18.2.1 菱形的性质同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 本同步练习按A基础达标、B能力提升、C综合与实践分层设计，梯度清晰，覆盖菱形性质从基础应用到综合实践的巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|菱形性质（对角线、角度、面积等）|单选、填空、解答题结合，聚焦概念理解与基础运算，培养几何直观| |B能力提升|菱形与翻折、动态几何综合|含跨知识点综合题（如菱形与矩形结合），发展推理能力与空间观念| |C综合与实践|菱形性质在实际情境（晾衣架）与动态探究中的应用|以真实问题为载体，强调模型意识与创新意识，提升应用能力|

18.2.1 菱形的性质 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图为菱形的对角线，已知，，则边上的高为（    ） A．14.4 B．15.3 C．16.8 D．17.2 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．点是的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 8．如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 三、解答题 9．如图，在菱形中，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，若，，求的长． 10．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【B能力提升】 1．如图，在菱形中，对角线，E，F分别为边上的点，把四边形沿EF翻折，得四边形，与交于点G，若，则（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形（如图①）．现对该图形改编如下：如图②，在中，，、分别平分，点D、E分别在、上，连接、，四边形是菱形，延长交于点F，若，则菱形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，四边形是菱形，对角线所在直线是一条水平直线，过点作一条竖直直线，将直线沿水平方向向右平移，在平移过程中，直线落在菱形内部的线段长记作，若，，则正整数的值是___________ 4．已知在矩形中，， ，点在平面内且， 以为对角线作菱形，点在上． （1）如图1， 若点与点重合， 则__________． （2）如图2， 若经过点 ， 则__________． 5．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，．四边形为矩形，点是的中点，点在边上以每秒个单位长的速度由点向点运动（点到达点则停止运动）．设动点的运动时间为秒． (1)______，_____；（用含的代数式表示） (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在线段上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形为菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【C综合与实践】 1．综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）． 【问题提出】 (1)当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm； 【问题探究】 (2)当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离； 【问题解决】 (3)由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号） 2．综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延伸】 如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.2.1 菱形的性质 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，平行线的性质，根据菱形的性质得，由可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图为菱形的对角线，已知，，则边上的高为（    ） A．14.4 B．15.3 C．16.8 D．17.2 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，还等于底乘以对应的高计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线， ∴， ∴， ∵． ∴ ∴． 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质即可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，故B正确； ∵菱形的边长与对角线长度无必然相等关系 ∴不一定等于，故A错误； ∵四边形是菱形 ∴ ∴，而不一定等于，故C错误； ∵菱形的对角线不一定相等（仅正方形时相等） ∴不一定等于，故D错误 ． 5．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度，再用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算面积． 【详解】解：∵菱形周长为，且菱形四条边相等， ∴菱形边长为 ． ∵菱形一条对角线长为，且菱形对角线互相垂直平分， ∴该对角线的一半长为 ． 根据勾股定理，可得另一条对角线的一半长为， 因此另一条对角线长为 ， ∴菱形面积为． 6．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．点是的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，O为的中点，进而根据中位线定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点， ∴，O为的中点， ∵点是的中点， ∴． 二、填空题 7．如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】 根据菱形的对角线互相平分且交点在原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标规律即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形，且对角线交点在原点， 点与点关于原点对称 点的坐标为，且关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， 点的坐标为． 8．如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 【答案】2 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 9．如图，在菱形中，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）由菱形的性质可得，则，由题意可得，再利用即可证明； （2）由菱形的性质并结合全等三角形的性质即可得证； （3）根据菱形的性质和直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵四边形为菱形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）先根据菱形的性质得出为的中点，结合点为中点，得出为的中位线，即，再根据，，推出，证明四边形为平行四边形，最后根据去证明平行四边形为矩形即可； （2）先根据菱形的性质得出，，再结合点为中点，求出，然后根据（1）证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求解，求得的值，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点为的中点，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 【B能力提升】 1．如图，在菱形中，对角线，E，F分别为边上的点，把四边形沿EF翻折，得四边形，与交于点G，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 延长交于点，连接，则是等边三角形，那么，由翻折，得到，再运用两次外角定理即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∵翻折， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 2．我国古代数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形（如图①）．现对该图形改编如下：如图②，在中，，、分别平分，点D、E分别在、上，连接、，四边形是菱形，延长交于点F，若，则菱形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，证明，过点作，根据角平分线的性质定理得出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵，即， ∴，即． 过点作， ∵平分，， ∴， ∴菱形的面积． 3．如图，四边形是菱形，对角线所在直线是一条水平直线，过点作一条竖直直线，将直线沿水平方向向右平移，在平移过程中，直线落在菱形内部的线段长记作，若，，则正整数的值是___________ 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．连接交于点，根据菱形的性质可得，，，根据勾股定理求出，进而得到，根据当直线运动到点或点时，最小，最小值为，当直线运动到与重合时，最大，最大值为，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， 当直线运动到点或点时，最小，最小值为， 当直线运动到与重合时，最大，最大值为， ， 正整数的值是， 故答案为：． 4．已知在矩形中，， ，点在平面内且， 以为对角线作菱形，点在上． （1）如图1， 若点与点重合， 则__________． （2）如图2， 若经过点 ， 则__________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； （1）设，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． （2）过点作于点，根据菱形的面积公式等于对角线乘积的一半，可得，根据， ，，代入即可求解． 【详解】解：（1）在矩形中，， ， ∴， 设， ∵菱形， ∴， 在中， ∴ 解得： 即 故答案为：． （2）如图，连接，过点作于点， ∵经过点 ， ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 5．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，．四边形为矩形，点是的中点，点在边上以每秒个单位长的速度由点向点运动（点到达点则停止运动）．设动点的运动时间为秒． (1)______，_____；（用含的代数式表示） (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在线段上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形为菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)． (3)存在满足条件的点，，或，． 【分析】（1）根据点P的运动速度和时间，直接用含的代数式表示线段长度； （2）根据平行四边形对边相等的性质，建立关于的方程求解； （3）分三种情况讨论菱形的对角线：以为对角线、以为对角线、以为对角线，利用中点坐标公式和菱形四边相等的性质，列方程求解和点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的运动速度为每秒个单位，运动时间为秒， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵点是的中点，， ∴， ∴，， 设，，，． ①以为对角线时， ∵菱形对角线互相平分， ∴中点与中点重合， ，， 得， ∵菱形四边相等，， ∴， ， ， 当时，， ∴． ②以为对角线时， ∵菱形对角线互相平分， ∴中点与中点重合， ∴，， 得， ∵菱形四边相等，， ∴， ， ， 当时，， ∴． ③以为对角线： ∵菱形对角线互相平分， ∴中点与中点重合， ，， 第二个方程无解，此情况不成立． 综上，存在满足条件的点，，或，． 【C综合与实践】 1．综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）． 【问题提出】 (1)当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm； 【问题探究】 (2)当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离； 【问题解决】 (3)由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号） 【答案】(1)16 (2)72cm (3) 【分析】（1）利用已知条件证得，从而得到，再利用中点的性质即可解出答案； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长度，再根据证得四边形是平行四边形，所以，同理证得，即可求出答案； （3）连接点的距离不小于4cm，所以直接将代入，利用勾股定理解出答案． 【详解】（1）解：连接，相交于点， ， ∵和中间三个全等的菱形边长相等， ∴， 在和中，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 当点移动到点的位置时， ． （2）解：连接， 由题意得，． ∵四边形是菱形， ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，故，且中间的三个菱形边都相等，对应角也相等，则都是全等的菱形， 同理可得， ． 答：此时晾衣架端点到墙壁的距离是72cm． （3）解：当时，， ． ． ． 答：晾衣架活动端点的最大可移动距离为． 2．综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延伸】 如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长． 【答案】（1）图见解析，90；（2），见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据作一个角等于已知角画出直线；根据菱形的性质得，结合外角的性质得，即可求得； （2）连接，根据菱形的性质得，进一步得是等边三角形和是等边三角形，可证明，则，即有； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论：当点E在线段上时，连接，过点A作于点H，由（2）可知是等边三角形，利用勾股定理求得、和，由（2）可知，即可知；当点E在的延长线上时，连接，过点A作于点H，同（3）①可得， 和，，由（2）可知，则． 【详解】解：（1）画出图形如解图， ∵在菱形中，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）， 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论： ①当点E在线段上时，如图，连接，过点A作于点H， 由（2）可知是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴； ②当点E在的延长线上时，如图，连接，过点A作于点H， 同（3）①可得， ， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴ 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角、菱形的性质、外角的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质和勾股定理．解题的关键是熟悉菱形的性质和分类讨论思想的应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $