精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年高二下数学5月数学练习

上海市曹杨第二中学2025-2026学年高二下数学5月数学练习 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知数据，，，，的方差为1，则数据，，，，的方差为________． 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则________． 3. 样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第75百分位数为________． 4. 函数的导数是________． 5. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条. 6. 若随机变量的分布为，则的期望为________． 7. 现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 8. 盒子中有大小与质地相同的3个红球和5个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球2个，再从盒子中取1个球，则第二次取出的球是白色的概率为________． 9. 一个箱子里有5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，若有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为，则________． 10. 设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 11. 已知曲线：，有下列说法：①曲线是中心对称图形；②曲线有且仅有4条对称轴；③过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数；④曲线所围成的封闭图形的面积满足．其中正确的为________（写出所有正确说法的序号）． 12. 设，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. “中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（ ） A. 通过调查获取数据 B. 通过试验获取数据 C. 通过观察获取数据 D. 通过查询获得数据 14. 已知事件，满足，，则（ ）． A. 事件，相互独立 B. 事件，互斥 C. D. 15. 设，，则函数的极值点的个数情况可能为（ ）． A. 没有极值点 B. 有无穷多个极值点 C. 有且仅有2026个极值点 D. 有且仅有2027个极值点 16. 已知曲线Γ的对称中心为O，如果对于曲线Γ上的任意一点A，都存在Γ上另外的两点B、C，使得的垂心为O，则称Γ为“自垂曲线”．现有如下两个命题：①任意双曲线都是“自垂曲线”；②任意椭圆都是“自垂曲线”．则下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：； （2）设与底面ABC所成角的大小为，求三棱锥的体积． 18. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 19. 设正方体的棱长为1，记该正方体的8个顶点构成集合． （1）从集合中有放回地随机抽取两个点、，令随机变量为向量模长的平方，求的分布及期望； （2）从集合中随机抽取四个不同的点、、、，设事件：，事件：，求和． 20. 已知，分别是双曲线：的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为． （1）设，求双曲线的离心率和渐近线的方程； （2）设，是上一点，若线段与双曲线交于点，满足，求点的坐标； （3）设，过作两条互相垂直的直线与双曲线交于、两点（在第一象限），若直线分别与交于两点，且与的面积分别为，满足，求直线的方程． 21. 已知，，，． （1）若，，，求不等式的解集； （2）若，，存在，使得函数有三个零点，，（），且，，成等差数列，求的值； （3）若，，，数列，满足，．与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市曹杨第二中学2025-2026学年高二下数学5月数学练习 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知数据，，，，的方差为1，则数据，，，，的方差为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据方差的性质计算即可. 【详解】因为数据，，，，的方差为1， 所以数据，，，，的方差为. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则________． 【答案】0.2## 【解析】 【详解】可知，即， 由，可得， 所以. 3. 样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第75百分位数为________． 【答案】5 【解析】 【详解】显然该组数据是按照从小到大排列，且共有个数据， 因为， 所以这组数据的第75百分位数为第九个数据，即为5. 4. 函数的导数是________． 【答案】 【解析】 【详解】令，则 ， 对关于求导得； 对关于求导得 . 根据链式法则得. 5. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条. 【答案】3 【解析】 【分析】利用异面直线的判定定理判断即可. 【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面， 由图可知九条棱中，，，，，与相交， 没有直线与平行， 所以与直线是异面直线的共有3条，分别为，，， 故答案为：3 6. 若随机变量的分布为，则的期望为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的分布为，所以，解得， . 7. 现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 【答案】6 【解析】 【分析】计算混合数据的平均数，计算混合数据的方差. 【详解】设甲组数据为，乙组数据为， 甲组平均数，乙组平均数， 混合后的平均数：， 甲组方差， 乙组方差， ， . 8. 盒子中有大小与质地相同的3个红球和5个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球2个，再从盒子中取1个球，则第二次取出的球是白色的概率为________． 【答案】##0.625 【解析】 【分析】根据全概率公式求解可得. 【详解】设事件为“第一次抽到白球”，事件为“第二次抽到白球”， 则，所以， 由题可得，，，， 所以. 9. 一个箱子里有5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，若有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意共有种，符合题意为3次取球中仅有2种编号的球， 【详解】根据题意至少取出一次的球的个数为2，即3次取球中仅有2种编号的球， 首先取3次球，总共有种， 在1～5编号中选2个编号共有种， 2个编号可重复安排到3个位置共有，只出现一个编号的有2种， 所以. 10. 设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解即可. 【详解】关于的方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根. 所以的图象与函数的图象有两个交点. 的图象恒过定点，且直线的斜率，作出的图象，如图所示. 当直线经过点时，直线与的图象恰好有两个交点，此时直线的斜率. 当直线与半圆相切于点时，此时圆心到直线的距离 ，解得. 由图象可得，当直线的斜率由逐渐增大到时，此时直线与半圆始终有两个交点，符合题意，故的取值范围是. 11. 已知曲线：，有下列说法：①曲线是中心对称图形；②曲线有且仅有4条对称轴；③过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数；④曲线所围成的封闭图形的面积满足．其中正确的为________（写出所有正确说法的序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】①利用点的对称性判断；②画出图象，数形结合；③计算直线与曲线的交点个数；④比较封闭图形与以及以为顶点构成的正方形的关系可得. 【详解】若点在曲线上，即 ， 则 ， 则也在曲线上，即曲线关于原点对称， 故曲线是中心对称图形，则①正确； 同理可知，点也在曲线上， 故曲线关于轴，轴，对称， 因为 ，所以或， 即或或或， 其图象如图： 由双曲线的对称性结合图象可知，曲线共有条对称轴，故②错误； 联立，得，则， 若，则，方程有个不等根；若，则，方程无实数根； 联立，得，则， 若，则，方程有个相等根；若，则，方程有个不等根； 故直线与曲线共有个交点，故③错误； 联立，得，得， 故曲线与相切，故曲线所围成的封闭图形的面积； 联立，得，，故它们相切； 故封闭图形在以为顶点构成的正方形内部，则， 综上，曲线所围成的封闭图形的面积满足，故④正确. 12. 设，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】引入函数，，函数的图象是过的直线，由导数确定的单调性、极值，过作的切线，求出切点的横坐标，确定满足题意的的可能取值，列出不等式组求解． 【详解】设，， 则由题意可知，存在唯一的整数，满足． ∵， ∴当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴的最小值为， 又函数的是过定点的直线， 过曲线的切线，切点为， 则，解得或， ， 因此存在唯一的整数，满足，则或， ∴，或， 即或， 解得或， 故实数的取值范围为． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. “中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（ ） A. 通过调查获取数据 B. 通过试验获取数据 C. 通过观察获取数据 D. 通过查询获得数据 【答案】C 【解析】 【分析】根据获取数据的途径判断即可. 【详解】“中国天眼”主要是通过观察获取数据. 故选：C. 14. 已知事件，满足，，则（ ）． A. 事件，相互独立 B. 事件，互斥 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，则， 则，故事件，相互独立，故A正确； 因为，所以事件，不互斥，故B错误； 题中未给出的值，故， 均未知，故CD错误. 15. 设，，则函数的极值点的个数情况可能为（ ）． A. 没有极值点 B. 有无穷多个极值点 C. 有且仅有2026个极值点 D. 有且仅有2027个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，然后令导数为0，将问题转化为两个函数图像的交点问题，通过分析交点个数来确定极值点的个数． 【详解】对求导，可得 ， 令，即， 那么的极值点个数就等于的变号零点个数， 当时， ，且在两侧导数符号不同， 所以此时有1个极值点； 当时，与都是奇函数，图像关于原点对称， 是周期函数，是过原点的直线，随着的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图像的交点（交点左右两侧函数值大小关系不同）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为除了原点外其它交点关于原点对称）， 所以该函数可能恰有2027个极值点． 16. 已知曲线Γ的对称中心为O，如果对于曲线Γ上的任意一点A，都存在Γ上另外的两点B、C，使得的垂心为O，则称Γ为“自垂曲线”．现有如下两个命题：①任意双曲线都是“自垂曲线”；②任意椭圆都是“自垂曲线”．则下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据自垂曲线的概念，结合双曲线、椭圆的几何性质，判断对于曲线上的任意点A，若存在点B和点C满足题意条件，则有借助于圆锥曲线的参数方程可构造出各点的坐标，再验证各点是否在曲线上，从而判断出双曲线和椭圆是否是自垂曲线，从而得出答案. 【详解】对于命题①，设双曲线方程为，因为，所以可令（为参数且），则， 则双曲线上任意一点的坐标为， 又因为O是的垂心，则有 则可取方向向量， 方向向量, 则，， 将点B和点C满代入双曲线得，，，故点都不满足要求，故双曲线不是自垂曲线，故命题①不正确. 命题②，设椭圆方程为，因为，可令（为参数），则， 则椭圆上任意一点的坐标为， 又因为O是的垂心， 则可取方向向量， 方向向量 则， 将点B和点C满代入双曲线得，， ，故点都满足要求，所以椭圆是自垂曲线。 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是会利用双曲线和椭圆的参数方程结合向量知识，构造出点的坐标，再代入曲线加以验证即可得出结论. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：； （2）设与底面ABC所成角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由证出，再由线面垂直的性质得出， 然后根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）由为与底面ABC所成角求出棱柱的高，再由等体积法求体积即可. 【小问1详解】 ，，， ， ， 又直三棱柱中，平面， 平面，， 又，平面， 平面， 平面，. 【小问2详解】 平面， 在平面上的射影为，即为与底面ABC所成角， ，， . 18. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】（1）30人 （2）①3人，2人，1人；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数； （2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率； 【小问1详解】 设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． 【小问2详解】 ①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ， ， ，， ， ， ，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 19. 设正方体的棱长为1，记该正方体的8个顶点构成集合． （1）从集合中有放回地随机抽取两个点、，令随机变量为向量模长的平方，求的分布及期望； （2）从集合中随机抽取四个不同的点、、、，设事件：，事件：，求和． 【答案】（1）分布列为 0 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）可取，分别求解概率即可得出分布列，再根据期望公式计算即可； （2）由题意分别求得，根据古典概型概率公式及条件概率公式即可求解． 【小问1详解】 由题可知，，可取， 则， ， ， ， 则的分布为 0 1 2 3 则． 【小问2详解】 由题可知，满足的情况共有种（即12条棱,且与不同）， 再从剩下6个点中取2个点作为，由种， 则， 则， 分析满足的情况：①若， 先选取正方体的一条棱作为，共有种不同选法， 再从剩下的棱中选取一条棱作为，共有种不同选法， 所以此种情况共有种情况； ②若，若选取作为，则只能是，有2种选法， 因为共有条面对角线，即共有种情况， 所以此种情况共有种情况； 所以， 所以； 由上述可知，（即分类①）， 所以． 20. 已知，分别是双曲线：的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为． （1）设，求双曲线的离心率和渐近线的方程； （2）设，是上一点，若线段与双曲线交于点，满足，求点的坐标； （3）设，过作两条互相垂直的直线与双曲线交于、两点（在第一象限），若直线分别与交于两点，且与的面积分别为，满足，求直线的方程． 【答案】（1）离心率为，为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的基本性质即可求解； （2）设，由，可得，代入双曲线方程，即可求解； （3）由题意，联立方程分别求得各点坐标，表示出，即可求得. 【小问1详解】 由题意，双曲线：，，则， 所以， 所以离心率为，渐近线为． 【小问2详解】 由题意，，，所以 ，即的坐标为， 则渐近线为， 设，由，则的坐标为， 又点在双曲线上，则 ，解得， 所以点的坐标为． 【小问3详解】 当时，双曲线：， 设直线，． 因为在第一象限，所以． 联立，得 ， 所以点的坐标为， 同理点的坐标为． 联立，解得点的坐标为， 同理点的坐标为． 所以的面积为， 的面积为． 又，则，解得(负值舍去)． 所以直线的方程为． 21. 已知，，，． （1）若，，，求不等式的解集； （2）若，，存在，使得函数有三个零点，，（），且，，成等差数列，求的值； （3）若，，，数列，满足，．与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）代入得，两边取以3为底的对数，解集为 ； （2）由 知0是零点，分零点为或、、三个零点都不是0三种情况讨论，结合等差数列设根，代入方程求解； （3）公共项即，假设存在连续三项成等比，得 ，构造函数 ，证其无正整数零点. 【小问1详解】 代入得，不等式即， 两边取以为底的对数得. 因此不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得， 所以0是函数的一个零点． ①若或，，，可以记作：，，， 满足解得或（舍去）， 即，，所以． ②若，，，可以记作，0，， 满足解得（舍去）． ③假设的三个零点都不包含0，考虑． 令，． 令 ，． 极大值 而，， ， 由零点存在性定理知，存在唯一的，使得． 可得 极大值 而在时，，在时，． 说明函数的图像与平行于的直线至多只有2个公共点． 因此三个零点中必然有一个为0． 综上，． 【小问3详解】 由于，则，， 因为中的每一项都是整数，此时一定是整数， 对于任意正整数，令，则是正整数. 因为 且 ，而是单射，所以， 因此中任意一项均为中的项. 反之，中可能还有其他非整数项，则公共项正是本身. 而函数在为严格增函数， 所以若存在，，成等比数列，一定满足． 代入表达式，求出． 令，，，， 函数在为严格增函数， 即无符合要求的正整数解． 所以不存在中连续三项构成等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $