卷2 九上第一章 特殊平行四边形 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质、判定及应用，通过“上分总结”“技巧点拨”构建知识网络，串联中点四边形规律、等面积法等核心内容，帮助学生形成完整的几何知识体系。 其亮点在于结合中考真题分类设计分层练习，从基础选择（如矩形对角线计算）到探究性问题（如正方形旋转中的最值），培养学生几何直观与推理能力。开放性问题（如添加条件证矩形）和解题技巧总结（如等面积法）助力个性化复习，让学生巩固知识，教师精准教学。

数 学 九年级全一册 BS 1 2 3 卷2 九上第一章提优验收卷（B卷） 考查内容：特殊平行四边形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026辽宁大连月考]如图，矩形的对角线， 相交于点 ，， ，则 的长为( ) D A. B. C.8 D.4 【解析】 四边形是矩形，， ， ，是等边三角形， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026云南临沧期末]依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 【解析】 选项 判断 结论 A ，由勾股定理的逆定理推出四边形的对角线互相 垂直，四边形的对角线又互相平分，故能判定四边形是菱形 不符合题意 B 四边形的四条边相等，故能判定四边形是菱形 不符合题意 C 四边形的对角线互相平分，只能判定四边形是平行四边形， 不能判定四边形是菱形 符合题意 D 由同旁内角互补，得到四边形的两组对边互相平行，而四边 形的邻边又相等，故能判定四边形是菱形 不符合题意 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第3题图） 3.[2026广东广州月考]如图，一根木棍斜靠在与地面 垂直的 墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且 端沿地面向 右滑行．在此滑动过程中，点到点 的距离( ) B A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断 【解析】连接 ，为中点， ，即 在木棍滑动的过程中，点到点 的距离不变.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第4题图） 4.[2026安徽黄山月考]如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重 合部分构成菱形，且对角线， ，则纸条的宽度 是( ) C A.9.6 B.5 C.4.8 D.2.4 【解析】如图，过点作于点，设 ， 的交点为 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 纸条的宽度是4.8.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 上分技巧 利用等面积法求菱形的高 菱形面积有两种计算方式：①对角线乘积的一半；②底乘高，故利用等面积法可 推导出菱形的高等于对角线乘积的一半再除以底. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第5题图） 5.[2026江苏泰州月考]如图，四边形中，对角线 ， 垂足为点，点，，，分别为边，，， 的中 点．若，，则四边形 的面积为( ) D A.12 B.7 C.6 D.3 【解析】 点，分别为四边形的边， 的中点， ，且，同理可得 ，且 ， 四边形是平行四边形.又， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为 ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 上分总结 中点四边形 无论原四边形形状如何，其中点四边形恒为平行四边形.若原四边形对角线长度相 等（如等腰梯形、矩形），则中点四边形为菱形；若原四边形对角线互相垂直 （如菱形），则中点四边形为矩形；若原四边形对角线相等且互相垂直 （如正方形），则中点四边形是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 6.新考法 [2026河北承德期末]在中， ，利用尺规作矩形 ．甲、乙两位同学的作法如下，关于两人的作法判断正确的是( ) 甲：作的垂直平分线交于点 ； 作射线，在射线 上截取 ，不重合，连接 ， ，四边形 即为所求 _______________________________ 乙：以为圆心， 长为半径画圆弧； 以为圆心， 长为半径画圆弧，两弧 在上方交于点，连接， ，四边 形 即为所求 ______________________________ C A.只有甲的可以 B.只有乙的可以 C.甲、乙的都可以 D.甲、乙的都不可以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】由甲的作法可知，，， 四边形是平行四边形.又 ， 四边形是矩形.由乙的作法可知，， ， 四边形是平行四边形. ， 四边形 是矩形.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 7.[2026江苏无锡期中]如图，在菱形中， ， 是 的中点，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】过点作交延长线于点.设 四边形 是菱形， ，，， ， 是的中点，.在 中， ， ， ， ，.在 中，由勾股定理可得 ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 8.[2026广西南宁月考，中]如图，某班同学在制作风筝的过程中，需要将一张矩形 纸片沿折叠，使点与对角线的中点重合，展开后，连接 ，再将 矩形纸片沿折叠，点落在上的点处，展开后，连接, ．若 ，则风筝骨架 的长为( ) B A. B. C. D.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】由折叠性质可知是矩形对角线 的中点， ，，为等边三角形， ， .令与的交点为.由折叠的性质得 , ,.设 ， 易得 ， .根据勾股定理可得，解得 （负值已舍 去），，，，， ， ． 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第9题图） 9.[2026广东揭阳月考，偏难]如图，在矩形 中， ，，为的中点，为上一动点，为 中 点，连接，则 的最小值是( ) C A.2 B.4 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】如图,当点与点重合时，点在处， ，当点 与点重合时，点在处，.连接,,令与 交于，， 点的运动轨迹是线段， 当 时，取得最小值． 矩形中，，，为 的中 点，，为等腰直角三角形， ， ， , ，即 ，的最小值为的长． 在等腰直角三角形 中， ，，的最小值是． 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 （第10题图） 10.[2026湖南长沙期中，难]如图，在正方形中，， 相交于点，，分别在，上，，， 分别 交，于点，，连接，.下列结论： ； ；； ．其中正确的 是( ) A A.①②③④ B.①② C.①③④ D.①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 【解析】 四边形是正方形，， .在 和中，， ，故① 正确， ， ，，故②正确 四边形 是正方形，， ， ， ，， ， ， . 又，，故③正确， ， 是等腰直角三角形， ， ，故④正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026四川眉山期末]菱形两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积是____． 24 【解析】菱形的面积是 .故答案为24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第12题图） 12.开放性问题 [2025广东深圳模拟]如图，将平行四边形 的边延长到点，使，连接，交于点 ．添加 一个条件________________________，使四边形 是矩形． （答案不唯一） 【解析】添加 四边形 是平行四边形， ，,, 四边形 为 平行四边形.，，， 四边形 是矩形．故答案 为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 上分点拨 矩形的判定方法 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③ 有三个角是直角的四边形是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第13题图） 13.[2026江苏无锡期中]如图，在矩形中， ， ，平分交于点，点为的中点，则线段 的长为____． 【解析】 四边形是矩形， ， ， ，， 平分，，， ， .在 中， . 点为 的中点， ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 14.[2026四川达州月考，中]如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转 后得到正方形，边与交于点 ，则阴影部分的面积是_________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 【解析】连接，如图. 边长为1的正方形绕点 逆时针旋转 后得到正方形，， ， ， ， ， ， . ，，，三点共线， ， ， ， ， .故答案 为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 15.[2026山东青岛月考，偏难]如图，在菱形中， ， ， 过点作,垂足为点，过点作，交于点，交于点， ， 分别是，的中点，连接，则 _ ___． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解析】如图，连接，，取的中点，连接 四 边形是菱形， ， ， 是等边三角形. , ，, ，由勾股 定理得.，, 四边形 是平行四边形， ，.连接,, 四边形 是平行四边 形，是 的中点， ，， 点， 分 别为,的中点， 易得 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 ， ， ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16.[2026黑龙江齐齐哈尔期末，难]如图，在平 面直角坐标系中，点 在第一、三象限角 平分线上，过点作 轴的平行线，交第二、四 象限角平分线于点，以线段 为边在右侧 作正方形； 所在的直线交第一、 三象限角平分线于点 ，交第二、四象限角平 分线于点，再以线段 为边在右侧作正方 形； ，以此类推，按照图中的规律，则第2 025个正方形的边长为 __________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 【解析】 点在第一、三象限角平分线上，过点作 轴的平行线，交第 二、四象限角平分线于点，， 第1个正方形的边长为2， ，，，， 第2个正方形的边长为6， ，，，， 第3个正方形的边长为18， ，，第4个正方形的边长为54， ， ， ，第个正方形的边长为， 第2 025个正方形的边长为 ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026浙江杭州月考]（8分）如图，在中， ， ， ，于点，平分，求， 的度数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 【解】 ， ， . ， 是等边三角形， .…………（2分） 于点 ， .…………（3分） 平分， ， ，…………（6分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 18.[2026安徽池州月考]（10分）如图，菱形的对角线与交于点 ，若 ，过点作于点，交于点 ． （1）求证： ；（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【证明】 在菱形中， ， ，，， ， ， . ， ， ， . 又， ， ，…………（4分） ，即 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）若，求 的长度．（5分） 【解】过作于 四边形 是菱形， 平分 . 又，， . 设 ， 易得与 均为等腰直角三角形， ， ， ，…………（9分） ， .……（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 19.[2026湖南株洲期末]（10分）如图，矩形中，过对角线的中点 作 ，分别交，于点，，连接， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （1）求证： ；（3分） 【证明】 四边形 是矩形， ， . 点是 的中点， . 在与中， …………（2分） .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）求证：四边形 是菱形；（3分） 【证明】 ， .又 四边形是矩形，， 四边形 是平行四边 形.…………（5分） ， 四边形 是菱形.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （3）若，，求菱形 的边长．（4分） 【解】设菱形的边长为 ， . 又 ， 在中， ， 解得，则菱形 的边长为5.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 20.[2026河北保定期中]（12分）已知定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半． 【推理证明】 如图（1），在中， ，点是 边的中点．求 证： ． 证明：如图（2），延长至，使，连接， 请你补全余下的证明过程．（4分） 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【证明】 点是边的中点，， 四边形 是平行四边形. , 四边形为矩形， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【探究问题】 如图（3），在中， ，为的中线，过点 作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在 的延长线上 截取，连接，．猜想四边形 的形状，并说明理由．（5分） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【解】四边形 是菱形.…………（5分） 理由： 在中，过点作的平行线，交的延长线于点， ， ， 四边形 是平行四边形. ， . 又为的中线，为 的中线， ， 四边形 为菱形.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【拓展思考】 如图（4），在四边形中， ，点是 的中点．若 ，则 ____．（3分） 图（4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【解析】连接 ，如图. ，点是的中点， ， ，， .设 ，，， ， ， ．故答案为 ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 21.[2026湖北武汉期中]（12分）如图，四边形是矩形，，， ， ，分别为矩形四条边的中点，连接，，，，，，为 与的交点,，连接并延长交于点，平分， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （1）判断四边形 的形状，并证明；（5分） 【解】四边形 是菱形.证明如下： 连接， . ，，，分别为矩形 四条边的中点， ，且，，且， ，…………（2分） ， , 四边形 是平行四边形，…………（3分） 同理得， ，…………（4分） 四边形 是菱形.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 （2）［中］求 的大小；（4分） 【解】设 ， . 平分， . 在菱形中，， ， ， ， ，…………（7分） 在 中， . …………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 （3）［偏难］ 的长度为_____．（3分） 【解析】过点作于点 ， 设， ，， ， 是的中位线，是的中位线，, ， ， ， . 由勾股定理得 , 即 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 ， ， ， . ， ， ， ， ，， ． 故答案为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图（1） 22.探究性问题 [2026河南新乡月考]（14分）【问题情境】小明在练 习习题时，遇到了这样一个问题：如图（1），在正方形 中，点 ，，分别在边，，上，且，垂足为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 （1）证明： .（4分） 图（1） 【证明】如图（1），过点作，交于点，交 于点 ， …………（1分） ， . 四边形是正方形，， ， . ，， 四边形是平行四边形， . ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 . 在和中， ，…………（3分） . ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 在【问题情境】的基础上，小明继续探索以下问题： 【探究活动】 （2）如图（2），在（1）的条件下，当在正方形的对角线 上时，连接 ，将沿着作轴对称，点的对应点为点 ． 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 57 ①［中］四边形 是正方形吗？请判断并说明理由.（5分） 图（2） 【解】四边形 是正方形.…………（5分） 理由如下：连接 ，如图（2）. 由（1）知 ． 四边形 是正方形， , . 在和中， ，…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 58 ， . 由轴对称的性质可知， ． ， . ， ， ， ， ， ， 四边形 为菱形.…………（8分） 又 ， 四边形 为正方形.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ②［难］如图（3），点在上，若，且，求 的最小 值．（5分） 图（3） 【解】如图（3），作交的延长线于点 ，作 于点，连接 ． ， .在和 中， ，…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 60 ， ． ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， .…………（12分） 作点关于的对称点，连接,,则 ， ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 作交的延长线于点 . ， 当,,三点共线时， 取得最小值. , . , . , , , , ， 即的最小值为 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $