4.问题解决策略：特殊化-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

三角形 第四章 问题解决策略：特殊化 自主导学Q典例精析 例题如图，点O是长方形ABCD对角线AC的中点，过点O的 直线1与长方形的一组对边相交，在直线1绕点0旋转过程中，直线1将 长方形ABCD分割为两部分图形，探究这两部分图形面积的数量关系。 【分析】因为直线1旋转的角度不确定，所以分割的两部分图形也不 例题图 同，但一些特殊位置很容易确定分割的这两部分图形面积的数量关系， 再将一般位置转化为特殊位置的情况。 【解答】①如图1，将直线l旋转到与AC重合的位置， 在△ABC和△CDA中，因为AB=CD,BC=DA,AC=CA, 所以△ABC≌△CDA(SSS)。所以Saa=SA=2S长方1 图1 ②如图2，将直线l旋转到与BC,AD边垂直，与两边交于点F,E, 因为BC∥AD,所以∠AEO=∠CFO。 因为0是AC的中点，所以AO=C0。 因为∠AEF=∠CFE,∠AOE=∠COF,AO=C0, 所以△AEO≌△CF0(AAS)。所以S△MB=S△co 因为S四边形AB=S四边形ABFO十S△AEO, 图2 所以S四边形=S国形mSAm=SA1C=)S长方形Am 2 所以S四边形AB=S四边形EFCDo E ③如图3，下面我们将一般情形转化为特殊情形， 设将直线I旋转到与BC,AD边交于点F,E, 因为BC∥AD,所以∠AEF=∠CFE。 图3 与②方法相同，可得S四边形A=S四边形cD: 例题答图 综上所述，过对角线中点O的直线I将长方形ABCD分割成的两部分图形的面积相等。 【点拨】在探究一些复杂几何图形中元素之间的数量关系和位置关系时，我们常常将图 形的形状特殊化，或将图形中的某些元素的位置特殊化，通过特殊化的情形发现要探究的图 形元素之间的关系，然后将一般性的图形结构转化为特殊化的图形结构，进而达到解决问题 的目的。解这类问题时，要根据组成图形元素的特征，确定将哪些几何元素特殊化。一般 地，特殊化的切入点是线段之间的平行关系、垂直关系或共线关系，图形特殊化也可以从图 形的边相等、线段的倍分关系，角相等、角的倍分关系，或从90°，60°，45°，30°等特殊角 的情形考虑。 95 数学 七年级下册（北师大版） 能力提升坤综合拓展 1.善于思考的小聪发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”似乎存在 着一定的规律，于是他从特殊的两位数开始深入探究，然后再将其推广到一般化的形式： 【发现规律】 (1)计算下列两个数的积： ①21×29= ②38x32= ③47×43= ④75x75= ⑤84x86= (2)你发现上述算式中的两个因数与运算结果有什么规律？请用文字语言描述你的 发现。 【应用规律】 (3)①请用上述发现的规律计算：94x96= ②请你写出一个具有类似结构特征的两位数乘法： 【验证规律】 (4)设其中一个因数的十位数字为a,个位数字为b(1≤a≤9,1≤b≤9；a,b都是正 整数)，请你用含有α，b的代数式表示这两个因数，并用所学的整式的乘法说明你发现的规 律是正确的。 96 三角形 第四章 2.在数学课上，张老师要求学生们用特殊化的解题策略解答下列问题。 如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=90°- )∠a,且线段BD与CE交于点P,探究∠BPC与∠Q的数量关系。 小王同学的解题思路如下： 先令∠等于60°和90°，然后运用三角形全等的判定和性质，得出角的相等关系，再利 用“八字型”图形的结构特征以及三角形内角和定理，求出这种情形下∠BPC的度数，先后 根据这两种情形∠BPC的度数猜想∠BP℃与∠α的数量关系，最后给出一般化的推理。 请你先阅读理解小王的解题思路，然后按照小王特殊化的方法解答下列问题。 图1 图2 图3 第2题图 (1)如图2，当∠a=60°时，求∠BPC的度数。 (2)如图3，当∠a=90°时，求∠BP℃的度数 (3)根据(1)(2)的结果猜想∠BPC与∠a的数量关系，并说明理由。 ⑦7.解：(1)全等。理由：因为点C是线段AB的 中点，所以AC=BC。又因为CD平分∠ACE,CE平分 ∠BCD,所以∠1=∠2，∠2=∠3。所以∠1=∠3。在 △ACD和△BCE中，因为CD=CE,∠1=∠3，AC=BC 所以△ACD≌△BCE(SAS)。(2)因为∠1+∠2+ ∠3=180°，所以∠1=∠2=∠3=60°。由(1)知 △ACD≌△BCE,所以∠D=∠E=50°。所以∠B=180° ∠E-∠3=70°。8.解：在△DAB和△CBA中，因为 AD=BC,∠DAB=∠CBA,，AB=BA,所以△DAB≌ △CBA(SAS)。所以AC=BD。9.解：因为点D是 BC的延长线上一点，DE∥AB，,所以∠D=∠ABC。在 △BDE和△ABC中，BD=AB,∠D=∠ABC,DE=BC 所以△BDE≌△ABC(SAS)。所以BE=AC。 3探索三角形全等的条件（第4课时） 1.答案不唯一，如AD=AE或∠B=∠C或∠AEB= ∠ADC。2.C3.解：(1)在△CDA和△DCB中 因为AD=BC,AC=BD,DC=CD,所以△CDA≌△DCB (SSS)。所以∠ADC=∠BCD。(2)因为△CDA≌ △DCB,所以∠DAC=∠CBD。因为∠AED=∠BEC AD=BC,所以△AED≌△BEC(AAS)。所以DE=CE 4.解：(1)因为CF∥AB,所以∠A=∠ACF, ∠ADF=∠F。因为E为AC的中点，所以AE=CE。在 △AED和△CEF中，∠A=∠ACF,∠ADE=∠F,AE= CE,所以△AED≌△CEF(SAS)。所以EF=ED。(2) 因为CF∥AB,所以∠ABC+∠BCF=180°。因为BE平分 ∠ABC,AC平分∠BCF,所以∠ACB=∠ACF,∠ABE= ∠CBE。所以LCBE+LACB=号（LABC+LBCF) =90°。由(1)知∠A=∠ACF,又因为∠A=65° 所以∠ACF=∠ACB=65°。所以∠CBE=90°-∠ACB= 25°。所以∠ABC=2∠CBE=50°。 5.解：AB+AC>2AD。如图， 延长AD到点E,使DE=AD,连 接BE,则∠ADC=∠EDB。又因 为AD是中线，所以BD=CD 所以△ADC≌△EDB(SAS)。 所以AC=BE。因为AB+BE>AE， 所以AB+AC>2AD。6.解： (1)因为AC,BD相交于点E, E ∠ACB=∠ADB,点F在ED上， 所以∠ACB=∠ADF。因为 第5题答图 ∠BAF=∠EAD,所以∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF。 所以∠BAC=∠FAD。在△ABC和△AFD中，∠BAC= ∠FAD,AC=AD,∠ACB=∠ADF,所以△ABC≌ △AFD(ASA)。(2)由(1)得△ABC≌△AFD,所 以AB=AF。又因为BE=FE,AE=AE,所以△ABE≌ △AFE(SSS)。所以∠AEB=∠AEF=号×180=-90°。所 以AC⊥BD。7.解：(1)因为CD∥BE,所以 ∠DCA=∠B。因为点C是线段AB的中点，所以AC= CB=号AB。在△DAC和△ECB中，∠A=LECB,AC CB,∠DCA=∠B,所以△DAC≌△ECB(ASA)。 （2)因为AB=16,所以AC=CB=7AB=8。因为 CD∥BE,所以∠DCE=∠BEC。由(I)可知， △DAC≌△ECB,所以CD=BE。在△DCE和△BEC 中，CD=BE,∠DCE=∠BEC,CE=EC,所以△DCE≌ △BEC(SAS)。.∴DE=BC=8。 4利用三角形全等测距离 1.C2.B3.解：因为∠ACD=∠ACB,AC= 1 参考答案与提示 AC,∠BAC=∠CAD=90°，所以△ABC≌△ADC (ASA)。所以AB=AD。4.解：如图，因为CE⊥ MN,BF⊥MN,CA⊥AM,NM⊥AM,所以∠CEF= ∠BFE=∠CAM=∠AME=90°。所以CE∥AM。所以 ∠2=∠CMA。因为∠1=∠2，所以∠1=∠CMA。因为 BF=AM,∠BFE=∠CAM,所以△BFN≌△MAC (ASA)。所以NF=AC=AB+BC=49(m)。所以MN= NF+MF=NF+AB=49+31=80(m)。答：商业大厦MW 的高度为80m。5.解：(1)因为PA=PD,PB= PC,∠APB=∠DPC,所以△APB≌△DPC(SAS)。 所以CD=BA。又因为CD=35m,所以AB=35m。 (2)可行。理由：因为BD⊥AB,ED⊥BF,所以 ∠ABD=∠BDE=90°。又因为BC=CD,∠ACB=∠ECD, 所以△ACB≌△ECD(ASA)。所以DE=AB。目的是 使∠ABD=∠BDE。若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方 案仍然成立。因为∠ABD=∠BDE,BC=CD,∠ACB= ∠ECD,所以△ACB≌△ECD(ASA)。所以DE=AB。 6.解：如图，连接ME,MF,因为AB∥CD,所 以∠B=∠C。又因为BE=CF,BM=CM,所以 △BEM≌△CFM(SAS)。所以∠BME=∠CMF。又因 为点M在BC上，所以∠BME+∠CME=180°。所以 ∠CMF+∠CME=180°，即∠EMF=180°。所以E,F, M三点在同一条直线上。7.B8.D C 第4题答图 第6题答图 ☆问题解决策略：特殊化 1.解：(1)①609②1216③2021④5625 ⑤7224(2)如果两个因数的十位上的数字相同， 个位上数字的和为10，那么这两数的积的前两位是十 位上的数与该数加1的积，后两位是这两数个位上的 数的积，若积的数位不足两位，则用零补齐。(3) ①9024②答案不唯一，如31×39(4)10a+b, 10a+(10-b)理由：(10a+b)(10a+10-b)=100a2+100a- 10ab+10ab+10b-b2=100a(a+1)+b(10-b)。2.解： (1)因为a=60°，所以∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED= 90°-号&=60°。因为LABC+LACB+LBMC=180°， ∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，所以∠BAC=180°-60°- 60°=60°，∠DAE=180°-60°-60°=60°。所以∠BAC= ∠DAE。所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以 ∠BAD=∠CAE。又因为AB=AC,AD=AE,所以 △BAD≌△CAE(SAS)。所以∠ABD=∠ACE。由三角 形内角和定理，得∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BPC,所 以∠BPC=∠BAC=60°=&。(2)因为a=90°，所以 ∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=90°-a=45°。因为 ∠ABC+∠ACB+∠BAC=18O°，∠ADE+∠AED+∠DAE= 180°，所以∠BAC=180°-45°-45°=90°，∠DAE=180°- 数学 七年级下册（北师大版） 45°-45°=90°。所以∠BAC=∠DAE。所以∠BAC+ ∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以∠BAD=∠CAE。又因为 AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE(SAS)。所以 ∠ABD=∠ACE。由三角形内角和定理，得∠ABD+ ∠BAC=∠ACE+∠BPC,所以∠BPC=∠BAC=90°=a。 (3)由(1)(2)猜想∠BPC=a。因为∠ABC= ∠ACB=∠ADE=∠AED-90P-号a,∠ABC+∠ACB+ ∠BAC=180°，∠ADE+∠AED+∠DAE=18P,所以∠BAC= 180-290-3aa,∠D1B=180-290r-2a-e。 所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以∠BAD= ∠CAE。因为AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE (SAS)。所以∠ABD=∠ACE。由三角形内角和定理， 得∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BPC,所以∠BPC= ∠BAC=a。 第五章图形的轴对称 1轴对称及其性质 1.两一2.DDE∠E3.204.①②④5. ③④6.C7.C8.D9.C10.①③⑥是轴对称图 形，画对称轴略。11.解：因为△ABC与△AEC关 于直线AC对称，所以AB=AE,∠E=∠B=∠D=90°。 又因为AB=CD,所以AE=CD。又因为∠AFE=∠CFD, 所以△AFE≌△CFD(AAS)。所以DF=EF。12.解： 因为AD∥BC,所以∠DEF=∠EFG=55°。又由折叠知 ∠D'EF=∠FED=55°。在△EFG中，∠GEF+∠EFG+ ∠EGF=180°，所以∠EGF=180°-∠GEF-∠EFG=70°。 13.根据轴对称的性质作图，图形略。14.解：因 为点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点 P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，所以 MQ=PM,NR=PN。因为PM=2.5cm,PW=3cm, MN=4cm,所以NR=PW=3cm,MQ=PM=2.5cm。所以 NQ=MW-MQ=4-2.5=1.5(cm)。所以QR=RNW+NQ=3+ 1.5=4.5(cm)。15.解：因为∠A=70°，∠ADE+ ∠AED+∠A=180°，所以∠ADE+∠AED=180°-70°= 110°。因为△ABC沿着DE折叠，点A与点A'重合 所以△ADE与△A'DE关于直线DE成轴对称。由轴对 称性质，得∠A'DE=∠ADE,∠A'ED=∠AED。因为 ∠1+∠A'ED+∠AED=180°，∠2+∠A'DE+∠ADE= 180°，所以∠1+∠2=180°-（∠A'ED+∠AED)+180° (∠A'DE+∠ADE)=360°-2（∠AED+∠ADE)=140°。 16.解：如图，连接AA'交DE于D A 点0，由轴对称性质知A'0=A0。 G 因为AE∥A'D,所以∠DA'O= ∠EAO,∠A'DO=∠AE0。所以 △A'OD≌△AOE(AAS)。所以 A--- DO=E0。又因为∠A'OE=∠AOD, B A'0=A0,所以△A'0E兰△AOD第16题答图 (SAS)。所以A'E=AD。由轴对称性质知A'E=AE, EG=AE,BC=CH,所以AD=EG。因为AD=BC,所以 EG=CH。17.82.5°或52.5°或37.5°18.D19.D 2简单的轴对称图形（第1课时） 1.3或52.110°或140°3.204.B5.D6. 解：在△ADB和△ADC中，因为AB=AC,AD=AD, DB=DC,所以△ADB≌△ADC(SSS)。所以∠BAE= ∠CAE。所以AE是△ABC底边BC上的中线。所以 BE=CE。7.解：因为AB=AC,所以∠C=∠B=30°。因 为∠C+∠BAC+∠B=180°，所以∠BAC=180°-30°-30°= 120°。因为∠DAB=45°，所以∠DAC=∠BAC-∠DAB= 120°-45°=75°。8.解：因为AB=AC,所以∠B=∠C。 1 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，所以∠B=∠C= 5O°。因为BE=BP,CP=CF,所以∠BPE=∠BEP, ∠CPF∠CP,所以∠BPE=90-7LB,∠CPF-90P- ↓∠C。所以∠BPE=∠CPF=65°。所以LEPF=180°-2x 65°=50°。9.解：是。理由：因为D0=BD,所以 ∠DBO=∠DOB。又因为DE∥BC,所以∠CBO= ∠DOB。所以∠DBO=∠CBO。所以BO为∠ABC的平 分线。同理，CO是∠ACB的平分线。 10.解： (1)在△ABC和△ADE中，因为BC=DE,∠B=∠D. AB=AD,所以△ABC≌△ADE(SAS)。(2)由(1) 得△ABC≌△ADE,所以AC=AE,∠DAE=∠BAC= 6O°。所以∠AEC=∠ACE。因为∠DAE+∠AEC+ ∠ACE=180°，所以∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°- ∠DAE=120°，所以∠ACE=60°。11.解：(1)因为 AB=BC,∠A=15°，所以∠BCA=∠A=15°。所以 ∠ABC=180°-2∠A=150°。所以∠CBD=30°。因为BC= CD,所以∠CDB=∠CBD=30°，所以∠BCD=180°- 2∠CBD=120°。所以∠DCE=180°-∠BCD-∠BCA=180° -120°-15°=45°。因为CD=DE,所以∠CED=∠DCE= 45°，所以∠CDE=180°-2∠DCE=90°。所以∠EDF= 180°-∠CDB-∠CDE=180°-30°-90°=60°。因为DE=EF 所以∠DFE=∠EDF=60°。所以∠DEF=60°。所以 ∠FEN=180°-60°-45°=75°。 (2)除△ABC外共有4 个，还能以F为顶点、EF为腰作出一个顶角为30°、 底角为75°的等腰三角形。12.解：(1)20120 小(2)当DC=3时，△ABD≌△DCE。理由：因为 DC=3,AB=AC=3,所以AB=DC=AC。因为∠C=40°， 所以∠ADC=∠D1C=号10P-∠C=70.所以∠ADB= 180°-∠ADC=110°。因为∠B=40°，∠ADE=40°，所 以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-110°-40°=30° ∠CDE=∠ADC-∠ADE=70°-40°=30°。所以∠BAD= ∠CDE。在△ABD和△DCE中，∠B=∠C,AB=DC ∠BAD=∠CDE,所以△ABD≌△DCE(ASA)。综上所 述，当DC=3时，△ABD≌△DCE。(3)当DA= DE时，∠DAE=∠DEA。因为∠ADE=40°，所以 ∠DAE=LDEA=号(I80-LADE)=70P。所以LADC 180°-∠DAE-∠C=180°-70°-40°=70°。所以∠BDA= 180°-∠ADC=180°-70°=110°。13.100°14.615. 516.66°17.100°18.B19.B20.解：(1)因 为∠BAD=∠EAC,所以∠BAD-∠CAD=∠EAC- ∠CAD。所以∠BAC=∠EAD。在△ABC和△AED中， AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,所以△ABC≌ △AED(SAS)。(2)因为AC=AD,所以∠ACD= ∠ADC。由(1)可知，△ABC≌△AED,所以 ∠ACB=∠ADE。所以∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC。 所以∠BCD=∠EDC。 2简单的轴对称图形（第2课时） 1.52.533.86°4.A5.D 6.解：因为AD平分∠CAB,所以 ∠CAD=∠DAE。又因为DE垂直平分 AB,所以DA=DB。所以∠B=∠DAE。 因为∠C=90°，所以∠CAB+∠B=90°， 则∠CAD+∠DAE+∠B=90°，故∠B= 30°。7.如图即为所求。8.如图所 示。9.解：①如图，连接PC,作线 B 段PC的垂直平分线MN,交AC于点 E,点E即为所求。②连接PE,因第7题答图