精品解析：安徽省淮北市相山区淮纺路中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025~2026学年度第二学期第二次素养评估 八年级数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程 时，配方后得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在，三边长分别记为、、，则满足下列条件的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（ ）元/个时，月利润为9600元 A. 32 B. 28 C. 32或36 D. 32或28 7. 如图，正方形ABCD（四边相等、四内角相等）中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE＝DF＝3，则EF的平方为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 8. 如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 9. 若实数满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 13. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 14. 如图，在Rt中，，，点，在上，连接，且． （1）若，则的长度为___________； （2）若，则的长度为___________． 三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 解方程： 四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 17. 经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 18. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，平分，且交于点，交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，，求的面积． 20. 如图，是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接． （1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若，连接，试判断的形状，并说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在△ABC中，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在的延长线上运动时，的长为___；（用含t的代数式表示） （2）若点P在的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期第二次素养评估 八年级数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A、当时， 无意义，故此选项错误； B、当时，无意义，故此选项错误； C、当时，无意义，故此选项错误； D、无论取什么值，都有意义，故此选项正确； 故选D． 2. 用配方法解方程 时，配方后得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 在，三边长分别记为、、，则满足下列条件的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理与三角形内角和定理逐一判断选项即可． 【详解】A、，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，该选项不符合题意； B、设， 三角形内角和为, ， 解得, 最大角， 不是直角三角形，该选项符合题意； C、 又 。即， 是直角三角形，该选项不符合题意； D、设 ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，该选项不符合题意． 4. 一个多边形的内角和不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，边形的内角和为(且为整数)．根据多边形的内角和计算公式列方程求解作答． 【详解】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是． 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答． 【详解】解：， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（ ）元/个时，月利润为9600元 A. 32 B. 28 C. 32或36 D. 32或28 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 7. 如图，正方形ABCD（四边相等、四内角相等）中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE＝DF＝3，则EF的平方为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据AB=5，AE=4，BE=3，可以确定△ABE为直角三角形，延长BE构建出直角三角形，在利用勾股定理求出EF的平方即可. 【详解】∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD=5， 如图，延长BE交CF于点G， ∵AB=5，AE=4，BE=3， ∴AE2+BE2=AB2， ∴△ABE是直角三角形， 同理可得△DFC是直角三角形， ∵AE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5， ∴△ABE≌△CDF, ∴∠BAE=∠DCF, ∵∠ABC=∠AEB=902， ∴∠CBG=∠BAE， 同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE， △ABE≌△BCG， ∴CG=BE=3，BG=AE=4， ∴EG=4-3=1，GF=4-3=1， ∴EF2=EG2+GF2=1+1=2 故选择:A 【点睛】此题考查三角形的判定，勾股定理的运用，根据已知条件构建直角三角形求值是解题的关键. 8. 如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，由勾股定理得到，两式相减，通过整式的化简即可得到结论． 【详解】解：∵将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了翻折变换—折叠问题，勾股定理，整式的化简，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9. 若实数满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解． 【详解】解：∵实数，满足，且， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，先求出，根据三角形面积公式求出，得出点P到直线的距离为1，说明点P在直线上，根据轴对称可得：，，，从而得出，根据两点之间线段最短，得出当C、P、在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，如图所示： ∵在等腰直角三角形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即点P到直线的距离为1， ∵，且过点P， ∴点P在直线上， 根据轴对称可得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当C、P、在同一直线上时，最小，即最小， ∴当点P在点处时，最小，且最小值为的长度， 根据勾股定理得：， ∴最小值为． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，熟知二次根式乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 14. 如图，在Rt中，，，点，在上，连接，且． （1）若，则的长度为___________； （2）若，则的长度为___________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出结果即可； （2）过点C作，取，连接，，证明，得出，，根据勾股定理得出，证明，得出． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去； （2）过点C作，取，连接，，如图所示： ∵在Rt中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘法、去绝对值符合、计算零指数幂，再合并同类二次根式即可得． 【详解】原式． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则、绝对值性质及负整数指数幂． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； 【详解】解： ， ， 或， 所以， ； 四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 17. 经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【解析】 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 18. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），； （2）详见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； 【小问2详解】 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，平分，且交于点，交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，由 平分推出，得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，，继而得到，根据勾股定理求出，得到． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，． ，， 平分， ． ． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接． （1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），见解析 （2）直角三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）先证，再证即可； （2）先证为正三角形，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形． 【小问1详解】 解：猜想：， 证明：， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：是直角三角形．理由如下： 由， 可设，连接， ，且， 为正三角形， ， 又， ， 是直角三角形． 六、（本题满分12分） 21. 在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8或16． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简、完全平方公式，解题的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）仿照所给的方法求解即可； （2）将化成，再代入求解； （3）利用所给的方法进行分析，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴； （3）①当，， ②当，． 综上所述，或． 七、（本题满分12分） 22. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）88元 （3）公司每天能获得9000元的利润，此时定价为90元 【解析】 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列一元二次方程，求出x的值，然后列出一元一次不等式，求出不等式的解集，即可求出答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将，代入得：， 解得， 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得：， 解得：， ∵要求优惠力度最大， 取， ． 答：每双运动鞋的售价应该定为88元； 【小问3详解】 解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： 根据题意得， 整理得， 解得． ∵每双运动鞋的利润不低于成本价的， ， 解得：符合题意， 公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的定价为元． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在△ABC中，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在的延长线上运动时，的长为___；（用含t的代数式表示） （2）若点P在的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为或或4 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求得的值，根据线段的和差关系解答即可；再设斜边上的高为，由面积法可求得答案； （2）根据角平分线的性质解答即可； （3）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， ∵已知点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动， ∴当点在的延长线上时，点运动的长度为：， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：过点P作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵点在的角平分线上， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 即若点在的角平分线上，则的值为． 【小问3详解】 解：当作为底边时，如图所示： 则，设，则， 在中，， ， 解得：， 此时； 当作为腰时，如图所示： ，此时； 时， ∵， ∴， 此时， 综上分析可知，的值为或或4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $