专题03 三角形（期末复习知识清单，7常考题型6易错归因5高频模型技巧）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题03 三角形 知识点1：三角形的有关概念 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形，记作△ABC。 2. 基本元素 顶点：A、B、C 边：AB、BC、AC（也可记作a、b、c） 内角：∠A、∠B、∠C，三角形内角和为180° 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角 3. 三角形的分类 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边分：不等边三角形、等腰三角形（包含等边三角形） 4. 三角形三边关系 核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 常见应用：判断三条线段能否构成三角形、求第三边的取值范围、化简三角形边长绝对值式子。 5. 三角形三条重要线段 高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；三条高交于垂心；钝角三角形有2条高在三角形外部，直角三角形两条高为直角边。 中线：连接三角形顶点和对边中点的线段；三条中线交于重心；中线平分对边，同时平分三角形面积（重心分中线长度比为2:1）。 角平分线：平分三角形内角的线段；三条角平分线交于内心；可平分内角，内心到三角形三边距离相等。 知识点2：三角形内角和与外角性质 1. 内角和定理：任意三角形的内角和为180°。 2. 外角核心性质 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 性质2：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 3. 外角和定理：三角形的外角和恒为360°。 知识点3：全等三角形及其性质 1. 全等定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等符号为≌。 2. 全等性质：对应边相等、对应角相等，且两个三角形周长相等、面积相等。 3. 书写规范：书写三角形全等时，对应顶点必须写在对应位置，避免对应关系出错。 知识点4：三角形全等的判定定理 1. SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2. SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（易错点：必须是两边夹角，SSA无法判定全等）。 3. ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 4. AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 题型1：三角形三边关系应用（选择/填空必考） 例1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，5，4 B．14，22，7 C．22，9，7 D．1，1， 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的三边关系定理即可得． 【详解】解：A、，满足三角形的三边关系定理，此项符合题意； B、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意； C、，不满足三角形的三边关系定理，此项符合题意； D、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记定理是解题关键． 例2．（25-26七年级下·上海闵行·期中）以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．3，4，6 C．10，4，6 D．5，2，2 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，只需比较较短两条边的和与最长边的大小，即可判断能否组成三角形； 【详解】解：A：最长边为6，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； B：最长边为6，∵，满足三角形三边关系，∴能组成三角形； C：最长边为10，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； D：最长边为5，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． 例3．（25-26七年级下·上海·期中）在三角形中，，，第三边的取值范围是______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系可知，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ，即， 第三边的取值范围是． 例4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 变式1．（2024七年级下·上海·专题练习）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．15 B．16 C．8 D．7 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此即可作答． 【详解】解：∵三角形的两边分别为3和5， ∴设三角形的第三边为 即 ∴ ∴ 则 ∴这个三角形的周长大于小于， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 变式3．（25-26七年级下·上海崇明·期中）一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 【答案】2 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形三边关系，先求出第三边的取值范围，再结合第三边长为整数的条件，即可确定． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，，即， ∵第三边的长为整数， ∴． 变式4．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 变式5．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围、求一元一次不等式的解集、不等式的性质 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 题型2：三角形内角和与外角角度计算 例5．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 例6．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）在中，若，则__________． 【答案】/40度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形内角和定理，结合已知的角度比例关系，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：∵， 设，，． 根据三角形内角和定理，可得：， 解得， 因此． 例7．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________． 【答案】或 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 综上：边恰好与边平行，t的值为或 故答案为：10.5或28.5 例8．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知在中，射线平分，交边于点，点是射线上一点，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______． 【答案】或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，即可求解． 【详解】，，射线平分， ， 当，如图所示，， ； 当，如图所示，， ， ； 当，延长交直线于点，如图所示，， ， ； 在中，， 综上所述，的度数为或或． 例9．（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后由三角形外角的性质求出，进而求解即可； （2）首先利用三角形面积公式求出的面积，然后根据三角形中线的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴的面积 ∵是的中点 ∴的面积的面积． 变式1．（22-23七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，由角平分线得，．再根据三角形的外角性质得，，从而得． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，． ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：． 变式2．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）若、、是三角形的三个内角，而，，，那么、、中，锐角的个数的错误判断是（   ） A．可能没有锐角 B．可能有一个锐角 C．可能有两个锐角 D．最多一个锐角 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角与外角的关系及两角互补的关系解答． 【详解】解：∵、、是三角形的三个内角， ∴， ∵，，三个角分别，，，相邻的外角，，，三个角中最多有一个钝角， ∴，，中（即、、中）锐角的个数至多有1个锐角． ∴C符合题意； 变式3．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，是边上的高，且，是三角形的角平分线，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】证明即可判断①正确；无法判断，即可判断③错误；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断②正确，证明即可判断④正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故①正确， 平分， ， ，， ， 故②正确， ， ， ， ， ，， ， 故④正确， 无法判断，故③错误； 综上可得，正确的结论有①②④． 变式4．（25-26七年级下·上海·期中）汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，_____度 【答案】46或106或136 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线的交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角求解即可． 【详解】解：①如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点Q，且，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点Q，且，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，或或． 变式5．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 在中， ． 变式6．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①；② (2)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）①根据三角形内角和定理分别得出，，进而可得，即可求解； ②根据①的方法，即可求解； （2）分三种情况讨论，①如图，当在的左侧时，设交于点，②如图，当在的右侧时，设交于点，③如图，当在的下方时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 又∵ ∵，， ∴ ②∵，， ∴ （2）解：①如图，当在的左侧时，设交于点 ∵， ∴ ②如图，当在的右侧时，设交于点 ∵ ∴ ③如图，当在的下方时， ∵，， ∴， 又∵ 综上所述，或或 题型3：三角形重要线段性质应用 例10．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 例11．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的面积和三角形的高，过点作于点，根据三角形的面积公式得出，再根据可得结论．掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵的面积为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 例12．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【答案】①② 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度、画三角形的高 【分析】根据三角形中线，内角平分线，高的定义，分别判断三类线段在三角形中的位置，即可得到结果． 【详解】根据三角形相关定义可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 对于三角形的高：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 因此一定在三角形内部的线段是①②． 例13．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 【答案】 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 例14．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 例15．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【知识点】点到直线的距离、画垂线、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 变式1．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】利用中点性质得出线段倍数关系，进而得出相关三角形面积的倍数关系，最后将阴影部分面积转化为几个已知面积三角形的和即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ， 点 是的中点 点是的中点 点是的中点 点是的中点，即 点是的中点，即 点是的中点，即 由图可知，阴影部分的面积为 阴影部分的面积为 变式2．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 变式4．（25-26七年级下·上海闵行·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】由题意可得，再根据点，的位置，表示出相应的三角形的面积，从而可得出相应的规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵，分别是，的中点， ，， ． 同理可得：． 则，，……， ． ． 变式5．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 【答案】(1)见解析 (2)MB (3)见解析 (4)CH 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、根据三角形中线求长度 【分析】（1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）根据三角形的高的定义画出图形； （4）根据点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （3）如图，线段即为所求； （4）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：．    【点睛】本题考查作图复杂作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，属于中考常考题型． 变式6．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、画垂线 【分析】（1）延长，以为半径，点C为圆心作圆弧交直线于点G，再分别以A、G为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接，交于点D，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）根据点到直线的距离的定义作答即可． 【详解】（1）解：边上的高如图所示： （2）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图所示： （3）解：根据作图有：， ∴点B到直线的距离是线段的长度， 变式7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型4 全等三角形及其性质 例16．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 例17．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【答案】3 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 例18．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，，，点在上，的延长线交于点，那么_________． 【答案】120 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质得到的度数，对顶角得到的度数，再根据三角形的外角的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 例19．（22-23七年级下·上海·单元测试）如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形对应角相等求出的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【知识点】线段的和与差、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 变式3．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【答案】18 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： 情况1：列方程组 解得， 此时的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 变式4．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′． 说理过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 　 　＝　 　，所以可以使点B与点B′重合．又因为　 　＝　 　，所以射线　 　能落在射线　 　上，这时因为 　 　＝　 　，所以点 　 　与 　 　重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C' 【知识点】全等三角形的概念 【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案． 【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空． 变式5．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【答案】(1)6 (2) 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 变式6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求： (1)的长； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查全等三角形的性质，等角的余角相当的性质， （1）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长； （2）由全等三角形的性质得到，根据等角的余角相等得到，求出． 【详解】（1），，， ， ． （2）， ， ． ， ， ∴ 又点，，在同一条直线上， ， ． 题型5：全等三角形基础判定证明（SAS/ASA/AAS/SSS） 例20．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 例21．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，平分，，连接、，并延长交、于、点，则图中全等的三角形有(    )对．    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，仔细寻找． 【详解】解：平分， ， 在与中， ， ， ，，， 又， ， ，，． ，，，，共对． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 例22．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 【答案】 /25度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS） 【详解】解：在 与 中， ， 设 与 相交于点 ， 在 中， ， 在 中，， ， ， ， 例23．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 【答案】5 【知识点】根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据中线性质得，根据周长差可得，结合求出，再通过证明得出，进而可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∵，，（对顶角相等）， ∴， ∴． 故答案为：5． 例24．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，和是等边三角形且，则_______°． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边三角形的性质的应用，能求出是解此题的关键，难度适中．根据等边三角形性质得出求出，证，根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可 【详解】解：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 例25．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 例26．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，点、、、在网一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，进而证明； （2）由（1）得，进而根据三角形内角和定理可得，，进而根据等角对等边，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴ 变式1．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 【答案】8或2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，分两种情况讨论，一是点B、点C在直线l同侧，由于点D，于点E，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，，求得；二是点B、点C在直线l异侧，同理可证明，则，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 变式3．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 变式4．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，，，求证： 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到，则可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 变式5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上．现有以下四个条件：①；②；③；④．请以其中三个作为条件，余下的一个作为结论，写出两个真命题，并加以证明． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先写出两个真命题，再利用全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质证明即可得解． 【详解】解：条件：②③④，证明①； 证明如下：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 条件：①②④，证明③； 证明如下：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 变式6．（22-23七年级下·上海黄浦·月考）如图，在中，，D、E、F分别为边、、上的点，且，． (1)试说明：与全等的理由； (2)若，试求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】（1）由，可得，结合，，从而可得结论； （2）求解，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的性质与全等三角形的判定方法是解本题的关键． 变式7．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，点C在线段上，，，．延长分别交、于G、F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）由得内错角，结合已知、，用证明，从而得； （2） 由全等得，，在中求出，利用三角形外角定理依次求，再由得，最后求． 【详解】（1）证明：， ， 在和中： ， ． （2）解：， ，， ， ， 是的外角， ， ， ， 是的外角， ． 变式8．（2026七年级下·上海·专题练习）解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）解：； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． （3）解：， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 题型6：全等三角形辅助线问题 例27．（24-25七年级下·上海普陀·期末）小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，②倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍小于其它两边和，即其一边上的中线小于其他两边和的一半，即可． 【详解】解：①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，故①不正确； ②如图，是的中线，且，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 结论②正确； 故选：D． 变式1．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】构造全等三角形和，可得，由三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可得的取值范围，也就是的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的取值范围是：． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式3．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 题型7：三角形折叠动态角度问题 例28．（25-26七年级上·上海·期末）如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（   ） A．16cm B．15cm C．13cm D．10cm 【答案】D 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了图形轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是关键．根据轴对称的性质可得，，即得，即可求得则的周长为，即得答案． 【详解】解：沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处， ，， ， 则的周长为． 故选：D． 例29．（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是___________． 【答案】10 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换的性质．根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】解：∵沿折叠点A落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：10． 例30．（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【知识点】折叠问题 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 变式1．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】题目主要考查折叠问题及等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，理解题意，得出为等边三角形是解题关键． 根据题意，分两种情况：当点A与点重合时，当点A与点F重合时，分别利用等边三角形的判定和性质，结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 当点A与点重合时， ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点A与点重合时，， ∴； 当点A与点F重合时，如图所示： ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点A与点F重合时，， 综上可得： 故选：C． 变式2．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并联结．如果cm，且满足，边AC=___________ 【答案】/ 【知识点】折叠问题 【分析】过点作于点，根据是由折叠得到，，根据，，再根据，即可． 【详解】如图： ∵是由折叠得到， ∴，， ∵过点作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形折叠的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，等面积法的运用． 变式3．（25-26七年级上·上海·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边________．(用含的代数式表示结果） 【答案】/ 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形中的高线以及面积的计算，关键是利用折叠得到面积关系，再结合“同高三角形面积比等于底边比”推导线段长度． 【详解】解：设，由，得． ∵沿着折叠得到， ∴， 则，解得， ∴． ∵与同高(从点到的高)， ∴面积比等于底边比，即， 即， ∴． 故答案为：． 变式4．（22-23七年级上·上海闵行·期末）已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别与边交于点D、E，点B关于直线的对称点为点F． (1)画出直线和点F； (2)连接，如果，求的度数； (3)连接，如果，且的面积为4，求的面积． 【答案】(1)答案见详解； (2)； (3)28 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解、画对称轴 【分析】（1）画出线段的垂直平分线即可，作出点B关于直线的对称点F； （2）由轴对称性的性质可知，因为，，所以； （3）设中边上的高为，根据，计算即可． 【详解】（1）解：取中点D，作，交于E，直线是求作的， 过点B作于G，在直线上截取，点F是求作的，如图所示： （2） 由轴对称性的性质可知， 因为，， 所以， 即，， 所以． （3） 由轴对称性的性质可知，，， 设中边上的高为 则， 所以， 所以， 设中边上的高为， ， 所以． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 易错点1：三角形三边关系判断疏漏 核心误区：只记“两边之和大于第三边”，忽略需同时满足两边之差小于第三边；判断时仅验算一组不等式，导致判断失误。 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件． 根据构成三角形的条件，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能组成三角形，不符合题意； C．，，能组成三角形，符合题意； D．，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 易错点2：钝角三角形高的位置判断错误 核心误区：默认三角形所有的高都在三角形内部，不会识别、绘制钝角三角形外部的高，做题极易出错。 2．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 易错点3：SAS判定忽略“夹角”条件 核心误区：使用SAS定理时，忽略角必须是两组对应边的夹角，误用边边角条件证明全等。 3．如图，在中，已知，点、、分别在边、、上，且，，请说明与相等的理由． 【答案】见解析． 【分析】由“”可证，由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，外角的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键． 【详解】∵， ∴（等角对等边）， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应角相等）， ∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 即， ∴． 易错点4：全等三角形对应边、对应角找错 核心误区：图形经过平移、旋转、翻折后，凭直观感觉判断对应边、对应角，忽略全等三角形书写顶点顺序的对应关系。 4．如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应角相等、对应边相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解： ，，， 选项A、C正确，不符合题意； （三角形的外角性质） 又 选项D正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 易错点5：三角形中线、角平分线、高线概念混淆 核心误区：混淆三种线段的定义和性质，无法区分平分边长、平分角度、垂直边长的不同作用。 5．如图，以下是一位同学将翻折至阴影处的三种不同折纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的分别是的（    ） A．角平分线、高、中线 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高 D．中线、角平分线、高 【答案】A 【分析】根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图（1）中的折叠方式可知，， 是的角平分线； 由图（2）中的折叠方式可知，， ， ， 是的高线； 由图（3）中的折叠方式可知，， 是的中线． 易错点6：未分类讨论（遗漏多解） 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是______． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当为腰时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当为底时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，的周长是或， 故答案为：11或13． 7．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 本题需要分两种情况，并画图分析，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，然后进行计算，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时， 如图：，是的高，， ， ∵是的高， ∴， ； 当等腰三角形的高在三角形的外部时， 如图：，是△ABC的高，， ， ∵是的高， ∴， ∴， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或． 故答案为：或． 分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 8．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”有一个内角为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_____． 【答案】或 【分析】根据“特征三角形”“特征角”的定义，对已知的内角分情况讨论，结合三角形内角和定理计算，排除不符合三角形内角和定理的情况，比较得到最小内角； 【详解】解：根据定义，特征三角形中特征角满足，其中为另一个内角，结合三角形内角和定理， 分三种情况讨论：①当为特征角时， ， ， 第三个内角为， ， 此时最小内角为； ②当为内角时， ， ，不符合三角形内角和定理，舍去该情况； ③ 当为第三个内角时， ，且， ， 解得：，， ， 此时最小内角为； 综上，这个“特征三角形”的最小内角的度数为或， 高频模型技巧 模型一：双角平分线模型 1.双内角平分线 2.双外角平分线 3.内角平分线+外角平分线 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 1.（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 模型二：倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 2.（24-25八年级上·上海浦东新·期中）（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    【详解】解：（1）延长到E，使得， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：，，，； （2），，理由如下： 延长至H，使，连接，如图2所示：    由（1）得：， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 延长交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 模型三：一线三等角模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 如图，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 3.（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴ （2）解：如图，当时， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴；    当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时不符合题意，此种情况不存在， 综上，的度数为或；    4.（22-23七年级下·上海静安·期末）探究：（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．请直接写出线段之间的数量关系是 ； 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，①请直接写出图3中所有全等三角形 ；②求证：是等边三角形． 【详解】解：（1）如图1，直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）①如图3，∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ，，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， 综上：全等的图形有； ②为等边三角形，理由如下： ∵ ，， ， 为等边三角形． 模型四：手拉手旋转模型 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 5.（22-23七年级下·上海·期末）已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转； (1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由； (2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由． 【详解】（1）与为等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； （2）与的夹角不改变， 理由：设，交于，与交于， 由（1）知， ， ， ， ， 故与的夹角不改变． 模型五：等角三角形中的半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 6.（2022七年级下·上海·专题练习）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； (2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　； (3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 【详解】（1）解：如图1，延长至，使，连接， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周， 等边的周长， ， ， 故答案为：6； （2）解：如图，、、之间的数量关系，此时， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 的周， 等边的周长， ， 故答案为：，； （3）解：猜想：（2）中的结论仍然成立， 证明：如图2，延长至，使，连接， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周长， 等边的周长， ． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形 知识点1：三角形的有关概念 1. 定义：由__________的三条线段__________所组成的图形叫做三角形，记作__________。 2. 基本元素 顶点：__________ 边：__________ 内角：__________，内角和为__________ 外角：__________ 3. 三角形的分类 按角分：__________、__________、__________ 按边分：__________、__________（含__________） 4. 三角形三边关系 定理：__________；__________。 应用：__________、__________、__________。 5. 三条重要线段 高：__________；三条高交于__________；钝角三角形有__________条高在外部。 中线：__________；三条中线交于__________；可__________对边、__________三角形面积。 角平分线：__________；三条角平分线交于__________；可__________内角。 知识点2：三角形内角和与外角性质 1. 内角和定理：三角形内角和=__________。 2. 外角性质 性质1：三角形的一个外角=__________ 性质2：三角形的一个外角＞__________ 3. 外角和：三角形外角和=__________。 知识点3：全等三角形及其性质 1. 全等定义：能够__________的两个三角形叫做全等三角形，符号：__________。 2. 全等性质：对应边__________，对应角__________，周长、面积__________。 3. 书写要求：书写全等时，__________。 知识点4：三角形全等的判定 1. SSS（__________）：__________ 2. SAS（__________）：__________（注意：__________） 3. ASA（__________）：__________ 4. AAS（__________）：__________ 5. HL（__________）：__________（仅适用于__________） 题型1：三角形三边关系应用（选择/填空必考） 例1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，5，4 B．14，22，7 C．22，9，7 D．1，1， 例2．（25-26七年级下·上海闵行·期中）以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．3，4，6 C．10，4，6 D．5，2，2 例3．（25-26七年级下·上海·期中）在三角形中，，，第三边的取值范围是______． 例4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 变式1．（2024七年级下·上海·专题练习）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．15 B．16 C．8 D．7 变式2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 变式3．（25-26七年级下·上海崇明·期中）一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 变式4．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 变式5．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 题型2：三角形内角和与外角角度计算 例5．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 例6．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）在中，若，则__________． 例7．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________． 例8．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知在中，射线平分，交边于点，点是射线上一点，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______． 例9．（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 变式1．（22-23七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 变式2．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）若、、是三角形的三个内角，而，，，那么、、中，锐角的个数的错误判断是（   ） A．可能没有锐角 B．可能有一个锐角 C．可能有两个锐角 D．最多一个锐角 变式3．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，是边上的高，且，是三角形的角平分线，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 变式4．（25-26七年级下·上海·期中）汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，_____度 变式5．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 变式6．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 题型3：三角形重要线段性质应用 例10．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 例11．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 例12．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 例13．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 例14．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 例15．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 变式1．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 变式2．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 变式3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 变式4．（25-26七年级下·上海闵行·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 变式5．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 变式6．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 变式7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 题型4 全等三角形及其性质 例16．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 例17．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 例18．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，，，点在上，的延长线交于点，那么_________． 例19．（22-23七年级下·上海·单元测试）如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 变式1．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 变式3．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 变式4．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′． 说理过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 　 　＝　 　，所以可以使点B与点B′重合．又因为　 　＝　 　，所以射线　 　能落在射线　 　上，这时因为 　 　＝　 　，所以点 　 　与 　 　重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 变式5．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 变式6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求： (1)的长； (2)的度数． 题型5：全等三角形基础判定证明（SAS/ASA/AAS/SSS） 例20．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 例21．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，平分，，连接、，并延长交、于、点，则图中全等的三角形有(    )对．    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 例22．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 例23．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 例24．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，和是等边三角形且，则_______°． 例25．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 例26．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，点、、、在网一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求证：． 变式1．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 变式3．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 变式4．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，，，求证： 变式5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上．现有以下四个条件：①；②；③；④．请以其中三个作为条件，余下的一个作为结论，写出两个真命题，并加以证明． 变式6．（22-23七年级下·上海黄浦·月考）如图，在中，，D、E、F分别为边、、上的点，且，． (1)试说明：与全等的理由； (2)若，试求的度数． 变式7．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，点C在线段上，，，．延长分别交、于G、F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 变式8．（2026七年级下·上海·专题练习）解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 题型6：全等三角形辅助线问题 例27．（24-25七年级下·上海普陀·期末）小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 变式1．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 变式3．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 题型7：三角形折叠动态角度问题 例28．（25-26七年级上·上海·期末）如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（   ） A．16cm B．15cm C．13cm D．10cm 例29．（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是___________． 例30．（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 变式1．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．；B．； C．； D． 变式2．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并联结．如果cm，且满足，边AC=___________ 变式3．（25-26七年级上·上海·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边________．(用含的代数式表示结果） 变式4．（22-23七年级上·上海闵行·期末）已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别与边交于点D、E，点B关于直线的对称点为点F． (1)画出直线和点F； (2)连接，如果，求的度数； (3)连接，如果，且的面积为4，求的面积． 易错点1：三角形三边关系判断疏漏 核心误区：只记“两边之和大于第三边”，忽略需同时满足两边之差小于第三边；判断时仅验算一组不等式，导致判断失误。 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 易错点2：钝角三角形高的位置判断错误 核心误区：默认三角形所有的高都在三角形内部，不会识别、绘制钝角三角形外部的高，做题极易出错。 2．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 易错点3：SAS判定忽略“夹角”条件 核心误区：使用SAS定理时，忽略角必须是两组对应边的夹角，误用边边角条件证明全等。 3．如图，在中，已知，点、、分别在边、、上，且，，请说明与相等的理由． 易错点4：全等三角形对应边、对应角找错 核心误区：图形经过平移、旋转、翻折后，凭直观感觉判断对应边、对应角，忽略全等三角形书写顶点顺序的对应关系。 4．如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 易错点5：三角形中线、角平分线、高线概念混淆 核心误区：混淆三种线段的定义和性质，无法区分平分边长、平分角度、垂直边长的不同作用。 5．如图，以下是一位同学将翻折至阴影处的三种不同折纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的分别是的（    ） A．角平分线、高、中线 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高 D．中线、角平分线、高 易错点6：未分类讨论（遗漏多解） 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是______． 7．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 8．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”有一个内角为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_____． 5高频模型技巧 模型一：双角平分线模型 1.双内角平分线 2.双外角平分线 3.内角平分线+外角平分线 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 1.（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 模型二：倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 2.（24-25八年级上·上海浦东新·期中）（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    模型三：一线三等角模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 如图，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 3.（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 4.（22-23七年级下·上海静安·期末）探究：（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．请直接写出线段之间的数量关系是 ； 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，①请直接写出图3中所有全等三角形 ；②求证：是等边三角形． 模型四：手拉手旋转模型 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 5.（22-23七年级下·上海·期末）已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转； (1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由； (2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由． 模型五：等角三角形中的半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 6.（2022七年级下·上海·专题练习）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； (2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　； (3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $