卷6 九上第三章 图形的相似 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“图形的相似”单元，系统梳理相似三角形的判定方法、性质应用及位似图形特征，通过“上分点拨”整合AA、SAS等判定定理，结合实例建立从基础概念到实际应用的知识网络。 其亮点在于融入新情境（如黄金分割格、碓的旋转问题）和跨学科案例（物理小孔成像），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分层题设计（基础选择到综合实践）发展推理能力，助力教师精准复习，提升学生知识巩固效果。

数 学 九年级全一册 BS 1 2 3 卷6 九上第三章提优验收卷（B卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026江西宜春月考]已知，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】，, ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 （第2题图） 2.[2026山西运城月考]如图，在中，为 上一点，且 ,,，则 ( ) A A.6 B.5 C. D. 【解析】,，， . ,， ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第3题图） 3.[2026河北唐山月考]如图，四边形 四边形 ，相似 比为，点，，， 在同一条直线上，则下列说法不一定正确的 是( ) D A. B. C. D. 【解析】 四边形 四边形，相似比为 ， ，，，， 、B、C 选项说法正确，D选项说法不一定正确，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第4题图） 4.[2026黑龙江哈尔滨月考]如图是一架人字梯的侧面示意图，已知 ，，，，则 的 长为( ) C A. B. C. D. 【解析】，，，， ， ，， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2026贵州铜仁期中]如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍 无法判定 的是( ) D （第5题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】， ， .A选项，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定 ，故A不符合题意；B、C选项，由两角分别相等的两个三角形相 似可判定 ，故B、C不符合题意；D选项，两个三角形的两边对应 成比例，但夹角不一定相等，故不能判定 ，故D符合题意．故选D． 上分点拨 相似三角形的判定 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.新考法 [2026辽宁沈阳期中]“黄金比例分割法”是启功先生研究 的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形 成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）， 汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金 格”的边长为 ，以四个黄金分割点为顶点组成的正方形的边 长为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】如图. 点是的黄金分割点， ， . 点是的黄金分割点 ， ， ， ， 以四个黄金分 割点为顶点组成的正方形的边长为 ，故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第7题图） 7.[2026广东广州期末]如图，是等边三角形，点， 分别在 边，上，且，与相交于点．若 ， ，则 的边长等于( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】是等边三角形，， .在 与 中， ， ，， ， ，.过点作 于 ， ， ， ，， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第8题图） 8.跨学科问题 [2026河北保定期中，中]如图，这是物理学中的小 孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点， 透过小孔 在光屏上成的像是倒立放大的实像，和 是位似 图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为 ， ，此时，像的长为，为了使像 的长度变成 的3倍，在物体和光屏 位置不变的情况下，可以将遮挡板 ( ) B A.水平向右移动 B.水平向左移动 C.水平向右移动 D.水平向左移动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】如图，过点作于点，延长交于点 和是位似图形，位似中心为点，, ， .和是位似图形， ， ，，即， ， .将遮挡板移动后，设 ，则 . 使像的长度变为的3倍， . 又，即，, 此时.， 可以 将遮挡板水平向左移动 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第9题图） 9.[2026安徽合肥期末，偏难]如图，点为的边 延长 线上一点，连接，， ， ，且，若，点 是线段上的动点，则 的最小值是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】过点作于点，， ， ， ， ，， ,解得 或（舍去），， ， .在中，. ， ，时，的值最小，此时 .又 ，，，即，，故 的最小值为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 10.新情境 [2026浙江温州期末，难]图（1）是捣谷物的“碓”，图（2）是其示意 图，为转动支点，于点，与水平线夹角 ， ，，．当点绕点旋转下落到 上时，点 上升( ) D 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】如图，连接，将和分别绕点 旋转到 和处，使点的对应点落在上,过点 作 于点，过作于点,于点 ， 则四边形是矩形， ， ，于点， , ，. ， , , . , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 ，, , ，.设点 上升 的高度为.由题意易得，即 ， .故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.[2026江苏南京月考]如图，在中，点， 分别为边 ，上的点，且，若，， ，则 的长为___． 9 【解析】， ， ， ， .，， ，故答案为9． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12.[2026天津和平区期末]在平面直角坐标系中，与 位似，位似中心 是原点．已知与是对应顶点，且，的坐标分别是， ，若 的周长为3，则 的周长为___． 9 【解析】，的坐标分别是，，与 的相似比为 ，与的周长比为的周长为3， 的周长为9. 故答案为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第13题图） 13.[2026江西赣州期末]如图，一座正方形城池， 为北门 中点，从点往正北方向走30米到处有一树木， 为西门 中点，从点往正西方向走750米到处正好看到 处的树木， 则正方形城池的边长为_____米． 300 【解析】设正方形城池的边长为米，则米. ， ,， ，即 ， ，即正方形城池的边长为300米.故答案为300. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 14.[2026甘肃武威期中，中]如图，在平行四边形中，为对角线 上一 点，，将沿折叠，点的对应点刚好落在 边上，则 与平行四边形 面积的比值为_ ____． （第14题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】如图，设与的交点为.在平行四边形 中， ，.由折叠得, ， ， ， .,， ， ,，即, ， ．设的面积为，则 ， ,， ，即 ， .又 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 ， ， .故 答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15.[2026河南安阳月考，中]如图是用12个相似的直角三 角形组成的图案，若，则 的长度为___. 【解析】 题图中12个直角三角形都相似， ，即直角三角形中较小的锐角为 ．在中， ， ， ，即 ，同理 可得，，，， ， ．又， ．故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 16.新考法 [2026北京海淀区月考，难]如图，点在等边三角形的边 上，连 接，线段的垂直平分线分别交边，于点，.当时， 的 值为 __ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 【解析】如图，连接， 为等边三角形， ， 垂直平分 ，，.在和 中， ， ， ， ，， .设 ，，则， , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 . ， ， ， ，，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026广东清远月考]（8分）如图，在中， ， ，其中 ． （1）请用尺规作图在线段上找点，使得 ； （不要求写作法，保留作图痕迹）（4分） 【解】如图所示，点 即为所求. …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）在（1）的条件下，求 的长．（4分） 【解】，， ， ，…………（6分） 即,解得 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 18.[2026辽宁丹东月考]（10分）如图，点是矩形中 边上一点，将 沿折叠得到，点的对应点落在 上． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （1）求证： ；（5分） 【证明】 四边形 是矩形， ， . 由折叠得 ， ， ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）若，，求 的长．（5分） 【解】由（1）得 ， , . 设， . ， , ， ， （舍去）， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 19.项目式学习 [2026浙江宁波月考]（10分）根据以下材料，完成探究任务．#1 利用相似三角形测高 发现、提 出问题 _____________________________________ 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综 合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一 堵围墙，同学们提出问题如下：围墙 的高度是多少米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 利用相似三角形测高 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进房间地面 点时，测得 ；②当阳光恰从围墙最高点经窗户点 处射进房间地面点 时，测得．此外，测得窗高 ，窗户距地面的 高度（点，，， 在一条直线上） 解决问题#1.1.1 请利用上述数据，解决下列问题： （1）求 的长．（7分） 续表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【解】， ， . ， , , , .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 同理可得， ， ， ，…………（6分） ， .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）求出围墙 的高度（3分） 【解】由（1）知， . 答：围墙的高度为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 20.[2026山东烟台期中]（12分）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的 边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，在网格 中请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （1）如图（1），以点为位似中心画，使得与 位似，且相 似比为 ．（6分） 图（1） 【解】如图（1）所示，在延长线上取格点，在 延长线上取 格点，使，，连接 ，…………（2分） …………（5分） 则 ， ，故 即为所求.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （2）如图（2），在边上找一点，使得 ．（6分） 图（2） 【解】如图（2）所示，在点的下方取格点，使， ， 连接交于点 ，…………（8分） …………（11分） 则，，故点 即为所 求.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 21.[2026安徽滁州期末]（12分）如图，中， ， ，点为的中点，连接并延长交于点 ，且有 ，过点作于点 ． （1）求证： ；（3分） 【证明】 ， . ， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （2）求证： ；（4分） 【证明】 点为 的中点， . ， . 设，则，， ， ， . ,, ， ， .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （3）［中］若，求 的长．（5分） 【解】由（2）知，， . ，， ， 即， ， .…………（9分） ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 ， ， . 由（2）知， 设，则 ， ， ， ，…………（11分） 在中， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.综合与实践 [2025河南开封第十四中学三模]（14分）综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用 已有经验，对“自相似点”进行研究． 图（1） 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在 ， ，中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点 是的“自相似点”．例：如图（1），点在 内部， ，，则，故点为 的“自相似点”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 【推理判断】 图（2） （1）［中］如图（2），在中，， ，点是 上一点且在的垂直平分线上，判断点是否为 的“自相似点”， 并说明理由．（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 【解】点是 的“自相似点”.…………（1分） 理由如下：， ， . 点在的垂直平分线上， ， ， .…………（3分） 又， ， 点是 的“自相似点”.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 【初步运用】 图（3） （2）［中］如图（3），若为钝角三角形，点是 的“自相似点”，且点在上， ．求证： ．（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 【证明】为钝角三角形，点是 的“自相似点”，且 点在上， ， ，…………（5分） ， ，…………（7分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【拓展应用】 图（4） （3）［难］如图（4），为锐角三角形，若点是 的“自相 似点”，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线 上．若，，求 的长．（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 55 【解】 点是的“自相似点”，点与点是对应点， 当 时，,， . 平分， ， . ， ， ， ， ， , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 56 ， , ， .…………（11分） 当时，，， . 同理可得， ， .…………（13分） 综上所述，的长为或 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $