微专题：空间几何体的外接球问题（专项训练）-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间几何体外接球问题，通过九类模型系统分类，以题载法培养空间观念与几何直观，构建从特殊到复杂的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方体模型|4题|正方体/长方体顶点共球|体对角线为直径，基础模型| |墙角模型|4题|三棱锥三条棱两两垂直|补形为长方体求半径| |对棱相等模型|5题|三棱锥三组对棱相等|补形长方体，棱长与体对角线关系| |正四面体模型|4题|所有棱长相等的四面体|棱长与外接球半径公式推导| |棱面垂直型|8题|柱体或线面垂直三棱锥|结合底面外接圆半径与高求球半径| |正棱锥（圆锥）模型|4题|正棱锥或圆锥顶点共球|利用高、底面半径与球半径勾股关系| |正棱台（圆台）模型|4题|台体上下底面共球|上下底面外接圆与高的空间关系| |共斜边模型|5题|含公共斜边的直角三角形|斜边中点为球心，斜边为直径| |两面垂直型|4题|两垂直平面构成的几何体|结合两面外接圆圆心距求球半径|

微专题： 空间几何体的外接球问题 一、题型一 方体模型 1．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长求解. 【详解】因为正方体棱长为2，所以正方体的体对角线长为， 所以正方体的外接球的半径为， 所以该球的体积为. 2．已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的特征及球的体积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由题意可知正方体的外接球直径为正方体的体对角线， 所以， 所以. 故选：B 3．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得球的半径，由此求得正方体的体对角线长，进而求得正方体的棱长. 【详解】设正方体的棱长为，则其体对角线长为， 设球的半径为，则，所以. 故选：B 4．长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得长方体的体对角线，即为该球的直径，再用球的表面积公式即可求得结果. 【详解】由已知，该球是长方体的外接球， 故， 所以长方体的外接球半径， 故外接球的表面积为. 故选：. 【点睛】本题考查长方体的外接球问题，涉及球表面积公式的使用，属综合基础题. 二、题型二 墙角模型（两两垂直） 5．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该三棱柱放入正方体中，借助正方体的外接球求解长度，即可根据体积公式求解. 【详解】由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. 由，得. 由于平面，所以该三棱锥的体积为. 故选：B 6．在三棱锥中，两两垂直，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设易知补全三棱锥为长方体，则其外接球为长方体的外接球，根据已知求球体半径，进而求外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 由，，可得：， 设球半径为R，则， ∴球的表面积为. 故选：D 7．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B．56π C． D．14π 【答案】D 【分析】将三棱锥P－ABC补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥P－ABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，则，所以球的表面积为． 故选：D． 8．在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥补全为长方体， 则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R， 则， 所以球的表面积为． 故选答案为：． 三、题型三 对棱相等模型 9．在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积． 【详解】因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球． 故选：C． 【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，方法是把球放在一个长方体中，三棱锥的各棱是长方体六个面上面对角线． 10．已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可. 【详解】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则 故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 11．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为_______. 【答案】 【分析】将三棱锥补全为长方体，则长方体外接球即为三棱锥外接球，求其半径，进而求其表面积. 【详解】由条件得三棱锥对棱相等，将三棱锥放到长方体中，每一条棱作为长方体的面对角线， 所以构造长方体，使得面上的对角线长分别为，5，， 则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC外接球的直径． 设长方体的棱长分别为，则，，， 所以，即三棱锥外接球的直径为5， ∴三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：50 12．已知在三棱锥中， ，则三棱锥外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】设中心为，外心为，则是斜边的中点，设三棱锥外接球球心为，则平面平面，求得，利用勾股定理可得，从而可得结果. 【详解】 , 是正三角形， 是等腰直角三角形， 设中心为，外心为，则是斜边的中点， 所以， 设三棱锥外接球球心为， 则平面平面， 由余弦定理， ， ， 设球半径为， 球的表面积为，故答案为. 【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以设出或直接找出球心和半径. 13．已知四面体中，，，，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】. 【详解】分析：由题意结合几何体的结构特征整理计算即可求得最终结果. 详解：由四面体的特征可知，该几何体的四个顶点位于一个长方体的顶点之上， 设长方体的长宽高分别为，由题意可知： ，则， 四面体的外接球即长方体的外接球，设外接球半径为， 则， 该四面体的表面积为：. 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 四、题型四正四面体模型 14．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】四面体的所有棱长都为的四面体是正四面体，将正四面体放入正方体中，即可求解. 【详解】因为四面体是正四面体，所以正四面体放入正方体中，正四面体的外接球就是正方体的外接球， 故正方体的棱长为，外接球半径为， 所以. 故选：C. 15．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出外接球的半径，将正四面体补成正方体，求出其棱长，用正方体的体积减去四个小的三棱锥体积即为所求. 【详解】设外接球半径为，则，解得, 将正四面体恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线， 则正四面体的外接球即为正方体的外接球， 则正方体的体对角线等于外接球的直径， 故，解得，正方体棱长为 ， 故该正四面体的体积为， 故选：A． 16．如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将侧面展开，根据的最小值可得正四面体的棱长，再计算外接球的半径，得出体积． 【详解】解：将侧面和展成平面图形，如图所示： 设正四面体的棱长为 则的最小值为， ． 故正四面体的边长为2， 如图，设为正三角形的中心，为中点，连接，，设外接球球心为，且在线段上，连接 由正四面体可得平面， 由正三角形，可得 所以 则， 设外接球的半径为 则，且 所以 ，解得： 外接球的体积． 故选：A． 17．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是__________. 【答案】 【分析】先将面ABC和面ACD展开在同一个平面，分析当B、P、E三点共线时的取得最小值，在中利用余弦定理求得正四面体的棱长为，再利用补形法将正四面体补成一个棱长为2的正方体，利用正方体的体对角线是外接球的直径进行求解. 【详解】将面ABC和面ACD展开在同一个平面的下图： 由三角形两边和大于第三边得到，当点P在F点时取得最小值， 所以，设，则, 在中， 由余弦定理得： 解得，故正四面体的棱长为， 如图将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2， 则该正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长， 所以即 故， 故答案为： 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 五、题型五棱面垂直（柱体）型 18．直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出底面外接圆的半径，根据几何关系求出直三棱柱的外接球半径，最后利用外接球表面积公式即可求解. 【详解】根据正弦定理，在中，解得. 直三棱柱外接球的球心在上下底面三角形外心连线的中点，满足勾股定理， 代入，，则. 球的表面积公式为. 19．已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径，再由线面垂直关系求出外接球半径，可得其表面积. 【详解】在中，设其外接圆半径为， ，，， 根据正弦定理，所以. 因为平面，所以外接球的球心到平面的距离. 设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得， 因此外接球表面积. 20．在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意判断出在三棱锥中，有平面；接着求出底面的外接圆的半径为；此时三棱锥的外接球的半径，底面的外接圆的半径，以及三个量有关系：，进而求出外接球得半径，即可求出结果. 【详解】由题意可知，，且平面平面，所以平面． 设的外接圆的半径为，则由正弦定理可得， 即，所以． 设三棱锥的外接球的半径为，则， 即，所以， 所以外接球的体积为． 故选：C． 21．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据鳖臑的体积为2先求，进而得阳马外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解. 【详解】设阳马外接球的半径为， 由题意有：， 又平面，四边形为正方形，所以， 所以， 所以阳马外接球的表面积为：， 故选：B. 22．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积. 【详解】由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则，故三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：D. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 23．若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，平面，，，，，则球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三棱锥的所有顶点都在球的球面上，求出，,故截球所得的圆的半径，由此能求出球的半径，从而能求出球的表面积． 【详解】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上， 平面，，，，， ， ． 截球所得的圆的半径， 球的半径， 球的表面积, 故选：C 24．已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意与棱锥的体积公式得到，，再作图确定球心的位置，利用勾股定理求解球的半径，最后求解表面积即可. 【详解】设，则，， 所以的面积， 而三棱锥体积． 所以解得，即，， 如图，取中点，过作平面的垂线，即平面， 所以，所以球心在直线上， 连接，，所以（为外接球半径）， 取中点，连接，得到， 又因为，所以四边形为矩形， 所以，， 由勾股定理得， 得到表面积． 六、题型六正棱锥（圆锥）模型 25．已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，利用正四棱锥的特征，过作棱锥的高，过球心且交于与的交点，连接，设球的半径为，在中，利用勾股定理构建方程，即可求出球的半径，求得球的体积. 【详解】如图，正四棱锥外接于球， 过作棱锥的高，过球心且交于与的交点， 连接，设球的半径为， 则，， 且， 所以， 即，解得， 所以球的体积为.    故选：A 26．已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球心到底面的距离、底面三角形的外接圆半径和球的半径满足勾股定理，求得，然后可得棱锥的高. 【详解】如图，为等边三角形， 设为中点，面，，则， 所以， 设三棱锥外接球的半径为，由正棱锥的性质可知球心为在上， 则，即，所以. 由，解得. 所以三棱锥的高为. 故选：B.    27．已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． 28．圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得为等边三角形，且其外接圆的圆心即为圆锥的外接球的球心，代入计算，即可得到结果. 【详解】    设圆锥底面圆的圆心为，底面圆的半径为，外接球的半径为， 做出圆锥的轴截面，可知为等腰三角形，又， 则为等边三角形，所以圆锥的外接球的球心即为外接圆的圆心， 且，， 则球的半径为， 所以外接球的表面积为， 故选：B 七、题型七正棱台（圆台）模型 29．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由正四棱台的结构与正方形的性质，可得上下底面的外接圆半径，由球的表面积公式求得外接球的半径，根据勾股定律，可得答案. 【详解】易知正四棱台上下底面为正方形，则外接圆的半径分别为，， 设外接球的半径为，正四棱台的高为，可得，解得， 易知或. 故选：D. 30．已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心O在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可 【详解】设上下底面互相平行的两对角线分别为， 则由球的表面积为可得球O的半径， 又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，故， 即AB为球O的直径， 所以球的球心正好在中点，故. 所以为等边三角形，故，所以为等边三角形， 故此正四棱台的侧棱长 故选：B 31．已知高为的正三棱台的外接球的表面积为，且，则正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出外接球的半径，利用勾股定理求得球心到下底面的距离与上底面外接圆半径的关系，再利用勾股定理可求出上底面外接圆的半径，进而可求出，再根据台体的体积公式即可得解. 【详解】如图，设正三棱台上下底面三角形的外接圆圆心分别为， 外接球的球心为，则， 设外接圆的半径为，正三棱台的外接球的半径为， 则外接圆的半径为， ，解得， 设， 当点在线段上时， 则有，解得， 故，解得， 此时，符合题意， 由正弦定理得，所以， 所以， 则， 所以正三棱台的体积为； 当点在线段的延长线上时， 则有，解得， 因为，所以， 此时，故这种情况不符题意，舍去， 综上所述，正三棱台的体积为. 故选：D. 32．已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据圆台内切球半径为2求出圆台上、下底面半径的乘积为4，然后结合圆台的体积为28π并利用圆台的体积公式得到圆台的上、下底面半径，根据圆台和球的对称性并利用勾股定理求得圆台外接球的半径，即可求得圆台外接球的表面积． 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，，易知内切球的轴截面与圆台的轴截面内切， 所以，解得， 又圆台的体积为， 所以，． 设圆台外接球的半径为R，易知圆台的轴截面与外接球的轴截面内接，外接球球心O在线段上，（提示：当O在的延长线上时，设，则，所以，无解，所以O在线段上）, 如图，连接OC，OB， 则，， 设，则， 所以，得， 故， 所以该圆台外接球的表面积为， 故选：D． 八、题型八 共斜边模型 33．已知在正三棱台中，的面积为，的面积为，该正三棱台的体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得正三棱台上下底面边长及高，设为该正三棱台的外接球球心， 由题可得，据此可得t及R，可得表面积. 【详解】， ，设正三棱台的高为， 则正三棱台的体积为， 如图，设，分别是的中心，设分别是的中点， 则三点共线，三点共线， ，， 设为该正三棱台的外接球球心，半径为，则在直线上， 设 若点在的同侧，则， 所以 ，则， 故. 若点在的异侧，则 （矛盾）， 故选：D. 34．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用勾股定理，分别证得，，和，进而求得外接球的半径，结合表面积公式，即可求解. 【详解】因为，，，则，所以， 又因为，，，则，所以， 由，，，则,所以， 又由，，，则，所以， 可得为三棱锥的外接球的直径， 又由， 所以此三棱锥的外接球半径为， 所以球的表面积为. 故选：C.    35．在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，PA=PB=，AB=2，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定该三棱锥外接球的球心，进而得到半径，即可求解 【详解】因为PA=PB=，AB=2， 所以， 所以， 取的中点，连接， 则由直角三角形的性质可知， 又AC⊥BC， 则由直角三角形的性质可知， 所以， 所以是该三棱锥外接球的球心，且外接球的半径， 所以该三棱锥外接球的体积为, 故选：B 36．在三棱锥D-ABC中，AC=BC=BD=AD=CD，并且线段AB的中点O恰好是其外接球的球心.若该三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意先求出AB与AD关系，取OC中点为E，进而确定，求出的长，即是三棱锥的高，再由三棱锥的体积求出外接球半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】设外接球半径为R，因为线段AB的中点O恰好是其外接球的球心，所以OB=OC=OD， 由BD=AD可得，所以，所以， 所以为等边三角形； 又，，所以平面，所以平面平面； 取OC中点为E，连结，则，故平面，所以为三棱锥D-ABC的高， 又在等边三角形中，， 所以，解得， 所以. 故选B 【点睛】本题主要考查棱锥外接球的表面积，根据题意求出球的半径，即可求解，属于常考题型. 37．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为___________. 【答案】 【解析】取的中点，连接、，计算得出，可得出点为三棱锥的外接球球心，设球的半径为，，推导出平面，可得出三棱锥的体积为，再由余弦定理得出，结合可求得的值，进而利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】取的中点，连接、，如下图所示： ，，且，则， 所以，、均为等腰直角三角形，且， 所以，，所以，为三棱锥的外接球直径， 设，可得，设， ，为的中点，则，同理可得， ，平面， 所以， ，， 在中，由余弦定理可得，即，可得， 由，可得，化简可得， 即， ，解得， 因此，三棱锥外接球的体积为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 九、题型九 两面垂直型 38．三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BD的中点O，根据条件得到和都是直角三角形，其外接圆的圆心都是，再根据平面平面BCD，得到O为外接球的球心求解. 【详解】解：如图所示： 取BD的中点O， 因为则是直角三角形， 因为。 所以是直角三角形， 所以和的外接圆的圆心都是， 又因为平面平面BCD， 所以O为外接球的球心， 因为，， 所以外接球的半径为， 所以外接球的体积为， 故选：A 39．如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】补形成长方体模型来解即可. 【详解】由于二面角为直二面角，且和都是直角三角形， 故可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径R， 即，解得， 从而三棱锥外接球的体积． 故选：D    40．在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得， 因为平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面ABC，则球心O在直线上． 连接OA，则， 因为，所以； 因为，所以. 因为，所以球心在线段上． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为. 故选：B． 41．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，，由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积. 【详解】解：在等边三角形中，取的中点， 设等边三角形的中心为，连接， 由，得，， 由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形， ， 又由已知可得平面平面， 平面，， ，所以， 为三棱锥外接球的球心，外接球半径， 三棱锥外接球的表面积为：. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题： 空间几何体的外接球问题 一、题型一 方体模型 1．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 3．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 4．长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、题型二 墙角模型（两两垂直） 5．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，两两垂直，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B．56π C． D．14π 8．在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为_________． 三、题型三 对棱相等模型 9．在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 11．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为_______. 12．已知在三棱锥中， ，则三棱锥外接球的表面积为__________． 13．已知四面体中，，，，则四面体的外接球的表面积为________． 四、题型四正四面体模型 14．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 15．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 16．如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 17．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是__________. 五、题型五棱面垂直（柱体）型 18．直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 19．已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 20．在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 21．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 22．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 23．若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，平面，，，，，则球的表面积为 A． B． C． D． 24．已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 六、题型六正棱锥（圆锥）模型 25．已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 26．已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（    ） A．1 B． C． D． 27．已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 28．圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 七、题型七正棱台（圆台）模型 29．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（    ） A． B． C．或 D．或 30．已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为（    ） A．1 B． C．2 D． 31．已知高为的正三棱台的外接球的表面积为，且，则正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 32．已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 八、题型八 共斜边模型 33．已知在正三棱台中，的面积为，的面积为，该正三棱台的体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 34．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 35．在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，PA=PB=，AB=2，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 36．在三棱锥D-ABC中，AC=BC=BD=AD=CD，并且线段AB的中点O恰好是其外接球的球心.若该三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 37．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为___________. 九、题型九 两面垂直型 38．三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 39．如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ）     A． B． C． D． 40．在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 41．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $