精品解析：陕西省榆林市定边县城区联考 2025-2026学年九年级第二学期第一次模考数学试卷

2026 年陕西省初中学业水平考试·仿真摸底卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 六角井是我国常见的竖井样式，其结构示意图如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：图形的俯视图为． 3. 如图，已知，点在上，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用邻补角以及平行线的性质进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 5. 如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直，可得，进而可求，，再根据角平分线，可得，最后根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 6. 已知点和点在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断一次项系数的正负，得到随的变化规律，再比较两点横坐标的大小，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴一次函数，随的增大而减小， ∵点横坐标为，点横坐标为，且， ∴． 7. 如图，在中，是的中线，以为边作正方形，若，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用锐角三角函数以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴四边形的面积为． 8. 已知二次函数（为常数，且）的图象经过点，且该二次函数有最大值，当时，该二次函数的最小值为（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将已知点代入二次函数解析式求出a的可能值，再根据二次函数有最大值确定a的取值，得到函数解析式，结合开口方向、对称轴与给定x的范围，即可求出最小值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得， 整理得， 解得 或 ， ∵二次函数有最大值， ∴抛物线开口向下，， ∴， ∴二次函数解析式为 抛物线开口向下，对称轴为 在区间中，端点到对称轴的距离更远， ∵开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，函数取得最小值， 将代入得 即该二次函数的最小值为， 故选：D． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个比大的负整数：______．（只写一个） 【答案】（填或也可） 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴比大的负整数为，，，任选其一即可． 10. 中国是一个多民族国家，其中我国苗族的千人长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有几千年的历史．如图所示，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人，3张桌子可以坐14人，…，将桌子按这样的方式拼下去，6张桌子拼在一起可以坐______人． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，根据图示确定桌子数量与人数的关系即可求解． 【详解】解：1张桌子可以坐6人，即， 2张桌子可以坐10人，即， 3张桌子可以坐14人，， ， ∴n张桌子可以坐人， ∴当时，可以坐人， 故答案为：26 ． 11. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，则剩4两；若每人两，则差两．设有人分银子，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设有人分银子，根据银子总量不变列等式，当每人分两剩余两时，银子的总量为；当每人分两差两时，银子的总量为，据此即可列出方程． 【详解】解：设有人分银子， 根据银子总量不变列等式，当每人分两剩余两时，银子的总量为；当每人分两差两时，银子的总量为， 因此可列方程为：． 12. 如图，四边形内接于，是直径，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角等于90度，可得，求得，然后根据内接四边形对角互补，，最后求得答案． 【详解】解：∵ 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 13. 如图，点是反比例函数（为常数）的图象上一点，轴于点，点在上，，点是轴上一点，连接，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标为，利用三角形的面积列出方程求解． 【详解】解：设点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 14. 如图，在中，，点为平面内一动点，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，连接交于点，根据圆周角定理可知，即是等腰直角三角形，则，作于点，则是等腰直角三角形，由勾股定理可得，同理可得，根据勾股定理求出，当点三点共线时，最小为． 【详解】解：作的外接圆，连接交于点， 则，则是等腰直角三角形， 则， 作于点，则是等腰直角三角形． ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 当点三点共线时，最小为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15 计算：． 【答案】4 【解析】 【详解】解： ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式，然后取公共解集即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， 原不等式组的解集为． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先算括号里面的加法，再算除法，即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，已知点是的边上一点，利用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 点即为所作； 【解析】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图的方法，作，交于点，再根据三角形内角和，计算可得． 【详解】解：作，交于点， ，，， ． 19. 如图，点是的边上一点，连接，，分别延长至点，延长至点，使得，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】已知，可得，根据条件，，利用边角边证明即可得证． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 20. 随着城市化建设的发展，市民出行公共交通越来越方便及多样化，可供市民出行的公共交通方式一般有以下四种：A．公交车，B．共享电动车，C．共享单车，D．地铁，已知每种出行方式被选择的可能性是相同的，且每人出行只选择其中一种公共交通方式． （1）若小美周末要去某公园游玩，她选择的公共交通方式恰好是C．共享单车的概率为___________； （2）小明和小亮相约一起去图书馆学习，要各自选择一种公共交通方式去图书馆，请你通过列表或画树状图的方法，求两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图可得共有16种等可能的结果，其中两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的结果数为6种，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：若小美周末要去某公园游玩，她选择的公共交通方式恰好是C．共享单车的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得：共有16种等可能的结果，其中两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的结果数为6种， ∴两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的概率． 21. 如图，阳光大厦在一座小山上，小山的斜坡与水平地面的夹角，在阳光大厦楼顶有一广告牌，从坡底处测得广告牌顶端的仰角为（即），在山顶处测得广告牌的底部的仰角为（即），已知、、在同一条直线上，，，，，．求广告牌的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】广告牌的高度为． 【解析】 【分析】先延长交的延长线于点，根据和特殊角的三角函数值结合求出的长，同理根据，，，求出的长，再根据三个角为直角的四边形为矩形证明四边形为矩形，得到的长，然后证明是等腰直角三角形，得到的长，最后根据即可求解． 【详解】如图，延长交的延长线于点， ∵，，， ∴，， ∵，，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴广告牌的高度为． 22. 研究表明，地表以下岩层的温度与所处深度成一次函数关系．通过测量得到某个地点地表以下的岩层温度与所处深度的部分数据如下表： 岩层深度 … 2 3 4 5 … 岩层的温度 … 90 125 160 195 … （1）求与之间的函数关系式； （2）当该地点地表以下某处岩层的温度为时，求此处岩层的深度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）先设与的函数关系式为，然后根据在深度2千米的地方，岩层温度为90，在深度5千米的地方，岩层温度为195，即可求得与的函数表达式； （2）将代入（1）中的函数表达式，即可得到相应的x的值，本题得以解决． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， ， 解得， 即与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得， 即当该地点地表以下某处岩层的温度为335时，此处岩层的深度． 23. 2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图： 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 114 第2组 6 378 第3组 746 第4组 14 1217 第5组 8 765 所抽取作品的成绩扇形统计图 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽取作品有___________个，所抽取作品成绩的中位数位于第___________组； （2）求所抽取作品成绩的平均数； （3）若参加此次大赛的作品共有1000个，请你估计成绩不低于90分的作品数． 【答案】（1）40，4 （2）所抽取作品成绩的平均数为分 （3）估计成绩不低于90分的作品数是200个 【解析】 【分析】（1）利用部分数据和占比求出总数，然后根据中位数定义求解； （2）根据平均数公式进行求解； （3）根据样本频数预估总体频数． 【小问1详解】 解：本次抽取的作品数为（个）； ，， ∵该组数据共40个数据， ∴中位数为第20位数和21位数的平均数， ∵第20位数和21位数位于第4组， ∴中位数位于第4组； 故答案为：40，4； 【小问2详解】 解：（分）， 所抽取作品成绩的平均数为分； 【小问3详解】 解：（个）， 估计成绩不低于90分的作品数是200个． 24. 如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为半径的交于点，且经过点，连接． （1）求证：是的切线； （2）点在上，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义以及等边对等角得出，然后利用平行线的性质得出直角，根据切线的判定定理即可得出结论； （2）连接，根据同圆中弧与弦的关系得出，根据直径得出直角，然后根据勾股定理求出相关线段的长度，证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 平分， ． ， ， ， ． ， ，即， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ． 是的直径， ，则． ， ， ，则， ． 25. 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥（在的中垂线上），其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以所在直线为轴，的中点为原点，所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型的钢材支架，其中点、在拱桥上，点、在上，点在上，，，． （1）求拱桥所在抛物线的函数表达式； （2）若，支架“”所需钢材的总长为，用含的式子表示，并求出的最大值．（焊接处的损耗忽略不计） 【答案】（1） （2），的最大值为 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，再利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线的对称性可得，则，，，进而得到，用含的式子表示出周长，再利用二次函数的性质即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由抛物线的对称性可得， ∴，，， 当时，；当时，； ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形矩形， 同理可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值为． 26. 根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点分别是边上的点，连接，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，过点作，连接交于点，交于点，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，矩形是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的区域种植鲜花，边上的点处是入口，边上的点处有一口水井，是从到边修的一条地下水管，在点处修建一个观景台．已知，求观景台到水井的距离．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 【答案】（1）45 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，将逆时针旋转90度得到，可知，，，证明，得到，进而可知； （2）根据平行线的性质得到，根据得到，证明，得到，进而可知； （3）延长至点，使得，连接，可知，根据矩形的性质得到，证明，得到，进而可知，，过点作交的延长线于点，则，根据得到，证明，可知，延长交于点，则，证明，得到，即，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， 如图，将逆时针旋转90度得到，可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 证明：， ． 在中，， ∴． 则． ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：延长至点，使得，连接． ． 四边形是矩形，， ． ， ， ， ，即． 过点作交的延长线于点，则， 在中，， ． ， ． 在和中，， ， ，则． 延长交于点，可知四边形是矩形， 则， ． 由得． ， ， ，即， ， 解得或（不合题意，舍去） 综上可得观景台到水井的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年陕西省初中学业水平考试·仿真摸底卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 六角井是我国常见的竖井样式，其结构示意图如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，点在上，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点和点在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的中线，以为边作正方形，若，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 9 C. 12 D. 16 8. 已知二次函数（为常数，且）的图象经过点，且该二次函数有最大值，当时，该二次函数的最小值为（ ） A. 9 B. C. 6 D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个比大的负整数：______．（只写一个） 10. 中国是一个多民族国家，其中我国苗族的千人长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有几千年的历史．如图所示，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人，3张桌子可以坐14人，…，将桌子按这样的方式拼下去，6张桌子拼在一起可以坐______人． 11. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，则剩4两；若每人两，则差两．设有人分银子，则可列方程为______． 12. 如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数为___________． 13. 如图，点是反比例函数（为常数）的图象上一点，轴于点，点在上，，点是轴上一点，连接，若，则的值为___________． 14. 如图，在中，，点为平面内一动点，连接，若，则的最小值为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组： 17. 化简：． 18. 如图，已知点是的边上一点，利用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，点是的边上一点，连接，，分别延长至点，延长至点，使得，，求证：． 20. 随着城市化建设发展，市民出行公共交通越来越方便及多样化，可供市民出行的公共交通方式一般有以下四种：A．公交车，B．共享电动车，C．共享单车，D．地铁，已知每种出行方式被选择的可能性是相同的，且每人出行只选择其中一种公共交通方式． （1）若小美周末要去某公园游玩，她选择公共交通方式恰好是C．共享单车的概率为___________； （2）小明和小亮相约一起去图书馆学习，要各自选择一种公共交通方式去图书馆，请你通过列表或画树状图的方法，求两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的概率． 21. 如图，阳光大厦在一座小山上，小山斜坡与水平地面的夹角，在阳光大厦楼顶有一广告牌，从坡底处测得广告牌顶端的仰角为（即），在山顶处测得广告牌的底部的仰角为（即），已知、、在同一条直线上，，，，，．求广告牌的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 22. 研究表明，地表以下岩层的温度与所处深度成一次函数关系．通过测量得到某个地点地表以下的岩层温度与所处深度的部分数据如下表： 岩层的深度 … 2 3 4 5 … 岩层的温度 … 90 125 160 195 … （1）求与之间的函数关系式； （2）当该地点地表以下某处岩层的温度为时，求此处岩层的深度． 23. 2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图： 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 114 第2组 6 378 第3组 746 第4组 14 1217 第5组 8 765 所抽取作品的成绩扇形统计图 根据统计图表提供信息，解答下列问题： （1）本次抽取作品有___________个，所抽取作品成绩的中位数位于第___________组； （2）求所抽取作品成绩的平均数； （3）若参加此次大赛的作品共有1000个，请你估计成绩不低于90分的作品数． 24. 如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为半径的交于点，且经过点，连接． （1）求证：是的切线； （2）点在上，连接，若，求的长． 25. 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥（在的中垂线上），其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以所在直线为轴，的中点为原点，所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型的钢材支架，其中点、在拱桥上，点、在上，点在上，，，． （1）求拱桥所在抛物线的函数表达式； （2）若，支架“”所需钢材的总长为，用含的式子表示，并求出的最大值．（焊接处的损耗忽略不计） 26. 根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点分别是边上的点，连接，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，过点作，连接交于点，交于点，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，矩形是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的区域种植鲜花，边上的点处是入口，边上的点处有一口水井，是从到边修的一条地下水管，在点处修建一个观景台．已知，求观景台到水井的距离．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $