专题5不等式与不等式组易错题型专项训练（15大典型题）2025-2026学年人教版七年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组15大高频易错题型，从性质辨析到实际应用分层突破，精准覆盖中考失分点，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与解法|40题|性质辨析、整数解、最值求解|从不等式性质到解法，构建"概念-解法-应用"逻辑链| |综合应用|40题|行程、经济、分配等实际问题|结合几何与方程组，强化数学建模与应用意识| |参数问题|20题|由解集求参数、整数解情况分析|深化逻辑推理，衔接中考难点，提升思维严谨性|

专题5 不等式与不等式组易错题型专项训练 【温馨提示】本专题梳理15 大高频易错题型，直击解不等式、解集取舍、参数范围、实际应用等常见误区，精准剖析出错原因，点拨解题要点，帮助规避失分点，夯实知识短板，高效提升解题准确率。 题型1 不等式的性质 题型9 不等式组和方程组结合的问题 题型2 求一元一次不等式的整数解 题型10 不等式组的行程问题 题型3 求一元一次不等式解的最值 题型11 不等式组的经济问题 题型4 用一元一次不等式解决实际问题 题型12 不等式组的分配问题 题型5 用一元一次不等式解决几何问题 题型13 不等式组的方案选择问题 题型6 求一元一次不等式组的整数解 题型14 不等式组的阶梯收费问题 题型7 由一元一次不等式组的解集求参数 题型15 一元一次不等式组的其他应用 题型8 由一元一次不等式组的解集的情况求参数 题型1 不等式的性质 1．已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，不能得到，比如时，，故A错误； B、∵，∴，∴，故B错误； C、∵，当时，，故C错误； D、∵，，∴；故D正确. 2．下列结论中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质和不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：选项：当时，一定成立，但不一定等于，故错误； 选项：，两边同乘得，故错误； 选项：若，两边同时除以得，故错误； 选项：两边同时除以正数，不等号方向不变，，故成立． 3．已知，则一定有，“”中应填的符号是______． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边乘同一个负数时不等号方向改变，据此判断即可． 【详解】解：， ． 4．已知，则________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【详解】解：， 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加上，不等号方向不变，得． 题型2 求一元一次不等式的整数解 5．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 6．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】解一元一次不等式，再找出范围内的正整数即可． 【详解】解： ， 解得 ， ∴ 满足条件的正整数为 、、、，共4个． 7．对于不等式，当时，，当时，．当关于的不等式，其解集中无正整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】先根据，将已知指数不等式转化为一元一次不等式，整理后分，，三种情况讨论，结合解集中无正整数解的条件，求出的取值范围． 【详解】解：，， ， 移项整理得 ， 当，即时， 不等式的解集为， ， 解集中一定包含正整数，不符合解集中无正整数解的要求，故此情况舍去． 当，即时，不等式变为，即恒成立，解集为全体实数，一定包含正整数，不符合要求，故此情况舍去． 当，即时，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变， 得解集为：， 解集中无正整数解， ， ，不等式两边同乘不等号方向不变， 得，解得， 满足的条件． 综上，的取值范围是． 8．不等式的非负整数解为______． 【答案】0，1，2 【分析】先求出一元一次不等式的解集，再从解集中找出符合要求的非负整数即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 不等式的非负整数解是，，． 题型3 求一元一次不等式解的最值 9．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 10．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 11．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 12．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 题型4 用一元一次不等式解决实际问题 13．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 【答案】A 【分析】根据不等式中各项的含义，分别分析答对、答错、未答题的计分规则，从而确定评分标准． 【详解】解：已知一共20道题，2题未答，答对道，则答错的题目数量为， 不等式中： 表示答对道题，1题得5分的总得分； 表示答错道题，1题扣2分的扣分； 未答的2道题，式子中未涉及加减，说明不答题不给分也不扣分， 因此评分标准为：答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． 14．某景区门票的定价为a元/张（），有两种团购优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人八折优惠；方案二：所有人享受七折优惠，小明了解了优惠方案后，发现采用方案一购票比方案二省钱，则小明一行人的人数最多为（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】B 【分析】设小明一行的人数为x，分别表示出两种方案的购票总费用，根据“方案一比方案二省钱”列出一元一次不等式，求解后取最大正整数即可得到结果，用到一元一次不等式的解法． 【详解】解：设小明一行人共有人，为正整数， 根据题意，方案一的总费用为，方案二的总费用为， ∵方案一比方案二省钱，且， ∴ ， 两边同除以得，， 展开得，， 移项合并得，， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为，即小明一行人的人数最多为7人． 15．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 【答案】6 【分析】设计划购进接力棒数量，根据实际购买比例得到实际接力棒数量，结合实际总件数得到实际标志桶数量的表达式，再根据总费用差列出方程，利用正整数的性质求解即可． 【详解】解：设计划购进接力棒根，实际购进标志桶个， 由题意，实际购买接力棒数量为 （根）， 实际购进长绳根，实际总件数为，因此可得： ， 整理得： ， 设原计划购进标志桶个，则原计划长绳数量为根， 原计划总费用减去实际总费用等于， 列方程得：， 整理得： ， 将 代入上式， 得：， 化简得， 变形得：， ∵是正整数， ∴为整数， 又∵和互质， ∴是的倍数， ∵，解得， ∴， 则，即实际购进标志桶的数量为个． 16．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)方案三利润最大，最大利润是1450元 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据题意列出不等式得到，然后结合求解即可； （3）分别计算三种方案的利润比较即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得， 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得 解得 ∵， ∴ ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110 ∴该网店有3种进货方案： 方案一：购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二：购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三：购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：方案一：利润为（元）； 方案二：利润为（元）； 方案三：利润为（元）； ∵ ∴方案三利润最大，最大利润是1450元． 题型5 用一元一次不等式解决几何问题 17．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 18．若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 【答案】90 【详解】解：设这个角为，则其补角为， 由题意，得， 解得， 这个角最大为． 19．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 20．如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)， (4)t的取值范围为或或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，根据已知条件得出是等腰直角三角形，列式解方程即可； （3）分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别列式即可； （4）分点P在上，点P在上，点P在上三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式，再分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点P运动到点B的时间为． （2）解：∵，D为的中点， ∴， ∵以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P以的速度沿运动，， ∴，则， 解得：． （3）解：∵，点P到达点B后再以的速度沿向终点C运动． ∴点P运动到点D的时间为，点P运动到点C的时间为， ∴当点P在上运动时，， 当点P在上运动时，． （4）解：当点P在上时，即， 根据题意，得， ∵， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴， 综上所述，t的取值范围为或或． 题型6 求一元一次不等式组的整数解 21．不等式组的正整数解是（    ） A．0，1 B．1 C．，0，1 D．1，0， 【答案】B 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． ∴正整数解是1． 22．已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解． （1）a的最小值为_____； （2）若关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】（1）先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，即可得出结果； （2）解一元一次方程得到，利用一元一次方程的解为非负整数和得到，， ，从而得到结果． 【详解】解：（1） 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为，0，2， ∴， 解得． 故a的最小值为； （2）解方程， 得， ∵方程的解为非负整数， ∴， 解得，且a为偶数， 由（1）， ∴a的范围为，且a为偶数， ∴，， ， 则所有满足条件的整数a的值之和为． 23．解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解，最后根据不等式组的解集确定所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为， 所以该不等式组的所有整数解为，0，1，2． 24．解不等式及不等式组，并将解集表示在数轴上 (1)解不等式，并在如图所给的数轴上表示出其解集； (2)解不等式，并在如图所示的数轴上表示其解集； (3)直接写出的所有整数解的和． 【答案】(1)，数轴见详解 (2)，数轴见详解 (3) 【分析】（1）通过移项、合并同类项等步骤求出不等式的解集，并表示在数轴上即可． （2）先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为等步骤求出不等式的解集，并表示在数轴上即可． （3）先分别求出两个不等式的解集，然后取它们的交集得到不等式组的解集，最后找出解集中的所有整数解并求和． 【详解】（1）解：， 得到， 可得． （2）解：，可得， 得到， 可得， 得到． （3）解：不等式组， 由（1）可知的解集为， 由（2）可知的解集为， 所以不等式组的解集为， 在这个解集中的整数解为，，，，， 它们的和为． 题型7 由一元一次不等式组的解集求参数 25．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解不等式组，得到用，表示的解集，再与已知解集的端点对应，求出，后代入计算． 【详解】解：已知， 解得， 由不等式组的解集为， 可得， 解得， 故． 26．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 27．若不等式组的解集是，则______． 【答案】1 【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 28．若的解集为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据解集可得关于的一元一次不等式，即可得的取值范围． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 解得． 题型8 由一元一次不等式组的解集的情况求参数 29．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数，最后计算这些整数的和即可． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得 ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有5个整数解，5个整数解为 ∴， 解得，可得整数的可能取值为， 解二元一次方程组 将第二个方程乘2得，与第一个方程相加解得： 代入第二个方程得， ∵方程组有整数解，即均为整数，逐个验证： ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，不是整数，不符合； 符合条件的所有整数的和为：． 30．若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ，解得， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 不等式组只有个整数解， ，解得， ， 符合条件的整数的值的和为． 31．若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】先将参数视为已知数，解不等式组得到解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解得， 解不等式②，得， 解得， 故不等式组的解集为， 由不等式组只有个整数解，可知整数解依次为，，， 则， 解得． 32．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为_______． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得，， ∵关于x的不等式组无解， ∴． 题型9 不等式组和方程组结合的问题 33．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 34．已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知等式用表示，代入不等式求出的范围，再依次推导各选项中代数式的范围，找出错误判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴，因此选项A判断正确． ∴ ， ∴， ∴，因此选项B判断正确． ∵ ， 由得 ， ∴ ，因此选项C判断正确． ∵， 由 得 ， 即 ，不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误． 35．已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 36．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型10 不等式组的行程问题 37．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 38．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 39．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 40．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型11 不等式组的经济问题 41．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 42．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 43．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 44．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元 (2)有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 题型12 不等式组的分配问题、 45．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 46．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 47．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为元 (2)元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 48．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2)小明的说法是正确的，理由见解析 (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 题型13 不等式组的方案选择问题 49．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 50．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 51．根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】(1)甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元 (2)共有3种可行的购买方案，方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本；方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本；方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本 (3)购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低 【分析】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，再建立方程求解即可； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据题意得：，再进一步求解即可； （3）通过计算各方案的总费用，找出成本最低的采购方案． 【详解】（1）解：设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）解：设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本； 方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本； 方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本； （3）解：方案一总花费：元， 方案二总花费：元， 方案三总花费：元， ∴购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低． 52．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个． ①根据题意，完成以下表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） x 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)①见解析；②有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个； (2)方案①销售利润最大，最大利润是262元． 【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以将空白处的数据补充完整；②根据题意列出不等式组即可； （2）分别计算三种方案的利润，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，              纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②由题意得 解得． ∵为正整数， ∴，，． 有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个； （2）解：方案①利润为：（元）； 方案②利润为：（元）； 方案③利润为：（元）； ∵ ∴方案①销售利润最大，最大利润是262元． 题型14 不等式组的阶梯收费问题 53．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 54．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 55．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 56．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 题型15 一元一次不等式组的其他应用 57．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据程序运算规则，第1次、第2次运算结果不大于29，第3次运算结果大于29，据此列出一元一次不等式组求解即可.． 【详解】解：由题意可知，程序运算进行了3次才停止，说明前两次运算结果均不大于29，第三次运算结果大于29， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为：， 根据题意列出不等式组为： 解得， 此时，符合题意， 故选：A． 58．按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于25”为一次运算，且运算进行2次才停止，则可输入的实数的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得：， 解得：． 59．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由， 得：（x，y为正整数）． 要使为正整数， 则为正整数，可知：x为3的倍数，从而， 代入． 所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解________； (2)若为整数，则满足条件的整数x的值为_______． (3)笔记本单价为3元，钢笔单价为5元，七年级某班为了奖励学习有进步的学生，花费35元购买奖品，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)或0或1或3或4或6 (3)①买0本笔记本，7支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔，③买10本笔记本，1支钢笔 【分析】（1）先移项，再把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为整数，x为整数，可得取或或或1或2或4，即可求解； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，根据题意得，得出，其中x、y均为非负整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵x，y为正整数， ∴， ∴， 要使为正整数，则为正整数，可知：y为2的倍数， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为整数，x为整数， ∴取或或或1或2或4， ∴x取或0或1或3或4或6； （3）解：设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支， 根据题意得， 解得，（为非负整数）， ∵， ∴， 要使为非负整数，则为非负整数，可知：x为5的倍数， ∴． ∴或或， ∴有三种方案：①买0本笔记本，7支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔，③买10本笔记本，1支钢笔． 60．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)4台 (3)甲型设备5台，乙型设备5台 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元”，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． （3）根据题意，得出，结合（2）的结论得出，进而取整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 解得 （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意，得 解得． 答：至少购买甲型设备4台． （3）根据题意，得 解得， ∴． ∵取整数， ∴的取值为4或5． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备4台，乙型设备6台； 所需资金为 （元）； 方案二：购买甲型设备5台，乙型设备5台； 所需资金为 （元）． ∵ ，∴方案二省钱． 答：最省钱的购买方案为购买甲型设备5台，乙型设备5台． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 不等式与不等式组易错题型专项训练 【温馨提示】本专题梳理15 大高频易错题型，直击解不等式、解集取舍、参数范围、实际应用等常见误区，精准剖析出错原因，点拨解题要点，帮助规避失分点，夯实知识短板，高效提升解题准确率。 题型1 不等式的性质 题型9 不等式组和方程组结合的问题 题型2 求一元一次不等式的整数解 题型10 不等式组的行程问题 题型3 求一元一次不等式解的最值 题型11 不等式组的经济问题 题型4 用一元一次不等式解决实际问题 题型12 不等式组的分配问题 题型5 用一元一次不等式解决几何问题 题型13 不等式组的方案选择问题 题型6 求一元一次不等式组的整数解 题型14 不等式组的阶梯收费问题 题型7 由一元一次不等式组的解集求参数 题型15 一元一次不等式组的其他应用 题型8 由一元一次不等式组的解集的情况求参数 题型1 不等式的性质 1．已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列结论中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，则一定有，“”中应填的符号是______． 4．已知，则________（填“”“”或“”）． 题型2 求一元一次不等式的整数解 5．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 6．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．对于不等式，当时，，当时，．当关于的不等式，其解集中无正整数解，则的取值范围_____． 8．不等式的非负整数解为______． 题型3 求一元一次不等式解的最值 9．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 11．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 12．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 题型4 用一元一次不等式解决实际问题 13．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 14．某景区门票的定价为a元/张（），有两种团购优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人八折优惠；方案二：所有人享受七折优惠，小明了解了优惠方案后，发现采用方案一购票比方案二省钱，则小明一行人的人数最多为（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 15．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 16．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 题型5 用一元一次不等式解决几何问题 17．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 18．若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 19．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    20．如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 题型6 求一元一次不等式组的整数解 21．不等式组的正整数解是（    ） A．0，1 B．1 C．，0，1 D．1，0， 22．已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解． （1）a的最小值为_____； （2）若关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 23．解不等式组，并求出它的所有整数解． 24．解不等式及不等式组，并将解集表示在数轴上 (1)解不等式，并在如图所给的数轴上表示出其解集； (2)解不等式，并在如图所示的数轴上表示其解集； (3)直接写出的所有整数解的和． 题型7 由一元一次不等式组的解集求参数 25．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 27．若不等式组的解集是，则______． 28．若的解集为，则的取值范围为__________． 题型8 由一元一次不等式组的解集的情况求参数 29．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 30．若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 31．若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围为________ ． 32．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为_______． 题型9 不等式组和方程组结合的问题 33．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 35．已知满足，则的取值范围为______． 36．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 题型10 不等式组的行程问题 37．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 38．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 39．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 40．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型11 不等式组的经济问题 41．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 42．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 43．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 44．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 题型12 不等式组的分配问题、 45．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 46．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 47．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 48．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 题型13 不等式组的方案选择问题 49．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 50．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 51．根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 52．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个． ①根据题意，完成以下表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） x 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 题型14 不等式组的阶梯收费问题 53．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 54．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 55．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 56．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 题型15 一元一次不等式组的其他应用 57．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 58．按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于25”为一次运算，且运算进行2次才停止，则可输入的实数的取值范围是_______________． 59．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由， 得：（x，y为正整数）． 要使为正整数， 则为正整数，可知：x为3的倍数，从而， 代入． 所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解________； (2)若为整数，则满足条件的整数x的值为_______． (3)笔记本单价为3元，钢笔单价为5元，七年级某班为了奖励学习有进步的学生，花费35元购买奖品，问有哪几种购买方案？ 60．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $