精品解析：陕西省榆林市定边县第七中学2025-2026学年度第二学期模拟九年级数学试题

2026年陕西省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点 （A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下面四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 我国机器人产业已实现规模、市场与应用的全球领先，下面有关机器人的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，则∠3的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是矩形的对角线，点是边上一点，连接．若，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：_______. 10. 芳芳同学用两个全等的正五边形硬纸片和一个正n边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图是所拼的这个平面图形的一部分，则可求得n的值为_________． 11. 被誉为“世界第八大奇迹”的兵马俑吸引了众多游客前来参观．该景区某文创店计划打折销售一款跪射俑摆件，如果按标价的五折出售，每个跪射俑摆件亏损10元；如果按标价的八折出售，每个跪射俑摆件盈利14元，这款跪射俑摆件每个的标价为______元． 12. 如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 13. 通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）与距离（单位：）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为______． 14. 如图，在菱形中，，，点E，F分别是边上的点，过点E作于点E，交对角线于点H，连接．已知，．则______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组： 17. 化简： 18. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在正方形中，点是边上一点，延长至点，使得，连接，．求证：． 20. 中国航天以卓越的科技力量，打开了人类认识宇宙的大门．为了深化科普教育、厚植学生的爱国情怀与航天梦，某校九年级开展了航天科技主题班会，同学们可以从以下五个航天产品：A．长征二号、B．对地观测卫星、C．天宫一号、D．天舟一号、E．通信广播卫星中随机选择一个航天产品进行研究，老师在五张完全相同的不透明卡片的正面贴上如图所示的图案，卡片背面完全相同．然后将五张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上． （1）李阳从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“天舟一号”的概率为______； （2）若小秦先从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，珊珊从中再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求他们两人抽取的航天产品相同的概率． 21. 揽月阁位于西安市雁塔南路，以航天文化为主题，融合唐代建筑神韵与现代科技元素，与大雁塔、大明宫等遥相呼应．小辰和小宇想要测量揽月阁的高度，在经过思考后，设计了合适的测量方案，测量示意图如图所示，他们在揽月阁（）的影子顶端处，直立一根高为 的竹竿，经测量，同一时刻竹竿的影长，接下来小辰沿着方向从点出发走了 到达点处（即），从点处竖直将一架无人机飞至距离地面的点处（即）．此时小宇在揽月阁底部测得无人机的仰角．已知，，，点，，，在一条直线上，求揽月阁的高度．（参考数据：，，） 22. 智能废品回收箱作为一种新兴的环保科技产品，可以提升回收便利性．锦城小区投放了智能废品回收箱，居民通过投放可回收物获得相应费用．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，可回收物的价格有所提升．其中总费用y（元）与投放质量x（）之间的函数关系如图所示． （1）求段所在直线的函数表达式； （2）当赵阿姨投放可回收物时，可以获得多少元？ 23. 少年有梦，应怀国家情怀；青春热血，关心天下之事，为鼓励学生关心时事热点，阳光中学举办了一场“中国事，我知道”的问卷调查．调查结束后从九年级学生中用科学的抽样方法随机抽取了20名学生的成绩（满分100分）进行整理、分析，部分信息如下：其中B组的成绩依次为：75，76，78，78，78，80，83，84． 组别 成绩x/分 组内平均数 A 90 B 79 C 70 D 62 （1）补全图中的条形统计图，B组成绩的众数是______分，这20名学生成绩的中位数是______分； （2）求抽取的这20名学生的平均成绩； （3）若该校九年级一共有600名学生，估计成绩不低于75分的学生有多少人？ 24. 如图，、分别与相切于点、，且与相交于点，过点作，交的延长线于点．其中，． （1）求证：； （2）求的半径． 25. 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，某校在设计校门时使用了拱形校门，图1是其效果图，该校门由墙壁、拱形钢架和电动推拉门组合而成．图2是其正面示意图，校门两侧是边长均为的正方形和正方形的墙壁，在墙壁的顶点B，F处设计了一个拱形钢架（呈抛物线型）．如图2以水平地面为x轴，过点O，且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时拱形门的最高点M距离地面，与y轴的水平距离为． （1）求该拱形钢架所在抛物线的函数表达式； （2）学校在钢架拱门内壁悬挂一个平行于地面的矩形横幅，点P，Q分别为悬挂点，悬挂点P与y轴的水平距离为，横幅的宽为，请你计算横幅最低点离地面的距离． 26. 问题提出 （1）如图1，在四边形中，，为对角线，，，，求四边形的面积； 问题解决 （2）近年来，我国在航天、深海、人工智能等关键领域的科技进步，让世界对中国刮目相看．为了激发青少年的科创精神，某中学计划在校园的一块空地开设科创区．如图2，该空地的形状为四边形，且，，，．按照设计方案，在该空地的边上确定点M，N，使得，连接后所形成的区域设置为科技体验区，将五边形区域设置为观摩区，经调查，学生希望观摩区的面积尽可能小，请问观摩区的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点 （A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下面四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵负数都小于正数， ∴排除A，B选项， 又∵，且算术平方根中，被开方数越大，算术平方根越大，， ∴， ∴四个数中最大的数是． 2. 我国机器人产业已实现规模、市场与应用的全球领先，下面有关机器人的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3. 如图，已知，，，则∠3的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：作，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：与不是同类项，不能合并，A计算错误； B选项：，B计算错误； C选项：，符合单项式乘法运算法则，C计算正确； D选项：，D计算错误． 5. 如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先推导出，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴． 6. 已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意判断出，则的图象经过第一、二、四象限，由此判断选项即可． 【详解】解：∵的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象经过第一、二、四象限， ∴只有选项B符合题意． 7. 如图，，是矩形的对角线，点是边上一点，连接．若，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意容易证明，则，计算得，由矩形的性质可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数图象与x轴有交点，利用判别式大于等于0求出a的范围，再求出抛物线对称轴，结合开口方向和时，y随x的增大而增大的性质，得到对称轴的限制条件，最后取两个范围的交集得到结果． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， 又∵当时，y随x的增大而增大，且抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴对称轴满足，解得， ∴a的取值范围是． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：_______. 【答案】． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可 【详解】解：， 故答案为：． 10. 芳芳同学用两个全等的正五边形硬纸片和一个正n边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图是所拼的这个平面图形的一部分，则可求得n的值为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据无缝拼接的条件计算出正n边形的内角的度数，再由多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角为， ∴由题意得：正n边形的内角为， ∴， 解得， ∴n的值为10． 11. 被誉为“世界第八大奇迹”的兵马俑吸引了众多游客前来参观．该景区某文创店计划打折销售一款跪射俑摆件，如果按标价的五折出售，每个跪射俑摆件亏损10元；如果按标价的八折出售，每个跪射俑摆件盈利14元，这款跪射俑摆件每个的标价为______元． 【答案】80 【解析】 【分析】设出摆件标价，根据进价不变建立等量关系，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这款跪射俑摆件每个的标价为元，该摆件进价固定不变． 根据题意列方程： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 12. 如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆心角的性质可得，进而可判断是等边三角形，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 13. 通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）与距离（单位：）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再计算出时，的值． 【详解】解：设， 将点代入，得， ∴， 将代入，得． 14. 如图，在菱形中，，，点E，F分别是边上的点，过点E作于点E，交对角线于点H，连接．已知，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得．证明，推出．用三角函数解和，得出．进而根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵于点E，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在中，． 在中，． ∴． ∴． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 17. 化简： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作的平分线交的垂直平分线于点P，连接即可． 【详解】解：如图，点P即为所求， ∵平分，， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴． 19. 如图，在正方形中，点是边上一点，延长至点，使得，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，进而可证明，因此． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 中国航天以卓越的科技力量，打开了人类认识宇宙的大门．为了深化科普教育、厚植学生的爱国情怀与航天梦，某校九年级开展了航天科技主题班会，同学们可以从以下五个航天产品：A．长征二号、B．对地观测卫星、C．天宫一号、D．天舟一号、E．通信广播卫星中随机选择一个航天产品进行研究，老师在五张完全相同的不透明卡片的正面贴上如图所示的图案，卡片背面完全相同．然后将五张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上． （1）李阳从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“天舟一号”的概率为______； （2）若小秦先从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，珊珊从中再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求他们两人抽取的航天产品相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人抽取的航天产品相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“天舟一号”的概率为 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中他们两人抽取的航天产品相同的结果有5种， ∴他们两人抽取的航天产品相同的概率． 21. 揽月阁位于西安市雁塔南路，以航天文化为主题，融合唐代建筑神韵与现代科技元素，与大雁塔、大明宫等遥相呼应．小辰和小宇想要测量揽月阁的高度，在经过思考后，设计了合适的测量方案，测量示意图如图所示，他们在揽月阁（）的影子顶端处，直立一根高为 的竹竿，经测量，同一时刻竹竿的影长，接下来小辰沿着方向从点出发走了 到达点处（即），从点处竖直将一架无人机飞至距离地面的点处（即）．此时小宇在揽月阁底部测得无人机的仰角．已知，，，点，，，在一条直线上，求揽月阁的高度．（参考数据：，，） 【答案】揽月阁的高度为 【解析】 【分析】先利用三角函数计算出，进而得到，容易证明，则，代入数值计算即可． 【详解】解：在中，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 答：揽月阁的高度为． 22. 智能废品回收箱作为一种新兴的环保科技产品，可以提升回收便利性．锦城小区投放了智能废品回收箱，居民通过投放可回收物获得相应费用．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，可回收物的价格有所提升．其中总费用y（元）与投放质量x（）之间的函数关系如图所示． （1）求段所在直线的函数表达式； （2）当赵阿姨投放可回收物时，可以获得多少元？ 【答案】（1） （2）30元 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设段所在直线的函数表达式为， 将点，分别代入，得， 解得， ∴段所在直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将，代入，得（元）， ∴可以获得30元． 23. 少年有梦，应怀国家情怀；青春热血，关心天下之事，为鼓励学生关心时事热点，阳光中学举办了一场“中国事，我知道”的问卷调查．调查结束后从九年级学生中用科学的抽样方法随机抽取了20名学生的成绩（满分100分）进行整理、分析，部分信息如下：其中B组的成绩依次为：75，76，78，78，78，80，83，84． 组别 成绩x/分 组内平均数 A 90 B 79 C 70 D 62 （1）补全图中的条形统计图，B组成绩的众数是______分，这20名学生成绩的中位数是______分； （2）求抽取的这20名学生的平均成绩； （3）若该校九年级一共有600名学生，估计成绩不低于75分的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析，78，78 （2）分 （3）390人 【解析】 【分析】（1）先求出A组的人数，再补全条形统计图如图，继而根据众数，中位数的定义进行求解，即可解答； （2）根据平均数的定义进行求解即可； （3）利用成绩不低于75分的学生的百分比乘以该校九年级的总人数，即可解答． 【小问1详解】 解：A组的人数为（人），补全条形统计图如图： ∵在B组的成绩中，78出现3次，次数最多， ∴B组成绩的众数是78分， 这20名学生成绩的中位数是第10名，11名，由，可知第10名，11名在B组，且分别为78，78， ∴这20名学生成绩的中位数是（分）； 【小问2详解】 解： （分）， ∴抽取的这20名学生的平均成绩为分； 【小问3详解】 解： （人）， ∴估计成绩不低于75分的学生有390人． 24. 如图，、分别与相切于点、，且与相交于点，过点作，交的延长线于点．其中，． （1）求证：； （2）求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质容易证明，则，由等角的余角相等可证明，因此； （2）容易证明，则，，利用勾股定理计算得，最后通过计算出即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵、分别与相切于点、， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即的半径为． 25. 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，某校在设计校门时使用了拱形校门，图1是其效果图，该校门由墙壁、拱形钢架和电动推拉门组合而成．图2是其正面示意图，校门两侧是边长均为的正方形和正方形的墙壁，在墙壁的顶点B，F处设计了一个拱形钢架（呈抛物线型）．如图2以水平地面为x轴，过点O，且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时拱形门的最高点M距离地面，与y轴的水平距离为． （1）求该拱形钢架所在抛物线的函数表达式； （2）学校在钢架拱门内壁悬挂一个平行于地面的矩形横幅，点P，Q分别为悬挂点，悬挂点P与y轴的水平距离为，横幅的宽为，请你计算横幅最低点离地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，得顶点M的坐标为，设该拱形钢架所在抛物线的函数表达式为，根据正方形的性质可知点B的坐标为，代入求解即可； （2）将代入求出y的值，进而减去横幅的宽即可． 【小问1详解】 解：由题意，得顶点M的坐标为， ∴设该拱形钢架所在抛物线的函数表达式为， ∵四边形是边长为的正方形， ∴点B的坐标为， 将点代入，得， 解得， ∴该拱形钢架所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∵横幅的宽为， ∴， ∴横幅最低点离地面的距离为． 26. 问题提出 （1）如图1，在四边形中，，为对角线，，，，求四边形的面积； 问题解决 （2）近年来，我国在航天、深海、人工智能等关键领域的科技进步，让世界对中国刮目相看．为了激发青少年的科创精神，某中学计划在校园的一块空地开设科创区．如图2，该空地的形状为四边形，且，，，．按照设计方案，在该空地的边上确定点M，N，使得，连接后所形成的区域设置为科技体验区，将五边形区域设置为观摩区，经调查，学生希望观摩区的面积尽可能小，请问观摩区的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，再求出的长，即可求出面积； （2）连接，过点A作于点E，过点D作于点F，过点M作于点G，先求出的长，证明四边形是矩形，从而得到，，设 ，则 ， ，从而得到，再由四边形的面积是定值，要使五边形的面积最小，只需要的面积最大，结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． ∵，． ∴，， ∴四边形的面积 ； 【小问2详解】 解：存在． 如图，连接，过点A作于点E，过点D作于点F，过点M作于点G， ∵在四边形中，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴ ． ∴，， 设 ， ∴ ， ， ∴． ∵， ∴． ∵四边形的面积是定值，要使五边形的面积最小，只需要的面积最大， ∵， ∴面积最大为， ∴， ∴观摩区的面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $