专题03 等腰三角形常考几何模型专训（7大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题03 等腰三角形常考几何模型专训（7大题型） 题型一 三线合一模型 题型二 等边三角形模型（特殊等腰） 题型三 等腰三角形 “外角平分” 模型 题型四 一线三等角模型（K 字模型） 题型五 等腰三角形翻折模型 题型六 等腰手拉手模型 题型七 倍半角等腰模型 【经典例题一 三线合一模型】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及垂直平分线的性质．通过证明两个三角形全等，进而利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质来证明线段相等，需要用到的概念有全等三角形的判定条件和垂直平分线的性质． 【详解】证明：如图，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长交的延长线于点．点是的中点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，等角对等边，三线合一定理，熟知三线合一定理是解题的关键。 （1）由三线合一定理得到，则由垂线的定义得到，据此可证明； （2）由三线合一定理得到，由平行线的性质得到，，则可证明，进而证明． 【详解】（1）证明：，点是的中点， ， 又 ， ； （2）证明：，点是的中点， ， ， ，， ， ． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平： 在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们的方法对吗？为什么？ 【答案】对，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：他们的方法对的 ∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∵垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的， 故他们的方法正确． 4．（25-26七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形及其性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； （1）根据边相等得出角相等，根据垂直得到角度，则可求得的度数； （2）由（1）得角相等，再根据平行进而推出角相等． 【详解】（1）解：∵，， ，． 又∵， ． （2）解：由（1），得． ， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，小明想测量塔高的长度，如下是他的测量步骤（小明的身高忽略不计，且塔楼不阻碍通行）； ①选取塔的顶端作为参照点A； ②地面直线l上取测量点C，在C处用工具测得； ③沿射线的方向行走至测量点D，点D和点C在塔的两侧并在D处用工具测得； ④测得行走距离米． 【解决问题】请你根据小明的测量步骤，求出塔高的长度． 【答案】42米 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，根据小明的测量步骤可得，由等腰三角形的性质可得米，再说明是等腰直角三角形即可． 【详解】解：由题意可得， ， ， 米， ， 是等腰直角三角形， 米． 6．（25-26八年级上·河北保定·期末）【方案设计】为测量阜平滨河公园的某处池塘两端，的距离（无法直接测量），同学们进行了方案设计．（所涉及的点均在同一平面内） 【方案提出】甲：如图，①在平地上取一个可以直接到达点，的点； ②连接，，并分别延长到点，，使； ③连接，测出的长即可． （1）求证：； 【交流反思】（2）乙提出另一种方案：如图，先确定直线，过点作射线，在射线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可，则乙同学确定的依据可以是___________（填序号即可） ①等边对等角②等角对等边③等腰三角形“三线合一” 【答案】（1）见解析；（2）③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据等腰三角形“三线合一”即可得以论证． 【详解】（1）证明：在与中，， ∴， ∴； （2）解：由题可知，乙同学确定的依据可以是等腰三角形“三线合一”， 故答案为：③． 【经典例题二 等边三角形模型（特殊等腰）】 7．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如下图，为等边三角形内的一点，它到三边，，的距离分别为，，，的高，则与，，之间有何数量关系？写出你的猜想并加以证明． 【答案】猜想：．证明见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质与三角形面积的求解方法，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 连接，，，利用三角形面积公式分别表示出、、、，然后根据，结合等边三角形的性质即可得到与，，之间的数量关系． 【详解】猜想： 证明：如图，连接，，． ，， ，， ， ． 是等边三角形， ， ， ． 8．（江苏徐州市第三十三中学等校2025—2026学年度第二学期期中检测七年级数学试题）将绕着点O顺时针旋转得到，． (1)求和的度数； (2)连接，则是一个________三角形． 【答案】(1)， (2)等边 【分析】（1）根据旋转的性质得，，再根据，求解； （2）根据旋转的性质得，，即可判断是一个等边三角形． 【详解】（1）解：∵将绕着点O顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴，； （2）解：如图，连接， ∵将绕着点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴是一个等边三角形， 故答案为：等边． 9．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期末）如图①，是线段上一点，与是等边三角形（三边相等，三个角都为的三角形）． (1)请你判断：与相等吗？并说明理由； (2)如图②，若绕点旋转一定角度，（1）中的结论还成立吗？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形三个角都是，三条边都相等得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据等边三角形三个角都是，三条边都相等得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）． （2）解：条件改变，结论仍然成立．理由如下： ∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）． 10．（25-26七年级下·四川·期中）已知为等边三角形(三边相等、三个角为)，与分别为，上一点． (1)如图1，，分别为中点，取中点，连接，，，证明：； (2)如图2，，线段上取一点，使得，连接，，，证明：； (3)如图3，，以为边作等边三角形，连接，证明：平分．(辅助知识点：等腰三角形底角相等) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明得出，证明得出，即可得证； （2）证明得出，根据得出； （3）在上取一点使得，，证明，可得，再证明得出，即可得证． 【详解】（1）证明：，，，分别为中点， ． 在和， , ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：，， ． 在和中， ， ， ， 在中，， ． （3）证明：在上取一点使得，． 在中，． ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ． ， ， ， ． 在中，， ． ， 平分． 11．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在等边三角形中，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)①若点在线段上（不与端点重合），过点作交于点，连接，连接并延长交于点，依题意补全图形，并求的度数； ②连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段的延长线上，过点作交的延长线于点，连接，连接并延长交于，连接，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①补全图形见解析，；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；证明，推出，再利用三角形内角和定理即可解答；②在上截取，连接，由，，可证，得，，推出是等边三角形，得，根据即可得出结论； （2）在延长线上取点，使得，连接，同理（1）即可得出结论． 【详解】（1）解：①补全图形如下： 由旋转的性质得，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，证明如下： 在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：， 如图，在延长线上取点，使得，连接， 同理（1）①得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·江苏南京·期中）旋转是一种美丽且浪漫的变化，下面就请你在作图中感受它的魅力吧． (1)如图1，线段绕点O顺时针旋转一定的角度得到对应线段，则 ； ． (2)如图2，已知圆A和点O，请用直尺与圆规画出圆A绕点O顺时针旋转后的对应圆． (3)通过（1）的作图可知：若点P在上运动，则绕点O顺时针旋转后的则在对应线段上作关联运动（如图3），利用此规律尝试下列作图： ①如图4，已知点C是内部一点，分别在射线上作点P、Q使得为等边三角形，小明已作出等边，请你用直尺和圆规帮助小明在射线上画出符合题意的点Q． ②小明得到你的帮助以后又有了新的思考，如图5，如果点P在射线上，点Q在圆B上，又该怎么作等边呢，请你继续帮助小明画出等边． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据旋转的性质直接求解即可； （2）连接，分别以O、A为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心，长为半径画圆即可； （3）根据题意得出对应点的运动轨迹在相应的直线上，①在上任意找一点，连接，分别以点为圆心，为半径画弧交于点，则为等边三角形，连接并双向延长交于点Q即为所求；②在上任意找一点，连接，分别以为圆心，为半径画弧，交于点D；在上任意找一点，连接，分别以为圆心，为半径画弧，交于点；连接交圆B于点，连接，同理作等边三角形即为所求． 【详解】（1）解：∵线段绕点O顺时针旋转一定的角度得到对应线段， ∴； （2）解：连接，分别以O、A为圆心，长为半径画弧交于点， 则为等边三角形， ∴， 以为圆心，长为半径画圆即可； 如图所示即为所求； （3）如图，连接， ∵点P在上运动， ∴点在对应线段上运动； ①在上任意找一点，连接，分别以点为圆心，为半径画弧交于点，则为等边三角形， 连接并双向延长交于点Q即为所求； ②在上任意找一点，连接，分别以为圆心，为半径画弧，交于点D，则为等边三角形； 在上任意找一点，连接，分别以为圆心，为半径画弧，交于点，则为等边三角形； 连接交圆B于点， 连接， 同理作等边三角形即为所求． 【经典例题三 等腰三角形 “外角平分” 模型】 13．（24-25八年级下·陕西西安·月考）在中，，过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接．求证：为等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】先证明，再证明，可得，可得，结合，从而可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练的证明是解本题的关键． 14．（25-26八年级上·江苏南京·月考）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． (1)如图1，已知平分，．求证：是等腰三角形； (2)如图2，已知在中，，平分的外角．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查角平分线的应用、直线平行的判定与性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质： （1）通过直线平行的性质和角平分线证明即可； （2）根据三角形外角的性质及角平分线证明即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）， ， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ． 15．（24-25八年级上·新疆·期末）（1）【课本再现】课本习题13.3中有这样一道题，如图1，，平分，求证． （2）【类比分析】小文同学发现，当角平分线与平行线结合，可以得到等腰三角形，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系． 请用小文的发现解决问题： 如图2，在中，，点D在上，、分别平分，，线段与、有什么数量关系？请说明理由； （3）【学以致用】如图3，D在外，，且平分，平分，过点D作分别交、于E、F两点，直接写出线段与、数量关系为． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线性质和角平分线定义、等腰三角形的判定即可解决问题； （2）由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可得证； （3）由（2）知，由平行线的性质可得，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： ∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：；理由如下： 由（1）知， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·吉林松原·期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形． (1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分的形状是_______． (2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交于点，试探究线段之间的数量关系并说明理由； (3)【拓展提升】如图4，四边形中，为边的中点，平分，连接，求证：． 【答案】(1)是等腰三角形 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． （1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证； （2）根据（1）的结论可知，为等腰三角形，则，且，可证，由此即可求解； （3）如图所示，过点作，为边的中点，可知点是的中点，得出为等腰三角关系，证明平分，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明，即直角三角形，由此即可求证． 【详解】（1）是等腰三角形； 理由：在长方形中，， ， 由折叠性质可得， ， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形； （2）解：，理由如下， ∵平分，， ∴， ∴为等腰三角形，则， 平分，， ， 为等腰三角形，即， ， ． （3）证明：如图所示，过点作，交于点， 为边的中点， 点是的中点，即， ，平分， ， 是等腰三角形，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 17．（24-25八年级下·山西运城·期中）阅读下列材料回答下列问题： 知二推一模型 在几何图形中，有三种图形往往同时出现在同一图形中，哪三种图形呢？就是平行线、角平分线、等腰三角形，三者关系十分密切，几乎形影不离．在解决问题的过程中平行线、角平分线、等腰三角形这三个条件中只要已知其中任意两个，就能推导出第三个． 例如第一种情况，已知：如图1，，是的平分线，求证：是等腰三角形． 证明： ． 是的平分线 ． 是等腰三角形（依据） 第二种情况：……第三种情况：…… 在解决问题的过程中，我们也可以通过添加辅助线的方法构造知二推一模型来解决问题． (1)以上证明过程中，依据是： ； (2)请你参照上面的第一种情况的证明过程，从其余两种情况中选择一种画出图形，写出已知、求证，并进行证明； (3)根据阅读材料解决下列问题：如图2，在中，是的角平分线，点是边上的一点，连接．若，，，则的长为 ． 【答案】(1)两底角相等，则两腰相等 (2)选第二种情况，见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可； （2）根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可． （3）过点作交于点，证明三角形是直角三角形，即可推出结果． 本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定．熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：． ． 依据是两底角相等，则两腰相等； 故答案为：两底角相等，则两腰相等； （2）第二种情况：已知：如题干图，△是等腰三角形，是 的平分线， 求证：． 证明：△是等腰三角形， ． 是的平分线， ． ． ． 第三种情况：已知：如题干图，△ 是等腰三角形，． 求证：是 的平分线． 证明：， ． △是等腰三角形． ． ， 是 的平分线． （3）如图，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ， ， ， 故答案为：． 18．（2025·河南三门峡·一模）数学老师在给同学们讲完下面例题后，告诉同学们，知道平行线、角平分线和等腰三角形中的任意两个条件，可证明第三个条件成立． 如图，已知，BD平分∠ABC，可证：． 受此启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法． (1)请你帮她完善下面作图步骤： 已知：如图，． 求作：的平分线OP． 作法：①在OA上任取一点C； ②在内作，使； ③在CD上截取______； ④作射线OP，射线OP即为所求． (2)补全上面作图．（保留作图痕迹） (3)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请结合（2）的图形将已知补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，C是边OA上任意一点，，P是CD上的点，且___=______，作射线OP．求证：OP平分． 【答案】(1)CO (2)见解析 (3)CP，CO，证明见解析 【分析】（1）根据题意结合等腰三角形等边对等角即可填空； （2）根据作法补全作图即可； （3）由（1）作法即可填空．根据平行线的判定和性质与等腰三角形的性质即可求证OP平分∠AOB． 【详解】（1）解：根据题意结合等腰三角形等边对等角即可知该空填CO． 故答案为：CO； （2）如图，即为补全的图形； （3）CP，CO 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质、等腰三角形的性质以及角平分线的定义等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 【经典例题四 一线三等角模型（K 字模型）】 19．（24-25七年级下·福建泉州·期末）好学的小安同学习惯超前学习，他知道等腰三角形有一个重要性质：“等边对等角”．即“在中，若，则”．请你运用这个知识解决下面问题： 如图1，将正方形的边绕点逆时针时针旋转至，旋转角为，连接，点线段延长线上一点．    (1)当时，则__________度； (2)如图2，将绕点顺时针旋转得到，求证：三点在同一条直线上． 【答案】(1)45° (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质易得，由旋转的性质推导出，再利用三角形内角和定理列出关系式，化简计算即可得到； （2）类比上面的思路，利用上面的结论，根据等腰三角形的性质，等边对等角，通过角的和差关系式推导出是平角，结论得证； 【详解】（1）解：四边形是正方形 ∵绕点逆时针时针旋转至，旋转角为 即，，， 当时： ， 故答案为：； （2）解：由旋转的特征得：   ， ， ， ， （法一） ， 又是由绕点顺时针旋转得到， ， ， ． ， 即三点在同一条直线上． （法二） ， 又是由绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 即三点在同一条直线上． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、旋转性质，解题的关键是通过角的和差关系式推导出是平角． 20．（25-26八年级上·河南周口·期末）【阅读理解】 “一线三等角”是几何学中的一个重要模型，通常指在一条直线上存在三个等角顶点（如三个直角或三个角），进而通过全等三角形来推导线段之间的关系。如图1，B，C，D三点共线，，，易得，． 【初步应用】 （1）如图2，在中，，点E在边上，的垂直平分线交于点D，若，，则______，______； 【拓展应用】 （2）如图3，D，A，E三点都在直线m上，F为的平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （3）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点，，请直接写出点A的坐标． 【答案】（1）2，8；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）或 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，，再由三角形外角的性质和等量代换得，由线段垂直平分线的性质得，进而证得，得，，求得，即可求解； （2）由题意得，，，由三角形内角和定理和等量代换得，进而证得，得，进而得，证得，即可得证； （3）当点A在第二象限时，如图，过点C作轴于点F，延长，过点A作于点D，延长交y轴于点E，由题意得，，证得，可得，，即可求解；当点A在第四象限时，如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N，由题意得，，证得，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，8； （2）是等腰三角形，理由如下： ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）如图，过点C作轴于点F，延长，过点A作于点D，延长交y轴于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、图形与坐标系、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 21．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为．且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点于点E，求证：． （2）如图2，在等腰直角中，，过点C作直线，过点A作于点D．过点B作于点E．若，则的长为 ． 【方法应用】 （3）如图3，在中，，若，则的面积为 ． 【拓展迁移】 （4）如图4，在中，，以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； （2）同理（1）证明即可得到答案； （3）作于点E，证明即可得到答案； （4）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：6． （3）如图3，过点作于点E，则 ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． （4）的面积为10或4． 理由如下： 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图4，过点作于点，过点D作于点F， ∵，，， ∴，， 同理（1）得：， ∴， ∴； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图5，过点作于点，过点D作于点F， ∵，，， ∴，， 同理（1）得：， ∴， ∴； 综上所述，的面积为10或4． 22．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：由折叠可知 ∵， ∴， ∴． （2） 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在射线上． ③展平纸片，得到折痕． （3）解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕． ③过点再次折叠纸片，使得点落在射线上．展平纸片，得到折痕即为所求． 23．（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“型图”，也有的叫“型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，和均为等边三角形，、是过点的直线上的两动点（D、C、E三点互不重合，直线l在点A、B下方），连接，，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)和全等，证明见解析 (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，，从而得到，进而求解． 【详解】（1）解：，， 又， ， ， 在和中， ， ； （2）和全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中， ， ； （3）为等边三角形， 理由如下：和均为等边三角形， ， 又 由（2）知， 又在等边和等边中， ， 在和中， ， ，， ， ， 为等边三角形． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·月考）阅读下列材料，完成相应任务． 【探究三角形中边与角之间的不等关系】     学习了等腰三角形，我们知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．     如图1，在△中，已知．求证． 证明：如图2，将△折叠，使边落在上，点落在上的点处，折痕交于点．则． ∵________（三角形外角的性质） ∴ ∴（等量代换） 类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题． (1)任务一：将上述证明空白部分补充完整； (2)任务二：上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是________；（填正确选项的代码：单选） A．转化思想    B．方程思想    C．数形结合思想 (3)任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有________（将正确的代码填在横线处：多选）． ①在△中，，则； ②在△中，，，则△是锐角三角形； ③△中，，则最长边是； ④在△中，，，则． 【答案】(1) (2)A (3)②③④ 【分析】（1）根据三角形的外角性质即可判断； （2）根据条件即可判断； （3）根据“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”依次判断即可 【详解】（1）解：∵是的外角， ， 故答案为：； （2）解：根据不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决， 即可判断其主要体现的数学思想是转化法； 故选：A； （3）解：根据“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边” ①在△中，，则，但是不能判断，故错误； ②在△中，， , ， 三个内角均小于， 为锐角三角形，故正确； ③ 中，， ,， 对应的边最长，故正确； ④在△中，，， ， ， ，故正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，转化思想，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【经典例题五 等腰三角形翻折模型】 25．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，把直角边沿过点的某条直线折叠，使点落到边上的一点处，当时，证明． 【答案】见解析 【分析】要证明，因为，所以只要证为等腰三角形，又因为，所以只要证，因为即可证． 【详解】证明：在中， ， ， （等角对等边），即为等腰三角形， 由等腰三角形性质：等腰三角形底边上的高与底边中线重合可得，为的中线， ． 【点睛】本题运用折叠综合考查了等腰三角形的判定和性质，几何证明的技巧在于使用分析法即采用“要证，只要证”的方法，从结论逆向思考原因从而解决问题． 26．（24-25八年级上·福建福州·期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． （1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数； （2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程． 【答案】（1）∠CDF＝40°；（2）∠B＝45°或30°，过程见解析 【分析】（1）根据翻折的性质，得到∠AFE=∠DFE=65°，即可求出∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°，根据直角三角形两个锐角互余的性质即可求出∠CDF的度数； （2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：（1）根据翻折的性质可知：∠DFE＝∠AFE＝65°， ∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∵∠C＝90°， ∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°． （2）∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE， ∴∠FDA∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°， ①如图1：当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B， 得45°+22.5°+x°＝4x°， 解得：x＝22.5．此时∠B＝2x°＝45°； ②如图2：当BD＝BE时，则∠B＝（180﹣4x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得： 45°+22.5°+x°＝2x°+180°﹣4x°， 解得x＝37.5，此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°． ③当DE＝BE时，则， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得，， 此方程无解．∴DE＝BE不成立． 综上所述∠B＝45°或30°． 【点睛】本题考查翻折变换的性质以及等腰三角形的知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质以及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论． 27．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题． 将（）沿折叠，使点C刚好落在边上的点E处．    (1)图1中，，则___________；___________； (2)如图2，若，试说明：． 【答案】(1)2，12 (2)见解析 【分析】（1）根据折叠性质和三角形的面积公式求解即可； （2）由折叠性质和三角形的外角性质证得，，，再根据等角对等边证得，进而可证得结论． 【详解】（1）解：由折叠性质得：，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：2，12； （2）解：由折叠性质得，，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了折叠性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠性质是解答的关键． 28．（24-25七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 29．（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条截线段，将纸片沿折叠，与交于点K，得到．如图2所示： 探究： （1）若，则____________度； （2）改变折痕的位置，请判断始终是什么特殊三角形，并说明理由； 应用： （3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，请求出的大小． 【答案】（1）；（2）始终是等腰三角形，理由见解析；（3）． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出的度数，根据三角形内角和即可求解； （2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出； （3）利用当的面积最小值为时，故得出 本题是四边形综合题，考查矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）始终是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵将纸片沿折叠， ∴， ∴， ∴始终是等腰三角形； （3）如图，当的面积最小值为时，故 ． 30．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？      【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1的探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 【深入探究】 （3）如图3，中，点是上的点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （2）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，根据垂直平分线性质得到，结合三角形内外角关系得到，最后根据三角形三边关系即可得到答案； 【详解】解：（1）；    （2）证明：作线段的中垂线交于，于，连接，   ∵，， ∴，     在中， ∵，     . ； （3）延长至点，使，连接，     ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 即     ， ，     ，， ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线． 【经典例题六 等腰手拉手模型】 31．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么我们把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，且，求证：； (2)如图2，与均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为等腰直角三角形，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的和差，线段的和差，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据角的和差得出，利用证明即可； （2）根据角的和差得出，利用证明，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可； （3）以为边作等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出相等的角和边，利用证明，最后利用角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰三角形，，且， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）解：，理由如下， ∵与都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点B，D，E在同一条直线上， ∴， ∴； （3）证明：如图，以为边作等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点C，E，F三点共线， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 32．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）（1）如图①，在等腰三角形和等腰三角形中，，，，连接，，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”．在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； （2）如图②，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图③，已知△，请完成作图：以，为边分别向外作等边三角形和等边三角形等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】（1），；（2）且，理由见解析；（3）图见解析，，； 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质即可得； （2），，理由：先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得； （3）先根据题意完成作图，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：，； （2），；理由如下： ， ． ． 在和中， ， ，， ， ， 即， ， ， 综上所述：且； （3）解：完成作图如下，，， 和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ； 33．（25-26八年级上·河南新乡·期末）【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． (2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 【答案】(1)①见解析；②，见解析； (2)． 【分析】（1）①如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； ②如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； （2）先根据等边的性质结合三角形的内角和定理和外角的性质推出，再如图，在上截取，连接，易证是等边三角形，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ② 证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴，． ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形全等的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1），， （2），，理由见解析 （3） （4）． 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答即可； （2）同理证明，根据全等三角形的性质解答即可； （3）作交于E点，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，推出，从而证明出，，，最后利用三角形面积公式求解即可； （4）作，使，证明，推出，，连接并延长至点，使，连接，，，证明，得到，，再证明，得到，再证明是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴； 故答案为：，，； （2）解：，；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，； （3）解：如图所示，作交于E点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； （4）解：设， 作，使， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接并延长至点，使，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 35．（25-26八年级上·山东济南·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点D在边上，线段、、之间的关系为______（直接写出结论）； ②如图3，若点D在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系； （2）如图4，等腰中，，，，且交于点D，以为边作等边，直线交直线于点F，连接交于点M，写出、、之间的数量关系，并加以说明． 【答案】问题提出：证明见解析；方法应用：（1）①；②；（2），见解析 【分析】问题提出：根据等边三角形的性质可得，再通过角的转换可得，进而可证明，则可证明； 方法应用：（1）①过点E作，交于点，可证是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而由即可求证；②过点E作，交于点，同理①证明是等边三角形和即可求证； （2）由等边三角形的性质得，，，即得，，进而可得，得到，又由线段垂直平分线的性质得，得到，即得到，在上截取，可得是等边三角形，进而可证，得到，由得，即可求解． 【详解】解：问题提出：∵、都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 方法应用：（1）证明：过点E作，交于点G，如下图： 是等边三角形，， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②过点作，交于点，如下图： 是等边三角形，， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，是等边三角形， ，，， ，， 在中， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 如下图，在上截取， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 。 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 36．（24-25八年级上·江苏南京·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 （1）如图①，，共顶点A，，，，连．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______． 【问题研究】 （2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．    小明同学作法简述如下：如图③，过点P作，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形，过点E作，交b于点B，在a上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点A、B分别在直线a、b上． （3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）    【答案】（1） （2）见解析（3）见解析 【分析】（1）由推导出，则，，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）由，，得，而，，可证明，得，，可证明，所以即为所要求作的等腰直角三角形； （3）作于点F，依次在右侧作出等边和等边，连接交直线a于点I，再连接并延长交直线b于点B，在射线上取一点A，使，连接，即得到所要求作的等边，理由是：先证明，进而证明，得，再推导出，则是等边三角形． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴即为所要求作的等腰直角三角形． （3）如图④， 作法：1．作于点F； 2．以为边在右侧作等边； 3．以为边在上方作等边c； 4．连接交直线a于点I； 5．连接并延长交直线b于点B； 6．在射线上取一点A，连接，使； 7．连接， 就是所要求作的等边三角形． 证明：由作法得和都是等边三角形，， ∴， ∴点P、点H都在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分， ∴IG=IF， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴就是所要求作的等边三角形． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图等知识． 【经典例题七 倍半角等腰模型】 37．（25-26七年级上·山东青岛·期中）定义：一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若等腰是“倍角三角形”，求它顶角的度数． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，设为顶角，分两种情况讨论：①当底角是顶角的2倍时；②当顶角是底角的2倍时；分别计算即可得到答案． 【详解】解：设为顶角， ①当底角是顶角的2倍时：， ∵， ∴， ②当顶角是底角的2倍时：， ∵， ∴， 38．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）中，如果其中一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是“二倍角三角形”． (1)中，，，判断是否是“二倍角三角形”，并说明理由； (2)若直角是“二倍角三角形”，求中两锐角的度数； (3)如图，已知，在射线上作点，连接，使是“二倍角三角形”，且（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)是“二倍角三角形”，证明见解析 (2)、或、 (3)见解析 【分析】（1）根据已知可得，再根据二倍角三角形定义即证得． （2）根据“二倍角三角形”的定义和三角形内角和定理可知另两个内角和是，则两锐角的度数是、或、． （3）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心为半径画弧交于点， 即可得到． 【详解】（1）是“二倍角三角形”，理由如下： ，， ， ，， ， 是“二倍角三角形”； （2）直角是“二倍角三角形”， 两锐角的度数分别是、或、； （3）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心为半径画弧交于点， 如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了二倍角三角形的定义、三角形内角和定理、线段的垂直平分线． 39．（25-26八年级下·广西南宁·月考）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． (1)如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形； (2)如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形； (3)如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由； (4)【解决问题】 如图④，在中，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，结合题意，等腰三角形的判定方法即可求解； （2）根据等边对等角得到，再根据三角形的外角，结合题意，等腰三角形的判定方法即可求解； （3）由角的和差关系得到，结合等腰三角形的判定即可求解； （4）延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，证明，得到为等边三角形，，结合角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）证明：如图④，延长至点H，使，取的中点E，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰（边）三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 40．（25-26八年级上·浙江台州·期中）据以下素材，探索解决问题． 如何作出“倍角三角形” 素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形” 问题解决 任务一 尺规作图：如图，中，，，请用直尺和圆规将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数． 任务二 已知是“倍角三角形”中最大的内角，并且是其中一个内角的两倍，试确定的取值范围，并说明理由． 任务三 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，延长到点，使得，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 【答案】任务一：见解析；任务二：，理由见解析；任务三：和是倍角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查三角形的内角和，角平分线的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，理解所给定义，并通过三角形的内角、外角的计算找到对应角的关系是解题关键． 任务一：根据等边对等角，计算得到，因此通过尺规作图和等边对等角 ，作出，得即可； 任务二：根据定义，用表示三角形中另外两个角，再根据是三角形中最大的角构造不等式求解即可； 任务三：通过角平分线找到相等角，再根据题中条件得到全等三角形，从而利用全等三角形找到线段与角的等量关系，再利用线段和差找到相等线段，利用等边对等角确定角度关系，从而找到倍角三角形． 【详解】任务一：解：作边的垂直平分线交于点，则是“倍角三角形”，如图所示，作法不唯一，合理即可， 任务二： 解：是“倍角三角形”中最大的内角，并且是其中的一个倍角， 由定义可知，另一个倍角为， 第三个内角是， 是最大的内角， ，， ． 任务三：解：和是倍角三角形， 证明如下： 平分， ， ，， ， ，． 又， ，即． ． ． 是倍角三角形． ， ， ， ， ． 是倍角三角形． 41．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)②③； (2)①见解析；②或或19°或． 【分析】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③． （2）①证明：， ， ∵将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”； ②解：由①可得， 如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是“倍角三角形”， 或或或， 当时，， ； 当时，， ； 当时， ∵ ∴， ， ； 当时， ∵ ， ， ． 综上所述：或或19°或． 42．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）定义：若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为Ⅰ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为Ⅱ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的3倍，称此三角形为Ⅲ类美丽三角形； Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形合称为美丽三角形． 如图1中的中，，则是Ⅰ类美丽三角形； 如图2中的中，，则是Ⅱ类美丽三角形； 如图3中的中，，则是Ⅲ类美丽三角形； 结论1：美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形． （1）请在图1、2、3中分别用尺规作图作出分割线（不要求写作法，保留作图痕迹），并用字母表示出相等的边． （2）如图4，一个含有和角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形，图5就是其中的一种拼法．请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数．（每边只能使用一次） 结论2：如果过一个等腰三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形称为特美丽三角形． （3）请画出所有特美丽三角形，并画出分割线、标出图中相等的角并写出特美丽三角形顶角的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查作图应用与设计，等腰三角形的判定和性质，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据美丽三角形的定义，画出分割线即可； （2）根据Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形的定义，画出三角形即可； （3）根据特美丽三角形的定义，分四种情形，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）分割线如图所示：图1中，，；图2中，，；图3中．，； （2）拼接的三角形如图所示： （3）①如图，中，，，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． ②如图中，中，，， ，， ， ， ， ． ③如图中，中，，， ，， ，， ， ， ， ， ． ④如图中，中，，，， 假设，， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，满足条件的顶角的度数为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰三角形常考几何模型专训（7大题型） 题型一 三线合一模型 题型二 等边三角形模型（特殊等腰） 题型三 等腰三角形 “外角平分” 模型 题型四 一线三等角模型（K 字模型） 题型五 等腰三角形翻折模型 题型六 等腰手拉手模型 题型七 倍半角等腰模型 【经典例题一 三线合一模型】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，，，，．求证：． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长交的延长线于点．点是的中点，连接． 求证： (1)； (2)． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平： 在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们的方法对吗？为什么？ 4．（25-26七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：． 5．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，小明想测量塔高的长度，如下是他的测量步骤（小明的身高忽略不计，且塔楼不阻碍通行）； ①选取塔的顶端作为参照点A； ②地面直线l上取测量点C，在C处用工具测得； ③沿射线的方向行走至测量点D，点D和点C在塔的两侧并在D处用工具测得； ④测得行走距离米． 【解决问题】请你根据小明的测量步骤，求出塔高的长度． 6．（25-26八年级上·河北保定·期末）【方案设计】为测量阜平滨河公园的某处池塘两端，的距离（无法直接测量），同学们进行了方案设计．（所涉及的点均在同一平面内） 【方案提出】甲：如图，①在平地上取一个可以直接到达点，的点； ②连接，，并分别延长到点，，使； ③连接，测出的长即可． （1）求证：； 【交流反思】（2）乙提出另一种方案：如图，先确定直线，过点作射线，在射线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可，则乙同学确定的依据可以是___________（填序号即可） ①等边对等角②等角对等边③等腰三角形“三线合一” 【经典例题二 等边三角形模型（特殊等腰）】 7．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如下图，为等边三角形内的一点，它到三边，，的距离分别为，，，的高，则与，，之间有何数量关系？写出你的猜想并加以证明． 8．（江苏徐州市第三十三中学等校2025—2026学年度第二学期期中检测七年级数学试题）将绕着点O顺时针旋转得到，． (1)求和的度数； (2)连接，则是一个________三角形． 9．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期末）如图①，是线段上一点，与是等边三角形（三边相等，三个角都为的三角形）． (1)请你判断：与相等吗？并说明理由； (2)如图②，若绕点旋转一定角度，（1）中的结论还成立吗？ 10．（25-26七年级下·四川·期中）已知为等边三角形(三边相等、三个角为)，与分别为，上一点． (1)如图1，，分别为中点，取中点，连接，，，证明：； (2)如图2，，线段上取一点，使得，连接，，，证明：； (3)如图3，，以为边作等边三角形，连接，证明：平分．(辅助知识点：等腰三角形底角相等) 11．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在等边三角形中，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)①若点在线段上（不与端点重合），过点作交于点，连接，连接并延长交于点，依题意补全图形，并求的度数； ②连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段的延长线上，过点作交的延长线于点，连接，连接并延长交于，连接，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 12．（25-26七年级下·江苏南京·期中）旋转是一种美丽且浪漫的变化，下面就请你在作图中感受它的魅力吧． (1)如图1，线段绕点O顺时针旋转一定的角度得到对应线段，则 ； ． (2)如图2，已知圆A和点O，请用直尺与圆规画出圆A绕点O顺时针旋转后的对应圆． (3)通过（1）的作图可知：若点P在上运动，则绕点O顺时针旋转后的则在对应线段上作关联运动（如图3），利用此规律尝试下列作图： ①如图4，已知点C是内部一点，分别在射线上作点P、Q使得为等边三角形，小明已作出等边，请你用直尺和圆规帮助小明在射线上画出符合题意的点Q． ②小明得到你的帮助以后又有了新的思考，如图5，如果点P在射线上，点Q在圆B上，又该怎么作等边呢，请你继续帮助小明画出等边． 【经典例题三 等腰三角形 “外角平分” 模型】 13．（24-25八年级下·陕西西安·月考）在中，，过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接．求证：为等腰三角形． 14．（25-26八年级上·江苏南京·月考）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． (1)如图1，已知平分，．求证：是等腰三角形； (2)如图2，已知在中，，平分的外角．求证：． 15．（24-25八年级上·新疆·期末）（1）【课本再现】课本习题13.3中有这样一道题，如图1，，平分，求证． （2）【类比分析】小文同学发现，当角平分线与平行线结合，可以得到等腰三角形，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系． 请用小文的发现解决问题： 如图2，在中，，点D在上，、分别平分，，线段与、有什么数量关系？请说明理由； （3）【学以致用】如图3，D在外，，且平分，平分，过点D作分别交、于E、F两点，直接写出线段与、数量关系为． 16．（24-25八年级上·吉林松原·期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形． (1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分的形状是_______． (2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交于点，试探究线段之间的数量关系并说明理由； (3)【拓展提升】如图4，四边形中，为边的中点，平分，连接，求证：． 17．（24-25八年级下·山西运城·期中）阅读下列材料回答下列问题： 知二推一模型 在几何图形中，有三种图形往往同时出现在同一图形中，哪三种图形呢？就是平行线、角平分线、等腰三角形，三者关系十分密切，几乎形影不离．在解决问题的过程中平行线、角平分线、等腰三角形这三个条件中只要已知其中任意两个，就能推导出第三个． 例如第一种情况，已知：如图1，，是的平分线，求证：是等腰三角形． 证明： ． 是的平分线 ． 是等腰三角形（依据） 第二种情况：……第三种情况：…… 在解决问题的过程中，我们也可以通过添加辅助线的方法构造知二推一模型来解决问题． (1)以上证明过程中，依据是： ； (2)请你参照上面的第一种情况的证明过程，从其余两种情况中选择一种画出图形，写出已知、求证，并进行证明； (3)根据阅读材料解决下列问题：如图2，在中，是的角平分线，点是边上的一点，连接．若，，，则的长为 ． 18．（2025·河南三门峡·一模）数学老师在给同学们讲完下面例题后，告诉同学们，知道平行线、角平分线和等腰三角形中的任意两个条件，可证明第三个条件成立． 如图，已知，BD平分∠ABC，可证：． 受此启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法． (1)请你帮她完善下面作图步骤： 已知：如图，． 求作：的平分线OP． 作法：①在OA上任取一点C； ②在内作，使； ③在CD上截取______； ④作射线OP，射线OP即为所求． (2)补全上面作图．（保留作图痕迹） (3)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请结合（2）的图形将已知补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，C是边OA上任意一点，，P是CD上的点，且___=______，作射线OP．求证：OP平分． 【经典例题四 一线三等角模型（K 字模型）】 19．（24-25七年级下·福建泉州·期末）好学的小安同学习惯超前学习，他知道等腰三角形有一个重要性质：“等边对等角”．即“在中，若，则”．请你运用这个知识解决下面问题： 如图1，将正方形的边绕点逆时针时针旋转至，旋转角为，连接，点线段延长线上一点．    (1)当时，则__________度； (2)如图2，将绕点顺时针旋转得到，求证：三点在同一条直线上． 20．（25-26八年级上·河南周口·期末）【阅读理解】 “一线三等角”是几何学中的一个重要模型，通常指在一条直线上存在三个等角顶点（如三个直角或三个角），进而通过全等三角形来推导线段之间的关系。如图1，B，C，D三点共线，，，易得，． 【初步应用】 （1）如图2，在中，，点E在边上，的垂直平分线交于点D，若，，则______，______； 【拓展应用】 （2）如图3，D，A，E三点都在直线m上，F为的平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （3）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点，，请直接写出点A的坐标． 21．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为．且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点于点E，求证：． （2）如图2，在等腰直角中，，过点C作直线，过点A作于点D．过点B作于点E．若，则的长为 ． 【方法应用】 （3）如图3，在中，，若，则的面积为 ． 【拓展迁移】 （4）如图4，在中，，以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 22．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 23．（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“型图”，也有的叫“型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，和均为等边三角形，、是过点的直线上的两动点（D、C、E三点互不重合，直线l在点A、B下方），连接，，若，试判断的形状，并说明理由． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·月考）阅读下列材料，完成相应任务． 【探究三角形中边与角之间的不等关系】     学习了等腰三角形，我们知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．     如图1，在△中，已知．求证． 证明：如图2，将△折叠，使边落在上，点落在上的点处，折痕交于点．则． ∵________（三角形外角的性质） ∴ ∴（等量代换） 类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题． (1)任务一：将上述证明空白部分补充完整； (2)任务二：上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是________；（填正确选项的代码：单选） A．转化思想    B．方程思想    C．数形结合思想 (3)任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有________（将正确的代码填在横线处：多选）． ①在△中，，则； ②在△中，，，则△是锐角三角形； ③△中，，则最长边是； ④在△中，，，则． 【经典例题五 等腰三角形翻折模型】 25．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，把直角边沿过点的某条直线折叠，使点落到边上的一点处，当时，证明． 26．（24-25八年级上·福建福州·期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． （1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数； （2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程． 27．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题． 将（）沿折叠，使点C刚好落在边上的点E处．    (1)图1中，，则___________；___________； (2)如图2，若，试说明：． 28．（24-25七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 29．（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条截线段，将纸片沿折叠，与交于点K，得到．如图2所示： 探究： （1）若，则____________度； （2）改变折痕的位置，请判断始终是什么特殊三角形，并说明理由； 应用： （3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，请求出的大小． 30．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？      【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1的探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 【深入探究】 （3）如图3，中，点是上的点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 【经典例题六 等腰手拉手模型】 31．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么我们把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，且，求证：； (2)如图2，与均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为等腰直角三角形，，求证：． 32．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）（1）如图①，在等腰三角形和等腰三角形中，，，，连接，，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”．在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； （2）如图②，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图③，已知△，请完成作图：以，为边分别向外作等边三角形和等边三角形等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 33．（25-26八年级上·河南新乡·期末）【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． (2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 35．（25-26八年级上·山东济南·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点D在边上，线段、、之间的关系为______（直接写出结论）； ②如图3，若点D在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系； （2）如图4，等腰中，，，，且交于点D，以为边作等边，直线交直线于点F，连接交于点M，写出、、之间的数量关系，并加以说明． 36．（24-25八年级上·江苏南京·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 （1）如图①，，共顶点A，，，，连．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______． 【问题研究】 （2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．    小明同学作法简述如下：如图③，过点P作，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形，过点E作，交b于点B，在a上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点A、B分别在直线a、b上． （3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）    【经典例题七 倍半角等腰模型】 37．（25-26七年级上·山东青岛·期中）定义：一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若等腰是“倍角三角形”，求它顶角的度数． 38．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）中，如果其中一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是“二倍角三角形”． (1)中，，，判断是否是“二倍角三角形”，并说明理由； (2)若直角是“二倍角三角形”，求中两锐角的度数； (3)如图，已知，在射线上作点，连接，使是“二倍角三角形”，且（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 39．（25-26八年级下·广西南宁·月考）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． (1)如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形； (2)如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形； (3)如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由； (4)【解决问题】 如图④，在中，，求证：． 40．（25-26八年级上·浙江台州·期中）据以下素材，探索解决问题． 如何作出“倍角三角形” 素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形” 问题解决 任务一 尺规作图：如图，中，，，请用直尺和圆规将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数． 任务二 已知是“倍角三角形”中最大的内角，并且是其中一个内角的两倍，试确定的取值范围，并说明理由． 任务三 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，延长到点，使得，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 41．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 42．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）定义：若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为Ⅰ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为Ⅱ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的3倍，称此三角形为Ⅲ类美丽三角形； Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形合称为美丽三角形． 如图1中的中，，则是Ⅰ类美丽三角形； 如图2中的中，，则是Ⅱ类美丽三角形； 如图3中的中，，则是Ⅲ类美丽三角形； 结论1：美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形． （1）请在图1、2、3中分别用尺规作图作出分割线（不要求写作法，保留作图痕迹），并用字母表示出相等的边． （2）如图4，一个含有和角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形，图5就是其中的一种拼法．请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数．（每边只能使用一次） 结论2：如果过一个等腰三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形称为特美丽三角形． （3）请画出所有特美丽三角形，并画出分割线、标出图中相等的角并写出特美丽三角形顶角的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $