精品解析：云南省玉溪市红塔区玉溪第八中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

玉溪第八中学2025—2026学年下学期期中检测 八年级数学 试题卷 （满分100分，考试时间120分钟） 一、选择题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，三边长分别记为、、，则满足下列条件的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）． A. B. C. D. 6. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点E，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（ ） A. 16 B. 21 C. 13 D. 18 11. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分； B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形； C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质； D. 对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形； 12. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形变为矩形的是（ ） A. B. C. D. 13. 直角三角形两边长分别是5，12，第三边是（　） A. 13 B. C. 13或 D. 无法确定 14. 在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A. B. C. D. 15. 如图，在平面直角坐标系中线段AB两端点的坐标分别为，点为轴上一点，若为直角三角形，则这样的P点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16. 若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 17. 如图所示的数轴，点表示的数是________． 18. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 19. 如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20. 计算： （1）     （2） 21. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，与的延长线相交于点．求证：． 22. 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：______，______； （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______； ②化简：． 23. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由； 24. 阅读类比，定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决. 例如，已知，求的值，可以这样解答： 又， . （1）已知，求的值为________． （2）结合已知条件和第（1）问的结果，请运用解“二元一次方程组”的思想解方程：． （3）计算：． 25. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． （1）求之间的距离； （2）求四边形的面积． 26. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 27. 如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）． （1）求B、C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪第八中学2025—2026学年下学期期中检测 八年级数学 试题卷 （满分100分，考试时间120分钟） 一、选择题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件为．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件，该选项符合题意； 故选：D． 3. 在，三边长分别记为、、，则满足下列条件的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理与三角形内角和定理逐一判断选项即可． 【详解】A、，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，该选项不符合题意； B、设， 三角形内角和为, ， 解得, 最大角， 不是直角三角形，该选项符合题意； C、 又 。即， 是直角三角形，该选项不符合题意； D、设 ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，该选项不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，分别根据二次根式的加、减、乘、除法运算法则计算相应选项，再进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算正确，故选项Ａ符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项B计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D、，原选项计算错误，故选项D不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 6. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股树问题，由正方形A、B的面积可得正方形F的面积，由正方形C、D的面积可得正方形E的面积，由正方形E、F的面积可得正方形G的面积，从而可求出正方形G的边长． 【详解】解：∵正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9， ∴正方形F的面积，正方形E的面积， ∴正方形G的面积， ∴正方形G的边长， 故选：B． 7. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是矩形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 证明出四边形是平行四边形，得到，，求出，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】四边形是矩形， ，． ， 四边形是平行四边形． ，． ． ，， ． ， ． 故选：A． 8. 如图，菱形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，点关于原点对称的特点．根据菱形的性质，可得点A和点C关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴点C的坐标是． 故选：B 9. 如图，在中，于点E，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（ ） A. 16 B. 21 C. 13 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，且周长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴的周长． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分； B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形； C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质； D. 对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形； 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质进行判断即可得． 【详解】解：A、矩形和平行四边形都具有对角线互相平分这一条性质，则此项错误，不符合题意； B、有三个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则此项错误，不符合题意； C、因为正方形是矩形（四条边都相等的矩形是正方形）和菱形（有一个内角是直角的菱形是正方形）的特殊情形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质，则此项正确，符合题意； D、对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键． 12. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形变为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， A、AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意； B、DA⊥AB时，∠BAD=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意； C、∠OAB=∠OBA时，OA=OB， ∴AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意； D、OB=OD时，平行四边形ABCD仍然是平行四边形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键． 13. 直角三角形两边长分别是5，12，第三边是（　） A. 13 B. C. 13或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，分类讨论思想的运用是解答的关键． 题目中没有明确直角边和斜边，故要分情况讨论，再结合勾股定理即可求得结果． 【详解】解：当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， 故选：C． 14. 在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 15. 如图，在平面直角坐标系中线段AB两端点的坐标分别为，点为轴上一点，若为直角三角形，则这样的P点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】设，分三种情况讨论：；，，根据勾股定理构造关于p的方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，，， 当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴； 综上，为直角三角形，则这样的P点有或或，共3个． 二、填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16. 若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质与勾股定理求解斜边长． 【详解】解：设该等腰直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理，可得， 整理得， 因为三角形的边长为正数， 因此． 即它的斜边长为． 17. 如图所示的数轴，点表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出长度，进而可知点表示的数． 【详解】解：如图， 可知， 由作图可知， ∴点表示的数是． 18. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 19. 如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： ∵正方形中，， ， 又， ∴四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20. 计算： （1）     （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法、再用有理数乘方、绝对值化简，最后计算加减法即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式化简，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，与的延长线相交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的线段和平行线，根据平行线的性质得出相等的角，证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：______，______； （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______； ②化简：． 【答案】（1）7， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质将根式转化为绝对值形式即可； （2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解； ②根据数轴上点的位置关系及距离原点的远近，判断绝对值内部式子的正负性，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：①由数轴可得：，， ∴，， 而数轴上b在右侧且更靠近， ∴不成立，即， ∴，； ②∵，， ∴，， ∴． 23. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由； 【答案】（1）； （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理解三角形． （1）根据勾股定理进行计算即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得：，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： 根据题意得：， ∴， ∴是直角三角形． 24. 阅读类比，定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决. 例如，已知，求的值，可以这样解答： 又， . （1）已知，求的值为________． （2）结合已知条件和第（1）问的结果，请运用解“二元一次方程组”的思想解方程：． （3）计算：． 【答案】（1）2 （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）仿照例题的解答方法求解即可； （2）由题意可得方程组，再用整体思想解方程组即可； （3）将所求的代数式每一项都分母有理化，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：∵ ， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得： ， ，得， 解得：， 经检验：是原方程的解； 【小问3详解】 解： ． 25. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． （1）求之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：连接， 在中，，，， 由勾股定理得，， ∴之间的距离为； 【小问2详解】 ∵m，m，m， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 所以四边形的面积为． 26. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）． （1）求B、C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1）， （2）当时，四边形是平行四边形；， （3）或，是以为腰的等腰三角形 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式性质、解不等式组，平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解. （1）根据二次根式的性质及解一元一次不等式组得出的值进而得出答案； （2）由题意得: 根据平行四边形的判定可得，再解方程即可； （3）①当时, ，解方程得到的值；②当时， 由题意得：，进而得到方程：再解方程即可. 【小问1详解】 解：， ， 解得: , ∴, ∵,, ∴, ∴； 【小问2详解】 解：如图： 由题意得: , 则:，， ∵, ∴当时, 四边形是平行四边形, ∴, 解得: , 故当时，四边形是平行四边形， 此时，点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 ∵是以为腰的等腰三角形, ∴分两种情况:或. ①当时, 如图, 过作于, ∵, ∴四边形是矩形, ∴, ∴, ∴中: ∵, ，即 解得： ②当时, 过作轴于, ∴, 由题意得:, 则, 解得： ， 综上所述，当或 时, 是以为腰的等腰三角形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $