卷1 九上第一章 特殊平行四边形 基础诊断卷（A卷）上分专题（一） 特殊平行四边形中的折叠和动点问题-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦特殊平行四边形中的折叠和动点问题，通过“母题学方法-子题练变式”结构系统梳理折叠求角度与长度、动点求最值与分类讨论等核心内容，构建重难问题解决的知识网络。 其亮点在于以专题突破重难，母题提炼折叠性质与勾股定理结合、动点最值与几何模型转化等方法，子题通过变式训练（如矩形折叠角度计算、菱形动点路径最值）培养学生几何直观与推理能力。分层设计让不同水平学生提升，助力教师精准复习教学。

数 学 九年级全一册 BS 1 2 3 上分专题（一） 特殊平行四边形中的折叠和 动点问题 重难上分 攻克难点 4 类型1 折叠问题 类型2 动点问题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 折叠问题 母题学方法 上分攻略 求角度 由折叠的性质可以得到相等的角,再结合特殊平行四边形的性质求解即可 求长度 由折叠的性质可以得到相等的线段,再结合题意构造直角三角形,在直角三 角形中利用勾股定理求解即可 1. [2025浙江湖州期中]一张矩形纸条按如图所示方式折叠， 是折痕， 若 ，则以下结论： ； ； ； ，其中正确的有( ) A （第1题图） A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①② 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解析】 四边形是矩形，， .由折叠的 性质可得 ，故①正确，符合题意. ， ，故③正确，符合题意. ， ，故②错误，不符合题意. ，由折叠的性质可得 ， ，故④正确，符合题 意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2. [2026四川成都期中]如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长 为的正方形纸片沿着边上一点与点的连线折叠，点是点 的对 应点，延长交于点，，则的长为___ ． 8 （第2题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】连接 四边形是正方形，, .由 折叠的性质得， ,, .又 ，， ， .设，则 ， .根据勾股定理得 ，即 ，解得， ．故答案为8． 1 2 3 4 5 6 7 8 10 子题练变式 3.[2026福建龙岩月考]如图，一张矩形纸片，点，分别是线段， 上 的点，小明先将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，与线段 交于点，点是线段上一点，再将纸片沿折叠，点的对应点为点 ，使 得点恰好在上，测得 ，则 的度数为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】 四边形为矩形， ， ．由折叠得， ， ， ， ．过点作，交 于点 ，，， ， ， ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 12 图（1） 4.[2025广西贺州期末]折叠问题是我们常见的数学问题，它是 利用图形变化的轴对称性质解决相关问题．数学活动课上，同 学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图（1），在矩形中，点在边 上，将矩形 纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处， 与 交于点 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 13 【猜想】 （1）请直接写出线段, 的数量关系． 【解】 矩形纸片沿 所在的直线折叠， 四边形是矩形， ， ，， ． 图（2） （2）［偏难］若，，求 的长. 【应用】如图（2），继续将矩形纸片折叠，使 恰好落在直线上，点落在点处，点落在点 处， 折痕为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解】 矩形纸片沿所在的直线折叠， ， ，.设，则 .在 中， ，， ，解得 ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （3）［难］猜想，， 的数量关系，并加以证明． 【解】.证明：由折叠的性质可得 ， ， ，即 ， 在 中， ，， ， ，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 16 类型2 动点问题 母题学方法 上分攻略 求最值问题 特殊平行四边形的性质结合全等三角形的性质与判定、轴对称 的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等求最值 分类讨论问题 先找到确定的要素，如确定的顶点、边等，然后分类讨论动点 在哪些位置时满足题目的要求 5.[2025陕西咸阳三模]如图，在矩形中，，点为 上方一点，连接 ，，， ，点，分别在，上，且 ， 连接，则 的最小值为_____． （第5题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 18 【解析】如图所示，连接 ， ， 四边形 是矩形， ，， ， , .过点作于点， , ,.以，为邻边作平行四边形，连接 ， 则,， , ， ， .当时，, 有最小值，即 有最小值，由勾股定 理得最小值为．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 19 （第6题图） 6.[2026广东中山期中]如图，在矩形中， ， ，点从点出发向点运动，运动到点 即停止；同时 点从点出发向点运动，运动到点即停止，点， 的速度都 3或 【解析】当时，，， ， ，， ， 是，连接，，.设点，运动的时间为．当 _____时， 是以 为腰的等腰三角形. .当时，如图，过作于，则易得 ， ，，，.故答案为3或． 1 2 3 4 5 6 7 8 20 子题练变式 7.[2026福建福州月考]如图，菱形的边长为8， ，是边 的 中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转 得到 ，连接 ,，，则 的最小值是_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解析】取的中点，连接，，，，如图. 四边形 是菱形，且 ， ， ， 为等边三角形， 点是中点，点是 的中点，，，, 为 等边三角形，， ， ， ， ， .在 与中， ， ， . 在 与 1 2 3 4 5 6 7 8 22 中， ， ， .过点作交 延长线于点 ， ， ， ，， .在 中，根据勾股定理得， ， ， 的最小值为．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 8.[2025辽宁沈阳于洪区校级月考]如图，已知平行四边形的对角线， 相交于点，，，两动点，同时以 的速度分别从 点，出发在线段上相向运动，点到点，点到点 时停止运动． 1 2 3 4 5 6 7 8 24 （1）求证：当点，在运动过程中不与点重合时，以点，，， 为顶点的 四边形为平行四边形； 【证明】连接，，， 两动点，同时以的速度分别从点 ， 出发在线段上相向运动， 平行四边形的对角线， 相 交于点，，.当点在上，点在 上时， ，即， 四边形为平行四边形.当点在 上， 点在上时，,即, 四边形 为平行四边形.故当 点,在运动过程中不与点重合时，以点，，， 为顶点的四边形是平行四边形． 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （2）［中］设点，的运动时间为.当为何值时，四边形 为矩形？ 【解】由已知条件可得.由（1）可知四边形 是平行四边形， 当时，四边形是矩形．①当点在上，点在 上时， ，，解得.②当点 在上，点在上时， ， ，解得 ． 综上所述，当为2或8时，四边形 为矩形． 1 2 3 4 5 6 7 8 26 $