选项不合题意；B选项，原式 ，能与合并，故本选项不合题意；C选项，原式，不能与 合并， 故本选项符合题意；D选项，能与 合并，故本选项不合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.[2026山西运城期中]下列各式中，化简正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，，原计算错误，不符合题意；B选项， ，原计 算错误，不符合题意；C选项， ，原计算正确，符合题意；D选项， ，原计算错误，不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.[2026重庆校级月考]估计 的值在( ) D A.3到4之间 B.2到3之间 C.1到2之间 D.0到1之间 【解析】 . 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.新考法 [2026河南信阳期末]若式子的运算结果是有理数，则“ ” 中的运算符号可以是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项， ，是无理数，不符合题意；B选项， ，是有理数，符合题意；C选项， ， 是无理数，不符合题意；D选项， ，是无理数，不符合题 意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.[2026陕西西安月考]已知，则 的值为( ) B A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】，，， ， ， ，故选B. 上分心得 二次根式的双重非负性 二次根式：， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.[2026湖南长沙期中，中]已知，且，则 的值是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】，，. ， ，，， . ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第8题图） 8.[2026河南洛阳期中，中]下图是由九个数字组成的一个三行三列 的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之积均相等.在下图中，两个 空格内所填的实数之积为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意得题图中矩阵的对角线、横向、纵向的数字之积为 ，第二行中间的数为 ，第三行 第一个数为， 两个空格内所填的实数之积为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第9题图） 9.传统文化 [2026上海校级月考，中]我国宋代数学家秦九韶和古 希腊数学家海伦都曾提出利用三角形的三边长求三角形面积的公式， 称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，， ， 记，那么三角形的面积为 .如 A A. B. C.24 D. 【解析】，，， ， 图，在中，，，所对的边分别记为，，，若， ， ，则 的面积为( ) ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 10.[2025江苏无锡一模，难]已知，是两个连续的偶数 ，且 ，，，则下列对 的表述中正确的是 ( ) B A.总是奇数 B.总是偶数 C.总是无理数 D.可能是有理数，可能是无理数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】， ， . ，是两个连续的偶数， ， ， 总是偶数.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026黑龙江大庆期中]将 化为最简二次根式为_ __. 【解析】，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 12.[2025辽宁营口一模]当的取值范围为______时， . 【解析】，解不等式①，得 ，解不等式②， 得，，即时，.故答案为 . 上分心得 成立的条件 成立的条件是， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 13.[2026山西临汾月考]不等式 的解集是_______________. 【解析】，，，解得 ， 即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 14.[2026河南洛阳月考，中]如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个 小正方形，则图中阴影部分面积为____. 24 （第14题图） 【解析】两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为 ，大正方形的面积为， 题图中阴影部分面积为 .故答案为24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （第15题图） 15.[2026湖北武汉月考，中]人们把 叫做黄金分割比.五角星是 常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割比， ，若，则 _________. 【解析】 ， ， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 16.新考法 [2025山东曲阜月考，难]若和都是正整数且，和 是可以 合并的二次根式，下列结论中正确的有______.（填序号） ①只存在一组和使得 ； ②只存在两组和使得 ； ③不存在和使得 ； ④若只存在三组和使得，则 的值为36或8. ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】和都是正整数且，和 是可以合并的二次根式， ，， ，故①正确； ， 当时，，当时， ，故② 正确；，当时，，当 时， ，故③错误；④设，，，，，， 均为 正整数，且为最简二次根式，当只存在三组和使得 时，有以 下情况：，， 或 ，，，的值为49或 或或64或16或 ，故④错误.故答案为①②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026湖北襄阳月考]（9分）计算： （1） .（3分） 【解】原式 …………（2分） .…………（3分） （2） .（3分） 【解】原式 …………（5分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （3） .（3分） 【解】原式 …………（7分） …………（8分） .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 18.[2026江西宜春月考]（9分）若，是实数，且 ，求 的值. 【解】依题意得解得 ，…………（2分） 所以 ，…………（4分） 所以 …………（6分） …………（8分） .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 19.[2026河北邯郸月考]（10分）定义：若两个二次根式，满足，且 是 有理数，则称与是关于 的“因子二次根式”. （1）若与是关于4的“因子二次根式”，则 _____；（4分） 【解析】根据题意得，解得，故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （2）若与是关于的“因子二次根式”，求 的值.（6分） 【解】根据题意得 ，所以 ， …………（8分） 解得，即的值为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 20.[2026安徽合肥期中]（12分）如图，一根细线上端固定，下端系一个 小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间 （单位：）与细线的长度（单位：）之间满足关系式 . （1）［中］当细线的长度为 时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？ （结果保留一位小数,参考数据：， ）（6分） 【解】，当 时， . 答：小重物来回摆动一次所用的时间约为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）［中］当小重物来回摆动一次所用时间为 时，求细线的长度.（6分） 【解】当时，，，解得 . 答：细线的长度是 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 21.[2026四川成都月考]（12分）我们在学习二次根式时，学习了分母有理化及其 应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”. 例如： . 分子有理化可以用来处理二次根式的某些问题. 例如：比较和 的大小. 解：， . 因为，所以，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 利用上面的方法，完成下列问题： （1）［中］比较和 的大小；（6分） 【解】 ， . ， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）［中］求 的最大值.（6分） 【解】由题意得，， . .………… （9分） 当时，分母取得最小值，此时 有最大值， 最大值是，即的最大值是 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 22.探究性问题 [2026山东青岛月考]（14分） 【问题初探】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，， . 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的经验，类比探究了二次 根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1： ； 特例2： ； 特例3：_ ____________________________________（填写一个符合上述运算特征 的式子）.（3分） （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解析】由二次根式的运算规律可得， ，故答案为 （答案不唯一）.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【发现规律】 ____________.（，且 为整数）（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【解析】由二次根式的运算规律可得， .证明：左边 右边.故答案为 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【应用规律】（1）［偏难］ ___________；（3分） 【解析】 . 故答案为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）［难］如果 的小数部分是 ，求出整数部分.（4分） 【解】 .…………（12分） 结果的小数部分是，，解得，经检验， 是该分式方 程的根，整数部分为 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 $