专题18 空间几何体的外接球与内切球问题（压轴题8大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题18 空间几何体的外接球与内切球问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 5 类型一、墙角模型 5 类型二、三棱锥的三组对棱长分别相等模型 6 类型三、其他补成长方体模型 6 类型四、直棱柱、圆柱的外接球 7 类型五、棱台、圆台的外接球 7 类型六、正棱锥、圆锥的外接球 8 类型七、垂面模型 9 类型八、内切球 9 压轴专练 11 知识点01 外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 类型一、墙角模型 1．（23-24高一下·广东东莞·期末）棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 4．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 类型二、三棱锥的三组对棱长分别相等模型 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆荣昌·月考）在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为____________． 类型三、其他补成长方体模型 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四面体的棱长为4，则该正四面体外接球的体积为______． 类型四、直棱柱、圆柱的外接球 1．已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·云南昆明·期中）若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建泉州·期末）已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 类型五、棱台、圆台的外接球 1．已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆台上、下底面圆周在半径为2的球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东深圳·期末）我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建漳州·期中）正四棱台上、下底面边长分别为和，所有顶点都在半径为的球面上，则该四棱台的体积是（    ）． A．14 B．12 C．或12 D．或14 类型六、正棱锥、圆锥的外接球 1．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 2．已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 类型七、垂面模型 1．在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（    ） A．5 B． C． D． 4．在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 类型八、内切球 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 3．若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D． 4．半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 5．已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川绵阳·月考）正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 7．四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·四川成都·期中）将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东广州·期中）某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 7．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 8．若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 9．圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 10．已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 11．体积为1的正三棱锥的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 13．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 14．（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是 15．在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 17．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 18．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 19．四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 20．已知正三棱锥的侧面与底面所成角为，球为该三棱锥的内切球，球在三棱锥内，与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·陕西西安·期末）在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 22．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 23．（24-25高一下·天津南开·期末）正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 24．（2026高一·全国·专题练习）已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 25．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 空间几何体的外接球与内切球问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 5 类型一、墙角模型 5 类型二、三棱锥的三组对棱长分别相等模型 7 类型三、其他补成长方体模型 9 类型四、直棱柱、圆柱的外接球 12 类型五、棱台、圆台的外接球 15 类型六、正棱锥、圆锥的外接球 18 类型七、垂面模型 22 类型八、内切球 26 压轴专练 31 知识点01 外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 类型一、墙角模型 1．（23-24高一下·广东东莞·期末）棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正方体结构特征求出球的半径，再结合球的表面积公式即可求解. 【详解】球的直径即为正方体的体对角线，设球的半径为，则， 所以球的表面积为. 故选：B. 2．（24-25高一下·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 3．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 4．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意四棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的体积. 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 类型二、三棱锥的三组对棱长分别相等模型 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可. 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 2．（23-24高一下·重庆荣昌·月考）在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为____________． 【答案】 【分析】将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，则长方体的体对角线即为四面体的外接球的直径，再结合球表面积公式计算即可. 【详解】由题意知，将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所示， 设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，解得， 所以长方体的体对角线长为， 所以外接球的直径为，即， 所以四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 类型三、其他补成长方体模型 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得平面，将鳖臑补全成长方体，进而可求外接球半径，从而得解. 【详解】根据题意，平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将鳖臑补全成长方体，如图， 则此四面体的外接球的半径为， 其外接球的表面积为. 故选：B. 2．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内，得到正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，正三棱锥，满足，且三个侧面两两垂直， 可以把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内， 可得正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球， 设正三棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 3．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 4．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为：    5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四面体的棱长为4，则该正四面体外接球的体积为______． 【答案】 【分析】将正四面体放入正方体，则两几何体有共同的外接球，根据正四面体棱长，求出正方体棱长，再由其体对角线长求得外接球半径，即可求解. 【详解】 如图，将正四面体放入正方体中， 则该正四面体的外接球即正方体的外接球， 设正方体棱长为，因正四面体的棱长为4，则有，解得， 则正四面体外接球半径为， 故该正四面体外接球的体积为. 故答案为：. 类型四、直棱柱、圆柱的外接球 1．已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出球的半径以及圆柱的底面半径，在轴截面中，找到二者与圆柱的高之间的关系，即可求出圆柱的高，从而求得圆柱的体积. 【详解】球的表面积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为，半径为， 在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为. 故选：D.    2．已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解. 【详解】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图）, 由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故, 所以, 所以为外接球的半径，故外接球表面积为， 故选：D 3．（23-24高一下·云南昆明·期中）若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱侧面积公式求出，确定球心的位置，如图构造直角三角形，由勾股定理求出外接球半径的平方，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可得，正棱柱的底面是边长和高都等于的等边三角形，侧面积为， ∴，∴， 取三棱柱的两底面中心，连结， 取的中点，则为三棱柱外接球的球心， 连结，则为三棱柱外接球的半径． ∵是边长为的正三角形，是的中心， ∴． 又∵ ∴． ∴三棱柱外接球的表面积. 故选：B.    4．（24-25高一下·福建泉州·期末）已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积. 【详解】在中，， 利用正弦定理可得外接圆的半径， 又，所以直三棱柱的外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：A. 类型五、棱台、圆台的外接球 1．已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得正四棱台的高，确定球心位置，根据条件建立方程，解出后进一步计算即可. 【详解】根据题意可得正四棱锥的高， 如下图, 设正四棱台的外接球球心为,则点在上， 设，外接球半径为， 则, 即， 解得，则， 则外接球的表面积为， 故选: 2．已知圆台上、下底面圆周在半径为2的球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可． 【详解】如图， 设球的半径，由题意可知，故是等边三角形， ∴，∴，∴，． ∴圆台的体积为：． 故选：B． 3．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球心到上底面圆心的距离为h，由题意可得，求解即可. 【详解】由题意可知圆台的高为. 设球心到上底面圆心的距离为h，则，解得. 则，所以圆台的外接球的表面积为. 故选：D. 4．（24-25高一下·广东深圳·期末）我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积 【详解】 如图，连接，设，连接． ∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段所在直线上， 设外接球球心为，易得， 因为，则球心不可能在线段之间，其位于的延长线上， 如图所示： 由得，解得，故, ∴外接球表面积为． 故选：C. 5．（24-25高一下·福建漳州·期中）正四棱台上、下底面边长分别为和，所有顶点都在半径为的球面上，则该四棱台的体积是（    ）． A．14 B．12 C．或12 D．或14 【答案】D 【分析】分球心在棱台上、下底面之间，和球心在下底面下方两种情况，利用球心到上、下底面中心的距离，上、下底面外接圆半径，和球的半径之间的关系，求出棱台的高即可得解. 【详解】记正四棱台的上、下底面对角线的交点分别为，球心为， 由正四棱台的性质可知，三点共线， 易知，， 当球心在棱台上、下底面之间时，如图所示， 则棱台的高， 所以该棱台的体积. 当球心在下底面下方时，如图所示， 则棱台的高， 所以该棱台的体积. 综上，该棱台的体积为或. 故选：D 类型六、正棱锥、圆锥的外接球 1．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 2．已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出外接球的半径，由此可求出圆锥底面半径长，并求出圆锥高的最大值，结合锥体体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的外接球半径为，则，解得， 所以，圆锥的底面半径为， 所以，当圆锥的高为时，圆锥的体积最大， 且其最大值为. 故选：B. 3．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为. 故选：B. 4．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据侧面展开图的面积求出侧面展开图的圆心角，再求出圆锥底面的半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾股定理建立等量关系即可求出外接球的半径． 【详解】如图，由题意知，侧面展开图的面积， 则，即，故圆锥的底面周长为的长，为， 所以，所以圆锥的底面半径为1， 从而，故其外接球的球心在线段上． 不妨设球心为，半径为．连接，则由， 得，解得，所以， 所以该圆锥的外接球的表面积． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先根据侧面展开图的面积求出侧面展开图的圆心角，再求出圆锥底面的半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾股定理建立等量关系即可求出外接球的半径． 5．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 类型七、垂面模型 1．在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 2．在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定球心的位置，利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在三棱锥中，都是边长为2的正三角形，取中点，连接， 则，，是二面角的平面角， 又，则，即，而， 平面，因此平面，令的外心分别为， 则平面，，同理，四边形是矩形， ，而，则， 所以球的表面积为. 故选：A 3．在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定球心O的位置，再利用几何法求出球心O到平面PBC的距离为，再利用等体积法求解即可. 【详解】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线， 取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O， 在正中，，，得， 又，即， 则，，， 由余弦定理得，则， 过O作PE的垂线，垂足为G，由，， 因为，PA，平面，所以平面， 又平面PBC，则平面平面， 又平面平面，平面，因此平面PBC， 在中，， 所以球心O到平面PBC的距离为， 则三棱锥的体积为， 而，设点到平面的距离为， 由，得，解得， 则点到平面的距离为. 4．在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】根据平面平面，由和的外接圆圆心位置即半径确定外接球的球心位置，再利用勾股定理求得外接球的半径即可求出表面积. 【详解】中，易知，可得； 在中，易知，可得； 易知和的外接圆半径分别为； 取的中点为，设和的外接圆圆心分别为，三棱锥的外接球的球心为，如下图所示： 易知，且，又平面平面，所以平面； 同理可得，平面； 由球心性质可知平面，平面； 因此可知，所以四边形为平行四边形，可得； 所以三棱锥的外接球的半径为； 因此外接球的表面积为. 类型八、内切球 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可. 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案. 【详解】由题意得⊥，⊥，故∽， 故， 其中， 故，， 所以，即，解得. 故选：D 3．若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由正四棱锥体积先求出外接球半径，进而得到正四棱锥的底面边长与高，再利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径. 【详解】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O， 设球的半径为， 所以， 所以， 于是正四棱锥的体积，解得， 所以正四棱锥的表面积， 设正四棱锥内切球的半径为， 则，解得. 故选：A. 4．半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据球内切于正三棱柱求出高，然后内切球的性质求得底面正三角形的边长，最后利用柱体体积公式求解即可. 【详解】因为半径为2的球内切于正三棱柱， 所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图. 由正三角形及其内切圆的性质，得， 所以的面积为， 所以正三棱柱的体积为. 故选：A 5．已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知圆台的轴截面为等腰梯形，计算出梯形的高，结合圆台的体积公式求解即可. 【详解】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为， 故梯形的高为， 则该圆台的体积为. 故选：D. 6．（24-25高一下·四川绵阳·月考）正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得到正三棱台的高. 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为和， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 为侧面等腰梯形上下底边中点，则， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 故选：B 7．四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由外接球的定义结合勾股定理代入计算，即可得到外接球的半径，再由等体积法代入计算，即可得到内切球的半径，从而得到结果. 【详解】 由题意可知，底面为等边三角形，设点在底面的投影为， 则, 设外接球的球心为，则在上，设外接球的半径为， 在中，， 设，则，解得， 所以，所以， 又，则， 设内切球的半径为，四面体的表面积为， 且是全等的等腰三角形， 腰长为，底边长为，则高为， 所以， 则，即，解得， 则. 故选：B 1．（24-25高一下·四川成都·期中）将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的特征求得球的直径，再由球的表面积公式求解即可． 【详解】要将长方体铁块磨制成一个球体，则球体直径最大不超过长方体的最短棱长， 又长方体的最短棱长为3，则此球是棱长为3的正方体的内切球， 根据正方体的几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为3， 所以球的半径为，其表面积是. 故选：C 2．（24-25高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：     图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 3．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 5．（24-25高一下·广东广州·期中）某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求得圆锥的高和母线长，进而判断轴截面三角形为等边三角形，得出圆锥外接球球心位置，计算得出半径，得出结果. 【详解】作出如图所示轴截面，设圆锥底面半径为，则圆锥的高，设圆锥母线长为，    由勾股定理可得 ， 因为圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1， 所以，轴截面三角形面积为， 解得 ，则圆锥的高 ， 所以母线， 三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为， 设外接球半径为，则， 根据球的表面积公式，可得. 所以该圆锥外接球的表面积为. 故选：B 6．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可. 【详解】因为，，则为直角三角形， 和的外心分别为斜边的中点， 连接，取的中点， 则为三棱柱外接球的球心， 其外接圆半径为， 则半径， 则外接球的表面积为. 故选：C 7．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正六棱柱有内切球，则到每个面的距离相等，即，可求内切球的半径，根据可求外接球的半径，代入球的面积公式计算． 【详解】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点 设正六棱柱的底面边长为 若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径 ，即外接球的半径 则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为 故选：C． 8．若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， ，，， 所以，， 由，设， 可得， 解得， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 9．圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据圆台的表面积公式和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台的高为，上、下底面圆的圆心分别为，圆台外接球的半径为， 圆台的表面积为， 解得，，则. 由图可知， 有，即， 解得，则， 所以外接球的表面积为. 故选：C 10．已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 11．体积为1的正三棱锥的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据体积公式得到底面边长和三棱锥的高的关系，再由正三棱锥和其外接球的几何关系，得到外接球半径与底面边长比值表达式，再化简利用基本不等式求得最值即可. 【详解】如图，设正三棱锥的底面边长为，高为，外接球半径为. 因为体积为1，所以，所以. 不论外接球的球心在正三棱锥的内部（图1），外部（图2）还是与重合（图3）， 其外接球半径均满足， 将代入化简得， 当且仅当即时取等号，所以最小值为. 故选：D. 12．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析出三棱柱外接球的球心的位置，并求出到上、下底面的距离，由正弦定理求出外接圆的半径，即可根据求出球的半径，再根据球的体积公式计算即可得解. 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 13．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用轴截面图形，把空间问题转化为平面问题，再利用解三角即可得解. 【详解】取圆台轴截面如图所示， 外接球球心在中轴线上． 由勾股定理可知，，设，， 则, 解得． 先设的中点到的距离为， 再用等面积法可得：， 则有：， 此时， 从而可知内切球半径， 所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为， 故选：C． 14．（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是 【答案】A 【分析】C选项，由体积法求内切球半径；D选项，正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；A选项，由底面积和高求四面体的体积；B选项、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可． 【详解】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形， 所以正四面体的表面积．故D选项正确； 如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心， 正四面体各棱长为，则，，， 四面体的体积为，故A选项错误； 正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r， 则有，即，解可得，C选项正确； 将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线， ∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为， 正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长， 所以正方体的对角线为，，．故B选项正确． 故选：A． 15．在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据几何关系找出外接球的直径，再通过正弦定理求出外接圆的直径，最后经过勾股定理即可求出外接球的直径，继而得到体积． 【详解】如图所示， 设DE为外接圆的直径，且为外接圆圆心，O为外接球的球心， 则根据对称性，知D、E、、处于同一平面， 因为平面ABD，平面ABD，所以，也即C也在平面ODE中， 且由于，所以CE为球O某一截面圆的直径，又因为该截面过球心O， 所以CE即为外接球的直径， 根据正弦定理可得外接圆的直径， 则在中，可得外接球直径为， 则三棱锥的外接球体积为． 故选：C． 16．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 17．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心，再求出三棱锥的高，利用勾股定理即可求解外接球半径. 【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为， 所以底面正三角形的内切圆的半径为， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点，连接PO，即为三棱锥的高， 如图，过球心作的垂线交于，则， 又因为，所以, 又与相似， 所以，则，即. 因为外接圆的半径为，正三棱锥外接球的球心在上， 设半径为，则，即, 解得. 故选：D. 18．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 【答案】A 【分析】根据正四棱锥及其外接球的特征，利用勾股定理求得底面对角线的一半的长，再求得底面正方形的边长和正四棱锥的侧棱长，利用余弦定理求得侧面的顶角余弦值，计算正弦值，利用三角形面积公式计算一个侧面的面积，进而求得全面积. 【详解】如图，在正四棱锥中，设底面的中心为，外接球的球心为， 则，，则， 在中，， 则在正方形中，，则， 又， 则， 所以， 则， 正方形的面积为， 则正四棱锥的表面积为. 故选：A. 19．四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正弦定理求出的外接圆半径，作于点，求得，证明，先后求得，得，求出，进而，推得点为该四面体外接球的球心，即可求得其表面积. 【详解】如图，设的外心为点，过点作于点，连接， 取边的中点为点，连接，则. 因平面平面平面平面， 平面， 则平面又平面故. 因为，，所以， 在中，由正弦定理，，解得， 在中，，则， 在中，由面积相等可得，解得， 则，， 在中，，在中，， 即，故点为该四面体外接球的球心，故其表面积为. 20．已知正三棱锥的侧面与底面所成角为，球为该三棱锥的内切球，球在三棱锥内，与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面正三角形的边长为，设出球和的半径为，，利用等体积法表示出，利用三角形相似表示出，即可得到答案. 【详解】设正三棱锥的底面正三角形的中心为，取中点，连接, 因为正三棱锥的性质，底面，， 所以就是侧面与底面所成二面角的平面角，即, 设底面正三角形的边长为，则， 在中，，已知， 所以， 设球的半径为，根据正三棱锥的体积公式，以及正三棱锥的表面积公式， 底面正三角形的面积，正三棱锥的体积， 正三棱锥的侧面积，在中，， 所以，，则正三棱锥的表面积， 根据正三棱锥的体积还可以表示为，即，解得. 设球的半径为，因为球与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切， 所以球的球心在上，且， 由于球与三个侧面相切，根据正三棱锥的对称性，球的球心到三个侧面的距离相等，且等于， 设球与侧面的切点为，则点在上，, 得相似于，则，即，解得， 所以球与球的半径之比. 故选：B.      21．（24-25高一下·陕西西安·期末）在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得平面，将三棱锥补全成长方体，进而可求外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】根据题意，底面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将三棱锥补全成长方体，如图，    则此三棱锥的外接球的半径为， 其三棱锥外接球的体积为. 故答案为： 22．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 【答案】 【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案. 【详解】如图：      将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 23．（24-25高一下·天津南开·期末）正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 【答案】 【分析】由题意推出球心到四个顶点的距离相等，利用直角三角形，求出球的半径，即可求出外接球的体积． 【详解】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2， 所以，则， 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等， 在直角三角形中，，， 由，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以它的外接球的体积为. 故答案为：． 24．（2026高一·全国·专题练习）已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 【答案】或 【分析】由棱台的结构特征结合多面体的外接球问题求解即可. 【详解】如图所示，设，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为， 则由正弦定理，得， 即． 因为，所以． 设外接球的半径为，由外接球的体积为，得，即． 设球心到上､下底面的距离分别为， 所以， 故（图1）或（图2）， 即或，解得或， 所以的面积为或． 25．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径. 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $