精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高三年级下学期模拟预测数学试卷

数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67，73，76，81，85，88，89，92，则这组数据的中位数为（ ） A. 81 B. 83 C. 84 D. 85 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的概念求解即可. 【详解】由题意可得该组数据的中位数为. 2. 设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，故 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，所以， 所以. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 5. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知：， 由余弦定理可得， 所以甲船到达处需要的时间为小时. 6. 已知是抛物线上不同的点，点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 抛物线方程，则，焦点，即焦点为，准线为， 由焦半径公式可知，抛物线上任意一点，到焦点的距离： ， 设，则向量， 已知，由向量加法的坐标运算得： ，则，解得， 由焦半径公式， ． 7. 已知数列满足，，，其中表示不超过的最大整数．若，则（ ） A. 44 B. 45 C. 46 D. 47 【答案】B 【解析】 【分析】通过取整函数的性质化简递推关系，再根据隔项成等差分别求出奇偶项的通项公式， 最后分情况代入条件列方程求解. 【详解】设 ，当 时， 当 时，， 当 时，. ，由 及 ，两式相减得：， 又 ，由 得 ， 当 为奇数时，设 ，则， 当 为偶数时，设 ，则， 由题设 ， 若 为奇数，则 ，， ， 若 为偶数，则 ，， ，无整数解， . 8. 对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性和有界性分析等式恒成立的条件，并构造函数结合函数单调性进行判断. 【详解】命题①，若是函数，根据定义得， 展开整理得对任意恒成立，因此系数必全为.   ，由得，因此. 当时，； 当时，，得，这也满足条件，例如时， 成立. 命题①只给出，遗漏了的情况，因此①是假命题. 命题②，构造指数函数， 验证函数条件，只需满足， 取，则，是严格增函数， 且，满足函数定义，存在严格增的函数； 取，则，是严格减函数， 且，满足函数定义，存在严格减的函数. 因此②是真命题. 综上，①假②真. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误. 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由或，所以B错误. 由可知当时， 且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确. 当，为偶数时， 可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 时，取得最大值 B. 时，取得极大值 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】通过导函数图象，确定函数的单调区间，再结合选项逐个判断即可. 【详解】由导函数图象可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 选项A：因为 在上单调递增，且，因此在 处取不到最大值，A错误， 选项B：左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减， 且，因此 时 取得极大值，B正确， 选项C：由 ，且  在 单调递增，可得 ，C正确， 选项D：在单调递增，因此 ，故不成立，D错误. 11. 已知二次曲线表示一个椭圆，则（ ） A. 的对称中心为 B. 上的点到原点距离的取值范围是 C. 当点在上时， D. 的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对称性定义计算可判断A；令，由代入化简可得，计算可判断B；将曲线看作关于的方程，由判别式列不等式计算可判断C；先证明旋转公式，再将原方程标准化，计算判断D即可. 【详解】对于A，设是二次曲线上任意一点， 将代入二次曲线， 化简可得，所以在二次曲线上， 则二次曲线的对称中心为，故A正确； 对于B，令，则， 因为，得， 所以，解得，即， 所以二次曲线上的点到原点距离的取值范围是，故B错误； 对于C，将曲线方程视为关于的方程， 因为为实数，所以， 解得，当点在二次曲线上时， 可得，故C正确； 对于D，先推理旋转公式，记平面内点在角的终边上，则， 而绕原点顺时针旋转一个锐角，可得旋转后的坐标为， 由正余弦的和差公式得旋转后的坐标如下， 为， 又， 所以，即旋转公式得证， 将原方程化为标准方程，而其旋转角为， 旋转后整理方程令交叉项系数为0，可得， 而，解得，设， 代入曲线，化简可得， 故二次曲线可以看作由椭圆绕坐标原点逆时针旋转得到， 如图所示，作出符合题意的图形， 在椭圆中， 故二次曲线的离心率为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 13. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求得，得到的单调区间和极小值为，令，求得或，画出的大致图象，根据题意，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可得函数的极小值为， 令，即，可得，解得或， 函数的大致图象，如图所示， 要使得函数在区间上有最小值， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为. 14. 金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）． 【答案】23 【解析】 【分析】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块，把四面进行极限倾斜相交分析求解. 【详解】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块， 把四面进行极限倾斜相交，如图所示， 在倾斜的过程中，在不管底面的情况下，个侧面在顶点以下的“水平范围”内最多可以切割出个空间，与没有倾斜极限的情况一样， 多出来的空间是交叉的切割出来的空间， 在空间上是对称的，四个倾斜的侧面在空间中的延伸还是这样的倾斜侧面， 如图所示的对称的锥面同样会切割出个空间， 即顶点之上的个延伸的倾斜的面同样会切割出个空间， 但是四个空间和下面的四个倾斜的侧面切出的是同一个， 即标记“×”的位置， 所以在的基础上加减，即结果是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于把四面进行极限倾斜相交分析. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. 【小问2详解】 由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 16. 已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果； （Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为，所以， 设切点为，则，即，所以切点为， 由点斜式可得切线方程为：，即. （Ⅱ）[方法一]：导数法 显然，因为在点处的切线方程为：， 令，得，令，得， 所以， 不妨设时，结果一样， 则， 所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得极小值， 也是最小值为. [方法二]【最优解】：换元加导数法 ． 因为为偶函数，不妨设，， 令，则． 令，则面积为，只需求出的最小值． ． 因为，所以令，得． 随着a的变化，的变化情况如下表： a 0 减 极小值 增 所以． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法 同方法二，只需求出的最小值． 令， 当且仅当，即时取等号． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法 同方法一得到 ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高. 17. 贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学家卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论.如图所示，抛物线，其中为一给定的实数. （1）若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值； （2）如图，A，B，C是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，即可求解； （2）设，，，，， 设抛物线在A点处的切线方程为，与抛物线联立利用 解得，故切线方程为，即， 同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为： ，，将切线方程联立得同理可得，，利用弦长公式即可得解. 【小问1详解】 将代入， 化简得（）， 方程（）的判别式， 化简得，解得； 【小问2详解】 设，，，，， 设抛物线在A点处的切线方程为， 由，消去y并化简得， ， ，， 解得，故切线方程为， ，，，即， 同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为： ，， 联立，解得，即， 同理可得，， 因为， ， ， 所以. 18. 如图，正方体的棱长为2，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点. （1）若，，分别是棱，，的中点，求棱和平面所成角的余弦值； （2）求的最大值； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以正方体的中心为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，，，由向量模的坐标表示，求得，进而的其最大值. （3）记，由（2）及均值不等式，得到，进而求得 ，结合正弦函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：以正方体的中心为原点，以的方向分别为轴,和轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量，则， 取，则，，所以， 可得， 所以棱和平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 解由（1）中的空间直角坐标系， 可设，，， 记，，，则（） （其中） 注意到 所以 故当时，取到最大值. 【小问3详解】 解：记，即求的最小值. 由（2）及均值不等式，可得， 所以 所以 所以当时，取到最小值. 19. 2026年马年春晚《武》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． （1）当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望； （2）设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 【答案】（1）分布列为： 2 3 0.52 0.48 期望为. （2）①，，，赛制对机器人更有利 ②随着k的增大，机器人获胜的可能性变大，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出概率，列出分布列，求期望即可； （2）①分别列出获胜各种情况的概率求和即可计算，比较大小即可分析得出结论；②求出的大小，再分析与的关系，即可证明. 【小问1详解】 当时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为， ， , 所以X的分布列为： 2 3 0.52 0.48 【小问2详解】 ①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为， 由题可知为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：或， 所以， 为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：或或， ， 所以， 所以时，局胜制对机器人更有利. ②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大. 证明如下： 由①可知，， 下面讨论局与前局的递推关系： （i)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为，即. （ii)若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为，即. （iii）若前局中机器人至少赢了局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 其获胜概率为. ， ， ，，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67，73，76，81，85，88，89，92，则这组数据的中位数为（ ） A. 81 B. 83 C. 84 D. 85 2. 设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 6. 已知是抛物线上不同的点，点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，，其中表示不超过的最大整数．若，则（ ） A. 44 B. 45 C. 46 D. 47 8. 对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 时，取得最大值 B. 时，取得极大值 C. D. 11. 已知二次曲线表示一个椭圆，则（ ） A. 的对称中心为 B. 上的点到原点距离的取值范围是 C. 当点在上时， D. 的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______． 14. 金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 17. 贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学家卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论.如图所示，抛物线，其中为一给定的实数. （1）若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值； （2）如图，A，B，C是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：. 18. 如图，正方体的棱长为2，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点. （1）若，，分别是棱，，的中点，求棱和平面所成角的余弦值； （2）求的最大值； （3）求的最小值. 19. 2026年马年春晚《武》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． （1）当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望； （2）设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $