卷1 第20章 二次根式 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（华东师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次根式的意义、最简二次根式特征、运算及应用等核心知识，通过“上分心得”总结关键概念，结合清晰目录将知识点串联，帮助学生构建完整的二次根式知识网络。 其亮点在于融入情境化与跨学科设计，如机器人跑步问题培养数学眼光，物理动能计算发展应用意识，规律探究题提升推理能力。分层题目覆盖基础到偏难，适合个性化复习，助力学生巩固知识，教师精准把握学情。

数 学 九年级全一册 HS 1 2 3 卷1 第20章基础诊断卷（A卷） 考查内容：二次根式 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间：90 min 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2025福建中考]若在实数范围内有意义，则实数 的值可以是( ) D A. B. C.0 D.2 【解析】在实数范围内有意义，，即 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026上海校级期中]下列各式为最简二次根式的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 选项 分析 判断 A 是最简二次根式 符合题意 B ，不是最简二次根式 不符合题意 C 的被开方数含有分母，不是最简二次根式 不符合题意 D 的被开方数不是整数，不是最简二次根式 不符合题意 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分心得 最简二次根式的基本特征 ①被开方数中不含分母；②被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.[2026江苏苏州月考]下列等式不成立的是( ) D A. B. C. D. 【解析】A选项，，故此选项不合题意；B选项， ，故 此选项不合题意；C选项， ，故此选项不合题意；D选项， ，故此选项符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.[2026安徽阜阳期末]如图，将一个半径为 的铁丝圆环展开，重新围成一个矩 形.若矩形的长为 ，则矩形的宽是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得铁丝圆环的周长为， 将这个铁丝圆环展开， 重新围成一个矩形后，若矩形的长为 ，则矩形的宽是 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5. 2025年4月，全球首个人形机器人半程马拉松赛在北京亦庄鸣枪开跑， 从春晚舞台上蹒跚学步，到北京马拉松下场奔跑，中国机器人的“成长”速度让人 惊叹.在一次赛前训练中，机器人A和机器人B分别以每秒米和每秒 米的速 度匀速前进，30秒后，机器人A比机器人B多跑( ) A A.米 B. 米 C.米 D. 米 【解析】机器人A的总路程： （米），机器人B的总路程： （米），所以30秒后，机器人A比机器人B多跑 米. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.[2026安徽黄山月考]当时，代数式 的值是( ) B A.19 B.21 C.27 D.29 【解析】， ， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.[2026浙江绍兴期中]如图，钓鱼竿的长为 ，露在水面 上的鱼线长为.钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿 绕 点转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则 的长为( ) A A. B. C. D. 【解析】钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为 ， .把钓鱼竿绕点转到 的位置，即 ，此时露在水面上的鱼线长为 ， ， ， 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 8.新考法 [2026河北唐山月考，中]化简 时，甲的解法是原式 ；乙的解法是原式 ，以下判 断正确的是( ) C A.甲的解法正确，乙的解法不正确 B.甲的解法不正确，乙的解法正确 C.甲、乙的解法都正确 D.甲、乙的解法都不正确 【解析】甲根据分数的基本性质，将分子、分母同乘 ，再进行约分得出结 果.乙是先将分子进行变形，再与分母进行约分得出结果.甲、乙的解法都正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 9.[2026江苏苏州期中，中]已知，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】.，，原式 . 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 10.规律探究 [2026山东青岛月考，偏难]小强根据学习“数与式”积累的经验，对二 次根式的运算规律进行探究，并写出了如下等式:； ； ；；…，若（， 均为正整数）， 则 的值为( ) A A.1 B. C. D.2 024 【解析】观察规律可得，若（，均为正整数），则 ， ， . 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.开放性问题 [2026河南南阳月考]当_________________时， 是整数. （写出一个符合条件的 的值） 1（答案不唯一） 【解析】若二次根式有意义，则，解得.当 时， 是整数，故答案为1（答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 12.[2026四川成都期中]若，则 的值为____. 54 【解析】，，即 ，故答案 为54. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 13.[2026贵州铜仁期中]如果与最简二次根式 可以合并成一个二次根式， 则 ___. 5 【解析】，由题意得，解得 ，故答案为5. 上分心得 可以合并的二次根式的特征 化为最简二次根式后，被开方数相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 14.[2026湖北武汉月考]化简：当时，__________；当 时， _______. 【解析】，，，， . ，，，， .故答案为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 15.[2026北京校级月考，中]已知，，则 的近似值为_____.（精确到 ） 3.15 【解析】原式.，， 原式 .故答案为3.15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 16.[2026安徽安庆期中，偏难]斐波那契（1175年—1250年）是意大利数学家，他 研究了一列数，被称为斐波那契数列.斐波那契数列中的第 个数可以用 表示，斐波那契数列中的第4个数是___. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】把代入，可得 .故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026湖南邵阳期中]（8分）计算： （1） ；（4分） 【解】原式 …………（2分） …………（3分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （2） .（4分） 【解】原式 …………（5分） …………（6分） …………（7分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 18.[2026四川眉山月考]（10分）已知，，为 的三边长，化简： . 【解】由三角形的概念和三边之间的关系可得， ， ，，，， ，………… （3分） 原式 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 19.跨学科问题 [2026辽宁大连期中]（10分）一切运动的物体都具有动能，其大 小由两个因素决定：物体的质量和运动速度.已知动能的计算公式是 ， 其中表示动能（单位：焦耳），表示物体的质量（单位：千克）， 表示物体 的运动速度（单位：米/秒）.现有一名运动员在匀速跑步，他的质量是50千克，若 动能是1 250焦耳，求该运动员的跑步速度和跑完100米所用的时间（结果保留根 号）. 【解】由题意可得 ， ， 该运动员的跑步速度 米/秒，…………（5分） 跑完100米所用的时间为 （秒）.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 20.[2026江西抚州期末]（12分）在二次根式的大小比较中，有时用“平方法”会取 得很好的效果，例如:比较和的大小，我们可以把和 分别平方， 得，，则， . 请利用“平方法”解决下列问题： （1）比较和的大小，___；（填写“”“”或者“ ”）（4分） 【解析】，，，.， .故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （2）［中］猜想， 之间的大小关系，并证明.（8分） 【解】猜想： .…………（6分） 证明如下：， ， ， . …………（10分） ，， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 21.新情境 [2026天津宝坻区月考]（12分）如图，某景区有一个用于表演豫剧的 长方形舞台，其面积为平方米，长为 米. （1）［中］求这个舞台的宽；（结果化为最简二次根式）（5分） 【解】这个舞台的宽为 （米）. 答：这个舞台的宽是 米.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）［中］为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为 米的装饰带 （图中阴影部分），求装饰后长方形舞台 的总面积.（7分） 【解】 （平方米）. 答：装饰后长方形舞台 的总面积是140平方米.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 22.综合与实践 [2026陕西西安月考]（14分）综合与实践 【问题情境】 如图，数轴上有，， 三点，给出如下定义：若其中一个点表示的数是其他两 个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”.例如:数轴上点，， 所 表示的数分别是，3，，此时就是与 的“关联点”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 【实践探究】 （1）若点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是点 表示的数的 相反数，则与的“关联点” 表示的数是_______.（4分） 【解析】的相反数是，表示的数是.是与的“关联点”， 表示的数是.故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）［中］若点表示的数是，点表示的数是，其中是与 的“关联点”，则点 表示的数是______.（4分） 【解析】点表示的数是，点表示的数是 ， 点表示的数是，点表示的数是 . 是与 的“关联点”， 点表示的数是.故答案为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 【拓展应用】 （3）［偏难］若点表示的数是，点表示的数是点 表示的数的 倍，若在，，中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，求点 表示的数 是多少.（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解】点表示的数是.设点表示的数是，则点 表示的 数是.分三种情况：①当点是与的“关联点”时， ，解得 ， ；…………（10分） ②当点是与的“关联点”时，，解得 ， ；…………（12分） ③当点是与的“关联点”时，，解得， . 综上所述，点表示的数是或6或 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 $