18.2.2 菱形的判定 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 本同步练习通过A、B、C三层设计，实现菱形判定从基础概念到综合实践的进阶巩固，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|菱形判定定理及简单应用|选择填空结合作图情境，强化概念辨析与基本推理| |B能力提升|菱形与平行四边形、矩形的综合判定|动态问题（如动点、折叠）提升逻辑推理与空间观念| |C综合与实践|跨情境探究与实际应用|折纸、作图实践活动，发展创新意识与模型意识|

18.2.2 菱形的判定 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 5．下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 二、填空题 8．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 9．如图，两个等宽的矩形叠合得到四边形，若四边形的面积为8，连接、，设．则与之间的函数关系是_____． 三、解答题 10．如图①，小颖为新房买了一盏简单而精致的吊灯．其正面的平面图如图②所示，四边形是一个菱形的内部框架，对角线相交于点，四边形是其外部框架，且点在上，． (1)求证：四边形外部框架为菱形． (2)若外部框架的周长为，，，求内部框架的边长． 11．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【B能力提升】 1．如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（    ） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 2．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 4．如图，点E是矩形的边上一动点（不与B，C重合），以，为一组邻边作平行四边形，已知，． （1）平行四边形的面积为__________； （2）连接，当最小时四边形的周长为________． 5．如图，在中，E,F分别是边的中点，连接对角线 (1)求证：； (2)从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 6．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【C综合与实践】 1．嘉嘉和琪琪尝试用不同方法在一个矩形内作菱形． 如图，嘉嘉的方法如下： 作线段垂直平分线，分别交，于点，； 如图，琪琪的方法如下： 连接； 作线段的垂直平分线，分别交，于点，； 连接，． (1)如图，由矩形的性质可以得出此时一定也是的垂直平分线．类比嘉嘉的方法，用尺规在图中补全嘉嘉的作图，求作菱形，使点在上，点在上（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请根据琪琪的作图过程，将下面说明图中四边形是菱形的过程补充完整．证明：设直线交于点， 由作图痕迹可知直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ； (3)若，求琪琪所作菱形的周长． 2．综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片． 【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为： 步骤二：然后左右对折，折痕为： 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索1】 (1)①四边形的形状为___________； ②求四边形的边上的高． 【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交和边于点、点，交对角线于点O； 步骤二：将原纸片展开还原后，连接，．如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】 (2)判断四边形的形状，并加以证明． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.2.2 菱形的判定 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图，得到，得到四边形为菱形，再根据菱形的性质，进行求解即可. 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形为菱形，， ∴， ∴. 2．如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，矩形的判定和性质，掌握菱形，矩形的判定和性质是关键． 根据题意得到，四边形是平行四边形，结合菱形，矩形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， A．若时，平行四边形是菱形， 不能判定，故不符合题意； B．若时，平行四边形是菱形， ∴，故符合题意； C．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意； D．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意． 故选：B． 3．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 5．下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 6．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键． 先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长． 【详解】解：如图，过点作于点E，于点F，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长为． 故选：． 7．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∵点是的中点，点是四边形边上的动点， ∴当垂直于菱形的一边时，有最小值， 过点作于点， 当点为的中点时，连接， 则为的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴， 即的最小值是． 二、填空题 8．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，两个等宽的矩形叠合得到四边形，若四边形的面积为8，连接、，设．则与之间的函数关系是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的面积公式（对角线乘积的一半 ）以及利用矩形性质判定菱形是解题的关键．要找出与的函数关系，先判断四边形的形状，再利用其面积公式结合已知条件推导． ∵是两个等宽矩形叠合，可证四边形是菱形，再根据菱形面积公式建立与的联系． 【详解】解：∵两个矩形等宽， ∴四边形的对边平行， ∴四边形是平行四边形． 过A作，于M、N， 又∵矩形等宽， ∴平行四边形的高相等即， ∵平行四边形面积公式底高， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∵四边形面积，，， ∴． ∴ ． 故答案为： 三、解答题 10．如图①，小颖为新房买了一盏简单而精致的吊灯．其正面的平面图如图②所示，四边形是一个菱形的内部框架，对角线相交于点，四边形是其外部框架，且点在上，． (1)求证：四边形外部框架为菱形． (2)若外部框架的周长为，，，则内部框架的边长为_____cm． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是关键． （1）先证明四边形是平行四边形．再根据即可证明平行四边形是菱形； （2）连接，交于点O，，求出证明，再求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）四边形是菱形， ． ， ． 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ． 平行四边形是菱形． （2）如图，交于点O， ∵四边形外部框架为菱形，周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：30. 11．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，再由平行线的性质结合角平分线的性质得到，等角对等边可得，即可得证； （2）由菱形的性质可得，，，再根据勾股定理可得的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ，，． ， ， ， 菱形的面积是． 【B能力提升】 1．如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（    ） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 【答案】C 【详解】解：A、当时，是矩形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，故此选项错误； B、当时，是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误； C、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，推出，判定平行四边形是菱形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得；故此选项正确； D、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，因此，判定平行四边形是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误． 2．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 3．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 4．如图，点E是矩形的边上一动点（不与B，C重合），以，为一组邻边作平行四边形，已知，． （1）平行四边形的面积为__________； （2）连接，当最小时四边形的周长为________． 【答案】 12 【分析】（1）首先由矩形得到，，，然后求出，然后根据平行四边形的性质求解； （2）如图，连接交于点G，得到，当时，取得最小值，此时取得最小值，如图，得到四边形是菱形，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴平行四边形的面积； （2）如图，连接交于点G， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴当时，取得最小值，此时取得最小值，如图， ∴四边形是菱形 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴菱形的周长为． 5．如图，在中，E,F分别是边的中点，连接对角线 (1)求证：； (2)从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)见解析 (2)①②，证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，由中线的定义得到，得出，再利用平行四边形的性质与判定即可证明； （2）先由（1）的结论和，可得与平行且相等，因此先判定四边形是平行四边形，再结合所选的附加条件，利用特殊平行四边形的判定定理判断最终形状：如果选条件①，那么结合等腰三角形三线合一的性质得到邻边相等，进而判定为菱形；如果选条件②，那么得到平行四边形有一个内角为直角，进而判定为矩形。 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵分别是和的中线， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ （2）解：若选择条件①，则四边形是矩形．理由如下： ∵，是的中线， ∴， ∴， 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； 若选择条件②，则四边形是菱形．理由如下： ∵，是的中线， ∴, 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形. 6．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据角平分线的定义得出相等的角，利用平行线得出内错角相等，得出，根据等角对等边得出，根据菱形的定义即可得出结论； （2）根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴为直角三角形，且点为斜边的中点， ∴． 【C综合与实践】 1．嘉嘉和琪琪尝试用不同方法在一个矩形内作菱形． 如图，嘉嘉的方法如下： 作线段垂直平分线，分别交，于点，； 如图，琪琪的方法如下： 连接； 作线段的垂直平分线，分别交，于点，； 连接，． (1)如图，由矩形的性质可以得出此时一定也是的垂直平分线．类比嘉嘉的方法，用尺规在图中补全嘉嘉的作图，求作菱形，使点在上，点在上（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请根据琪琪的作图过程，将下面说明图中四边形是菱形的过程补充完整．证明：设直线交于点， 由作图痕迹可知直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ； (3)若，求琪琪所作菱形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)菱形的周长为． 【分析】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，菱形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （）作线段垂直平分线，分别交，于点，，作线段垂直平分线，分别交，于点，，连接，，，，则菱形即为所求； （）设直线交于点，由作图痕迹可知直线为线段的垂直平分线，则，由四边形为矩形，得，所以，证明，故有，从而可证四边形是平行四边形，又，从而证明四边形是菱形； （）由四边形为矩形，则，，又四边形是菱形，所以，设，则，在中，，即，解得，所以，从而求得菱形的周长为． 【详解】（1）解：作线段垂直平分线，分别交，于点，； 作线段垂直平分线，分别交，于点，； 连接，，，； 如图，菱形即为所求； （2）证明：设直线交于点， 由作图痕迹可知直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形； ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴菱形的周长为， ∴琪琪所作菱形的周长为． 2．综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片． 【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为： 步骤二：然后左右对折，折痕为： 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索1】 (1)①四边形的形状为___________； ②求四边形的边上的高． 【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交和边于点、点，交对角线于点O； 步骤二：将原纸片展开还原后，连接，．如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】 (2)判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】(1)①菱形；② (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（）①由折叠可知对角线互相垂直且平分，据此即可得解； ②先求出菱形的面积和边长，再利用等面积即可得解； （）由折叠可得，，由矩形可得，从而有，进而可证，则有，再根据菱形的判定即可求证． 【详解】（1）解：①由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形； ②由折叠可得：，，，， ∴， 又， 菱形边长， ∴， 设边上的高为， 则有， ∴， ∴菱形的边上的高为； （2）解：四边形是菱形，证明如下：如图③， 由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $