18.1.2 矩形的判定（第1课时：矩形的判定定理） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 分层清晰，从基础判定到综合实践梯度合理，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养几何直观、逻辑推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|矩形判定定理（三个角为直角、对角线相等的平行四边形等）直接应用|选择、填空、解答题结合，考查概念辨析与基本推理，夯实基础| |B能力提升|矩形判定与平行四边形性质、中点四边形、动态问题的综合应用|通过图形变换、点运动问题，提升逻辑推理与空间观念| |C综合与实践|矩形在实际情境中的构造与应用（补形、模板制作）|结合摩天轮、模板制作等情境，培养几何直观与应用意识，发展创新思维|

18.1.2 矩形的判定（第1课时：矩形的判定定理） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 2．如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题．   【详解】解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知选项D正确，  故选：D． 3．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项B：当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由可得，平行四边形是矩形，所以该选项正确． 选项D：因为四边形是平行四边形，所以，根据平行线的性质可得，又因为，所以，再根据等角对等边可知，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形是菱形，所以该选项错误． 故选：C． 4．如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形， ，，，， 即， ， 四边形是矩形； 故A选项不符合题意； B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等， 四边形是矩形； 故B选项不符合题意； C、观察图形可知，， 四边形是矩形； 故C选项不符合题意； D、观察图形可知，，故不能判定四边形是矩形， 故D选项符合题意． 故选：D． 5．四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 根据矩形的判定定理，逐一分析各选项条件是否满足矩形的定义或判定条件． 【详解】解：A、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项A不符合题意， B、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线垂直，此时平行四边形为菱形，但菱形的对角线不一定相等，无法保证四个角为直角，故不能判定为矩形，选项B符合题意， C、，，说明四边形是平行四边形，，说明有一个直角，根据“有一个直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项C不符合题意， D、，，可推出且，说明是平行四边形；，说明，结合平行四边形性质得，对角线相等，故可判定为矩形，选项D不符合题意， 故选：B． 6．在四边形中，点分别是的中点，与满足（    ）条件时，则四边形是矩形． A．相等 B．互相平分 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到，，得到，，得到四边形是平行四边形；根据矩形的判定定理解答即可．本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：当时，四边形矩形，理由如下： ∵点分别是的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形 故选：C 7．已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】观察题目，本题主要考查矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键； 对于①，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断即可； 对于②，根据“对角线垂直的平行四边形是菱形”判断即可； 对于其余的条件，结合矩形的判定定理以及平行四边形的性质判断即可． 【详解】①当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故①正确； ②当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故②错误； ③当时， ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形，故③正确； ④当时， ． ∵，四边形为平行四边形， ∴，四边形是矩形， 故④正确． 综上可得平行四边形是矩形的条件的序号是①③④． 故选：D 二、填空题 8．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 9．已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查矩形的判定，根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答． 【详解】解：由作图可知：,, 则四边形是平行四边形， 又, 则平行四边形是矩形， 则甲的作图依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 三、解答题 10．如图，在中，，为边上的中线，点E为中点，过点A作，交的延长线于点F ，连接． 求证：四边形为矩形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，先结合点E为中点，，证明，再根据，为边上的中线，得出，，证明四边形为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得出四边形为矩形． 【详解】解：∵点E为中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 11．如图，已知平行四边形且E，F是上两点，． (1)若，求证； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，再根据证明三角形全等即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴ ； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【B能力提升】 1．某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的对角线相等，且互相平分，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形有三个， 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 3．如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________． 【答案】矩形 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解决问题的关键是证明四边形为平行四边形和． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再证明，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】解：∵是边上的中点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 平分， 同理，， 四边形是矩形． 故答案为：矩形． 4．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形． 【答案】2.4s或4s或7.2s 【分析】根据已知可知：点Q将由根据矩形的性质得到AD∥BC，设过了t秒，当AP=BQ时，P、Q、C、D四点组成矩形，在点Q由的过程中，则PA=t，BQ=12-4t，求得t=2.4（s），在点Q由的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s），在点Q再由中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s），在点Q再由的过程中，t=4（t-9），t=13（s），故此舍去，从而得到结论． 【详解】解：根据已知可知：点Q由 在点Q第一次到达点B过程中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， 若， 则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形． 设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t， ∴t=12-4t， ∴t=2.4（s）， 在点Q由的过程中， 设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3）， t=4（t-3）， 解得：t=4（s）， 在点Q再由过程中， 设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6）， t=12-4（t-6）， 解得：t=7.2（s）， 在点Q再由的过程中， 设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9）， t=4（t-9）， 解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去． 故答案为：2.4s或4s或7.2s； 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用． 5．如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【C综合与实践】 1．如图，是直角三角形，，现将补成矩形，使的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形和矩形． (1)设图中矩形和矩形的面积分别为、，则______填“”、“”、“”； (2)如图，若是钝角三角形，按此要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，在图中画出来． (3)如图，若是锐角三角形且三边满足，按要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出______个，请画出来． 【答案】(1) (2)1，图见解析 (3)3，图见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意，，由此可得结论； （2）以为矩形的一边，过点A作，点B作，过点C作交于E，于F，则四边形即为所求； （3）分别以、、为矩形的一边，同（2）画法作出矩形、矩形、矩形，即可． 【详解】（1）解：∵矩形 ∴ 过点C作于G， ∵矩形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：=． （2）解：如图中，矩形即为所求， 故答案为：； （3）解：如图，矩形，矩形，矩形即为所求． 故答案为：． 2．图1是工人师傅想要制作的一种四边形模板，标准的模板要求，，，且． (1)如图2所示，该模板在制作过程中不慎摔坏了一个角，导致无法测量的度数与，的长度，现测得，，，通过计算判断该模板损坏前是否标准． (2)现将模板修补完整，工人师傅需要在上找一点，并将模板沿切割成两块材料，且两块材料最终能拼接成一个矩形，在图3中找到点的位置（点与点不重合），并画出拼接好的矩形（不用证明）． 【答案】(1)该模板损坏前标准，计算判断见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长，交于点C，连接，可得，由，，得，得，即得故该模板损坏前是否标准． （2）作的垂直平分线交于点E，在射线上取点H，使，连接，证明，得，得，可得，得四边形是平行四边形，由，得是矩形． 【详解】（1）解：延长，交于点C，连接， ∵四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故该模板损坏前标准． （2）解：作的垂直平分线交于点E，连接，在射线上取点H，使，连接， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， 故矩形ADCH符合要求． 【点睛】本题主要考查三角形与四边形综合．熟练掌握四边形内角和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1.2 矩形的判定（第1课时：矩形的判定定理） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 2．如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 5．四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．在四边形中，点分别是的中点，与满足（    ）条件时，则四边形是矩形． A．相等 B．互相平分 C．垂直 D．无法确定 7．已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 8．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 9．已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 三、解答题 10．如图，在中，，为边上的中线，点E为中点，过点A作，交的延长线于点F ，连接．求证：四边形为矩形． 11．如图，已知平行四边形且E，F是上两点，． (1)若，求证； (2)若，求证：四边形是矩形． 【B能力提升】 1．某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________． 4．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形． 5．如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【C综合与实践】 1．如图，是直角三角形，，现将补成矩形，使的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形和矩形． (1)设图中矩形和矩形的面积分别为、，则______填“”、“”、“”； (2)如图，若是钝角三角形，按此要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，在图中画出来． (3)如图，若是锐角三角形且三边满足，按要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出______个，请画出来． 2．图1是工人师傅想要制作的一种四边形模板，标准的模板要求，，，且． (1)如图2所示，该模板在制作过程中不慎摔坏了一个角，导致无法测量的度数与，的长度，现测得，，，通过计算判断该模板损坏前是否标准． (2)现将模板修补完整，工人师傅需要在上找一点，并将模板沿切割成两块材料，且两块材料最终能拼接成一个矩形，在图3中找到点的位置（点与点不重合），并画出拼接好的矩形（不用证明）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $