专题4 二元一次方程组易错题型专项训练（17大典型题）2025-2026学年人教版七年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦二元一次方程组17类高频易错题型，通过错因分析与解法总结构建系统突破体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |参数问题|题型1/4|解的代入法、同解原理|从解的定义到参数讨论，形成概念应用链条| |特殊解法|题型2/8|整体代入、换元转化|渗透转化思想，提升运算能力与推理意识| |实际应用|题型6-16|图表信息提取、等量关系建模|覆盖行程/工程等10类场景，强化模型观念|

专题4 二元一次方程组易错题型专项训练 【温馨提示】聚焦二元一次方程组高频易错点，划分 17 类典型题型。细致分析出错原因，总结正确解法，通过系统专项训练查漏补缺，扫清知识漏洞，轻松攻克这类重难点题型。 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 题型10 年龄问题 题型2 二元一次方程组的特殊解法 题型11 分配问题 题型3 二元一次方程组的错解复原问题 题型12 销售、利润问题 题型4 由二元一次方程组的解的情况求参数 题型13 和差倍分问题 题型5 方程组相同解问题 题型14 几何问题 题型6 方案问题 题型15 图表信息题 题型7 行程问题 题型16 古代问题 题型8 工程问题 题型17 其他问题 题型9 数字问题 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 1．已知是方程的解，则k的值为(    ) A． B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】解：将代入方程：， 即， 解得． 2．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 3．已知是方程的解，则等于________． 【答案】 【分析】把代入方程即可求解. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：. 4．小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较小的一个数的值是________． 【答案】 【分析】先把代入可求出，然后把代入，计算得出■所遮住的数，即可比较得出． 【详解】解：把代入，得， 解得， 把代入， 得， ， 数■和▲中较小的一个数的值是． 题型2 二元一次方程组的特殊解法 5．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 【答案】． 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，且 ∴， 解得． 6．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： (1)请用“整体代入”法解方程组． (2)若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． (3)已知x、y满足，求的值． 【答案】(1) (2)该方程组有无数个解，其解为（t为任意实数） (3)无法确定的值 【分析】（1）使用“整体代入”的思想解方程组即可． （2）根据第二个方程是第一个方程的2倍，两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解． （3）同（2）可知该方程组有无数个解．故无法确定的值． 【详解】（1）解： 由①得：， 将整体代入②，得， 去括号、合并同类项：，即， 解得：， 将代入①，得，解得， ∴ 方程组的解为； （2）解：有无数解， 理由：第二个方程是第一个方程的2倍， 两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解， ∵（x为任意实数）， ∴其解为（t为任意实数）． （3）解：无法确定的值， 理由：方程组中，第二个方程是第一个方程的2倍，实际上只有一个独立方程，x、y的值不唯一，因此的值无法确定． 7．解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可以采用以下方法： 解：②①，得，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于x，y的方程组，的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解： ①②，得， ③， 将，得：④， ①④，得，解得：， ， ， （2）解：解为，理由如下： ， ①②，得， 即③， 将，得④， ①④，得：，， ， 方程组的解为． 8．【阅读理解】 数学课上，我们学到“如果关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小宇同学的做法如下： (1)小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． (2)小宇：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解，请你按照小宇的思路写出详细的解题过程． 【解决问题】 何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． (3)请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是________； A．    B．    C．    D． ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①D；② 【分析】（1）根据小超的思路写出详细的解题过程即可； （2）根据小宇的思路写出详细的解题过程即可； （3）①仿照（2），通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． ②将方程变形为，同（2）的方法即可求解． 【详解】（1）解：将代入中， 得，则， 将代入中， 得，整理，得， ，得，解得， 将代入②，得，解得， ∴所求方程组的解为； （2）解：∵关于x，y的二元一次程组的解为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解满足， 由得，解得， 由得，解得， ∴所求方程组的解为； （3）解：①依题意，， 解得：， ∴所求方程组的解为． ②，即， ∵的解是， ∴，解得， ∴所求方程组的解为． 题型3 二元一次方程组的错解复原问题 9．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 10．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 11．甲、乙两位同学解方程组时，由于甲看错方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】先利用甲、乙的错解分别求出原方程组中正确的和，再代入原方程组，用加减消元法求解即可 【详解】解：甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足方程② 把代入，得 整理得 解得 乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足方程①， 把代入，得 整理得 解得 因此原方程组为 得 得 解得 把代入①得 解得 因此原方程组的正确解为 12．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6． (2) 【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么； （2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， ∴甲把a看成了5，乙把b看成了6； （2）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入原方程组， 可得：， 由②得：③， 由①+③，可得：， ∴， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解． 题型4 由二元一次方程组的解的情况求参数 13．已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组两个方程相加整理得到的表达式，结合已知条件建立关于k的一元一次方程即可求解． 【详解】解：， 由得，， ， 解满足， 解得：． 14．已知关于x，y的方程组的解x，y满足，则_______． 【答案】10 【详解】解： 得：， 解得； 将代入①得：， 解得； 因为方程组的解满足， 所以 化简得， 方程两边同乘得：， 合并同类项得， 解得. 15．若方程组的解x，y互为相反数，则______． 【答案】3 【分析】根据二元一次方程组的解x，y互为相反数，推出，再代入二元一次方程组，即可求出k的值． 【详解】解：∵x，y互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 16．我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值； (2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据“和谐点”的定义建立关于k的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）解方程组，结合“和谐点”的定义建立关于m的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ∴根据题意，得， 解得； （2）解：存在，理由如下： 解方程组， 得， 点是“和谐点”， ， 即， 解得， 综上所述，当时，点是“和谐点”． 题型5 方程组相同解问题 17．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可． 【详解】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴． 18．若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 解得，， 将代入得，， 解得，， ∴． 19．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个方程组的解相同，得出新的方程组，求出解，然后根据方程组的解求出参数； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：∵两方程组的解相同， ∴x，y满足， 解得， ∴方程组相同的解为， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得，代入得，． 20．已知关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】先联立两个不含参数的方程，求出公共解，再将解代入含参数的方程，通过整体相加直接求出的值． 【详解】解：联立， 解得， 代入， 得， 由， 得， 故． 题型6 方案问题 21．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（    ） A．510 B．512 C．514 D．516 【答案】C 【分析】设可以做成x个横式无盖纸盒，做成个竖式无盖纸盒，根据两种纸盒所需长方形和正方形纸板的数量及恰好使库存的纸板用完，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出，再结合为5的倍数，即可得出结论． 【详解】解：设可以做成x个横式无盖纸盒，做成个竖式无盖纸盒， 根据题意得：， 得：， 即， 可知为5的倍数， ∵x为正整数， ∴n的个位数字为4或9． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 22．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 【答案】574 【分析】先设未知数，根据已知条件列二元一次方程组求出手绘团扇和非遗书签的单价，再分别计算两种优惠方案购买指定数量商品的总费用，比较后得到最小成本总和． 【详解】解：设把手绘团扇的价格为元，枚非遗书签的价格为元， 根据题意得： 解得 计算方案一的总费用： 购买把手绘团扇和枚非遗书签，可凑成套把团扇枚书签的套装，剩余把团扇和枚书签按原价购买， 总费用为：（元） 计算方案二的总费用： 原价总费用为（元）， 因为，可享受满减优惠， 总费用为（元） 因为，所以成本总和最少为元． 23．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 24．长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； (2)租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 【分析】（1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再设租用45座客车m辆，60座客车n辆，列出二元一次方程，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：， 解得：， 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； （2）解：由题意得：， 解得：， 所以七年级共人， 设租用45座客车m辆，60座客车n辆，满足： ， 化简得：， 因为m、n为正整数， 当时，，总租金为； 当时，，总租金为； ∵， ∴租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 题型7 行程问题 25．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用顺流速度，逆流速度与静水速度，水流速度的关系，结合路程公式列方程组求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， 由题意可得：， 解得：， ∴这艘轮船在静水中的速度为． 26．某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 【答案】 【分析】本题存在两个等量关系，反向而行时，甲和乙的路程和等于环形跑道长，同向而行时，乙的路程比甲多，根据等量关系列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意得： 解得：， 所以甲的速度为． 27．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 28．骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； (3)①，；②应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里 【分析】（1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由题意得，，则，再求出符合题意的整数解即可； （3）①根据“本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为”即可求解每行驶的磨损量； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意得，，则， ∵m，n均为非负整数，且“保证新工人和熟练工在工作上有照应”， ∴， ∴或 ∴共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：①∵本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为 ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为，后轮每行驶的磨损量为； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里． 题型8 工程问题 29．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 30．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 31．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【答案】 A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得， 解得， 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 32．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 题型9 数字问题 33．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（    ）． A．0 B． C． D．32 【答案】B 【分析】根据题意列方程组，根据整体思想分别求出，进而得到关于b的一元一次方程，解出b，即可得解． 【详解】解：如图所示，设中间的数字为a，第三行第一个数字为b， 由题意得， 由得， 由得， ， 解得， ． 34．如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则________． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出、，再计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ． 35．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 36．请阅读下列材料，并解答相应的问题： “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1），是世界上最早的矩阵，又称幻方用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表1）．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)表三阶幻方中间的数字是______； (2)表是一个三阶幻方，那么的值是多少？请写出解题过程． (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图所示的“幻圆”幻方中，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，求图中的值． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）根据幻方的定义列方程求解即可； （2）根据幻方的定义可知表2中第三行第一个数为，第三行第二个数为，第二行第三个数为，设最中间的数为a，第三行第三个数为b，根据幻方的定义列方程组求解即可； （3）根据幻方的定义求出，进而可知可以为或，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，表2中第三行第一个数为， 第三行第二个数为， 第二行第三个数为， 设最中间的数为a，第三行第三个数为b， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，解得：． ， 又∵横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， ∴横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， ∴， ∴在“幻圆”中填上部分数，如图所示： ∴可以为或． 当时，， 当时，， 的值为或． 题型10 年龄问题 37．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 38．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 39．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 40．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型11 分配问题 41．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总工人人数和配套比例关系，列出对应方程组即可判断正确选项． 【详解】解：共有名生产工人，个工人生产车架，个工人生产车轮， 总人数满足； 个车架需要配个车轮，即生产出的车轮总数量等于车架总数量的倍，个工人每天生产车架总数量为，个工人每天生产车轮总数量为， 可得； 因此方程组为． 42．学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 【答案】 【分析】（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，两组同时完成即耗时相等列方程求解，再计算份数之比； （2）根据两组仍同时完成列方程，结合第一天的等式化简得到m与n的关系，根据m，n的取值范围确定的值即可． 【详解】解：（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，由题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意，两组同时完成，耗时相等，得： ， 展开得， 由第一天的结果可知，代入上式得： ， 整理得：， 即， ∵m，n均为小于12的正整数， ∴满足条件的对应值比值恒为， 故． 43．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 44．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)； (2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． (3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 【分析】（1）根据制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，竖式无盖纸盒需要和4个长方形纸片列代数式即可． （2）能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （3）设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片， 则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片， ∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片． 则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片， 故答案为：，． （2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个， ， 解得：， 答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． （3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张， 设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求， 根据题意得：， ∵， ∴原式变成， 解得：， ∴， 答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 题型12 销售、利润问题 45．某班需采购本和尺子作为奖品，尺子3套、本2个，共需34元；尺子2套、本3个，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（    ） A．每套尺子比每个本贵2元 B．每套尺子比每个本便宜2元 C．尺子比本多买了2个 D．尺子比本少买了2个 【答案】B 【分析】根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价，据此结合方程和选项可得答案． 【详解】解：根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价， ∴的实际意义为每套尺子比每个本便宜2元． 46．某体育用品商店销售A，B两款足球，售价和进价如表所示，该商店购进5个A款足球和12个B款足球需1120元，购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，该商店可获利______元． 类型 进价（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 【答案】 【分析】根据“该商店购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之得出，的值，再根据购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，列出二元一次方程，得到，进而可知该商店可获利． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∵购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元， ∴， 即， ∴获利（元） 即该商店可获利元． 47．某商场用36000元购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品的进价为300元/件，售价为450元/件；乙种商品的进价为400元/件，售价为600元/件．请问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？全部销售完共获利多少元？ 【答案】该商场购进甲种商品40件，乙种商品60件；全部销售完共获利18000元 【分析】设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求出x，y的值，再根据利润等于总售价减去总进价求解即可． 【详解】解：设购进甲种商品x件，乙种商品y件， 根据题意得： 解得：， 总利润： （元） 答：该商场购进甲种商品40件，乙种商品60件；全部销售完共获利18000元． 48．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 【答案】(1)m的值为80，n的值为60； (2)该商场可获利1100元； (3)该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个， 根据题意得：， 整理得：， 又∵a、b均为正整数， ∴或或或， ∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个； 答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 题型13 和差倍分问题 49．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 50．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是______． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 设小倩同学有x元，小玲同学有y元，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【详解】解：设小倩同学有x元，小玲同学有y元，x，y均为非负整数， ∵小玲给小倩2元，小倩给小玲n元， ∴，， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，，，成立； 当时，，，成立； 当时，，，成立； 当时，，，成立； 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 故答案为：4． 51．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用520元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)A种航天飞船模型每件进价60元，B种航天飞船模型每件进价80元 (2)方案①：购进6件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型；方案②：购进2件A种航天飞船模型和5件B种航天飞船模型 【分析】（1）设A种航天飞船模型每件进价x元，B种航天飞船模型每件进价y元，根据“2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元”，即可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A种航天飞船模型，b件B种航天飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种航天飞船模型每件进价x元，B种航天飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种航天飞船模型每件进价60元，B种航天飞船模型每件进价80元； （2）解：设购进a件A种航天飞船模型，b件B种航天飞船模型， 根据题意，得， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴当时，；当时，； ∴所有购买方案如下： 方案①：购进6件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型； 方案②：购进2件A种航天飞船模型和5件B种航天飞船模型． 52．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车 (2)①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人 【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车，根据3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车列出方程组，然后求解即可； （2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车， 根据题意得， 解得． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车； （2）解：设调熟练工m人， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴当，3，4时，，4，2， 即：①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人． 题型14 几何问题 53．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形的长为，宽为，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得： ， 解得：， 阴影部分图形的总面积为：． 54．在平面直角坐标系中，用几个完全相同的长方形摆成如图所示图案，已知点的坐标是，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据点的坐标结合图形列出二元一次方程组，求出，的值，再根据点在图形中的位置确定其坐标． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知，点的横坐标为，纵坐标为． ， ， 解得． 观察图形可知，点到y轴的距离为，点到x轴的距离为． 点在第二象限， 点的坐标为． 55．定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 【答案】(1)，过程见解析； (2)A、B型积木的高分别是，． 【分析】（1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． A、B型积木的高分别是，． 56．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)； (2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可； （2）联立（1）中两二元一次方程求解即可； （3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 题型15 图表信息题 57．如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为，由图可列出方程组，用加减消元法消去，求出与关系，即可得出结果． 【详解】解：设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为， 由图可得： 由得：， ∴， ∴，即一个苹果的重量是一根香蕉的重量的倍． 58．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为a，b，c且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如表，由此推断b的值为______ ． 表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 a a 32 乙 a c 20 丙 a c 18 【答案】 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组，理解题意并列出式子是解题的关键． 根据题意得出，根据表格中甲5次的和与乙5次的和不相同，得出数据，结合表格列出等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∵甲的总和乙的总和， ∴甲5次的和与乙5次的和不相同， 又∵， 即可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 a b c a a 32 乙 b a b c b 20 丙 c c a b c 18 ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 59．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 60．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 题型16 古代问题 61．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，图②所示的算筹图表示的方程组为 ， 故选：D ． 62．清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为2，“”的值为，则“天”与“地”的和为____． 【答案】9 【分析】设“天”与“地”分别为，，根据、的含义列方程组求解即可． 【详解】解：设“天”与“地”分别为，， 由题意得：， 整理得：， 得：， ∴， ∴“天”与“地”的和为． 63．《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何?”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文? 【答案】罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文 【分析】设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文 ， 根据题意可得方程组 ， 解得， 答：罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文． 64．请利用二元一次方程组解答以下问题： 【古典文化】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问：共有多少人合伙购物，物价是多少钱？ 【答案】共有人合伙购物，物价是钱． 【分析】设共有人合伙购物，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设共有人合伙购物，物价是钱， 根据题意得， 解得， ∴共有人合伙购物，物价是钱． 题型17 其他问题 65．某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车可得方程，根据技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设升级前每天装配辆，现在每天装配辆， 由题意得，． 66．如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 【答案】6 【分析】设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳，先根据图形中的数据建立二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据收纳柜的高度建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳， 由题意得：， 解得， 则， 解得， 所以高的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳． 67．综合与实践 项目主题 均衡膳食  科学运动 项目背景 健康生活，既要均衡膳食，也要坚持运动．某校数学兴趣小组的同学们计划查阅资料，利用所学知识，为同学们提供科学的膳食搭配参考与合理的运动建议． 项目资料1 表1：食材营养含量表 食材 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 项目资料2 表2：常见运动热量消耗 运动项目 热量消耗 1组开合跳 30千卡 1组仰卧起坐 25千卡 项目任务 (1)若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）制成．其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共．求这份早餐需要的蛋清和燕麦的份数； (2)维持身体热量平衡，合理饮食与适量运动缺一不可．结合青少年健康成长规律，初中生除日常基础消耗外，还需要通过运动消耗400千卡热量．若用开合跳和仰卧起坐两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和仰卧起坐两种运动） 【答案】(1)这份早餐需要蛋清2份，燕麦1份 (2)共有2种运动方案，方案1：用5组开合跳，10组仰卧起坐来进行日常锻炼；方案2：用10组开合跳，4组仰卧起坐来进行日常锻炼 【分析】（1）设这份早餐中蛋清x份，燕麦y份，列方程组解答即可； （2）设用a组开合跳，b组仰卧起坐来进行日常锻炼，根据题意列方程，然后写出所有符合题意的结果即可． 【详解】（1）解：设这份早餐需要蛋清x份，燕麦y份． 根据题意，得 解得： 答：这份早餐需要蛋清2份，燕麦1份． （2）解：设用a组开合跳，b组仰卧起坐来进行日常锻炼， 根据题意，得 ． ， a，b均为正整数， 或， 共有2种运动方案， 方案1：用5组开合跳，10组仰卧起坐来进行日常锻炼； 方案2：用10组开合跳，4组仰卧起坐来进行日常锻炼． 68．【问题情景】种植大户李大叔，通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁，一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． (1)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (2)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【答案】(1) 大型采摘设备每小时采摘8亩沃柑，小型采摘设备每小时采摘4亩沃柑 (2) 共有3种租赁方案，分别为：方案一：租用大型采摘设备1台，小型采摘设备6台；方案二：租用大型采摘设备2台，小型采摘设备4台；方案三：租用大型采摘设备3台，小型采摘设备2台 【分析】（1）根据一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩， 由题意，得：，解得：； 答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑； （2）解：由题意，得：， ∴， ∵均为正整数， ∴，，； 故共有3种租赁方案： 方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 二元一次方程组易错题型专项训练 【温馨提示】聚焦二元一次方程组高频易错点，划分 17 类典型题型。细致分析出错原因，总结正确解法，通过系统专项训练查漏补缺，扫清知识漏洞，轻松攻克这类重难点题型。 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 题型10 年龄问题 题型2 二元一次方程组的特殊解法 题型11 分配问题 题型3 二元一次方程组的错解复原问题 题型12 销售、利润问题 题型4 由二元一次方程组的解的情况求参数 题型13 和差倍分问题 题型5 方程组相同解问题 题型14 几何问题 题型6 方案问题 题型15 图表信息题 题型7 行程问题 题型16 古代问题 题型8 工程问题 题型17 其他问题 题型9 数字问题 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 1．已知是方程的解，则k的值为(    ) A． B．1 C． D．3 2．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．已知是方程的解，则等于________． 4．小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较小的一个数的值是________． 题型2 二元一次方程组的特殊解法 5．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 6．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： (1)请用“整体代入”法解方程组． (2)若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． (3)已知x、y满足，求的值． 7．解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可以采用以下方法： 解：②①，得，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于x，y的方程组，的解，并说明理由． 8．【阅读理解】 数学课上，我们学到“如果关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小宇同学的做法如下： (1)小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． (2)小宇：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解，请你按照小宇的思路写出详细的解题过程． 【解决问题】 何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． (3)请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是________； A．    B．    C．    D． ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数）． 题型3 二元一次方程组的错解复原问题 9．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 10．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 11．甲、乙两位同学解方程组时，由于甲看错方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 12．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 题型4 已知二元一次方程组的解的情况求参数 13．已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 14．已知关于x，y的方程组的解x，y满足，则_______． 15．若方程组的解x，y互为相反数，则______． 16．我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值； (2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型5 方程组相同解问题 17．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 18．若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____． 19．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 20．已知关于，的方程组与有相同的解，求的值． 题型6 方案问题 21．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（    ） A．510 B．512 C．514 D．516 22．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 23．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 24．长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 题型7 行程问题 25．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 26．某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 27．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 28．骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 题型8 工程问题 29．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 30．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 31．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 32．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 题型9 数字问题 33．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（    ）． A．0 B． C． D．32 34．如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则________． 35．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 36．请阅读下列材料，并解答相应的问题： “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1），是世界上最早的矩阵，又称幻方用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表1）．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)表三阶幻方中间的数字是______； (2)表是一个三阶幻方，那么的值是多少？请写出解题过程． (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图所示的“幻圆”幻方中，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，求图中的值． 题型10 年龄问题 37．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 38．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 39．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 40．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型11 分配问题 41．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 42．学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 43．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 44．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 题型12 销售、利润问题 45．某班需采购本和尺子作为奖品，尺子3套、本2个，共需34元；尺子2套、本3个，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（    ） A．每套尺子比每个本贵2元 B．每套尺子比每个本便宜2元 C．尺子比本多买了2个 D．尺子比本少买了2个 46．某体育用品商店销售A，B两款足球，售价和进价如表所示，该商店购进5个A款足球和12个B款足球需1120元，购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，该商店可获利______元． 类型 进价（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 47．某商场用36000元购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品的进价为300元/件，售价为450元/件；乙种商品的进价为400元/件，售价为600元/件．请问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？全部销售完共获利多少元？ 48．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 题型13 和差倍分问题 49．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 50．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是______． 51．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用520元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 52．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 题型14 几何问题 53．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 54．在平面直角坐标系中，用几个完全相同的长方形摆成如图所示图案，已知点的坐标是，则点的坐标是__________． 55．定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 56．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 题型15 图表信息题 57．如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 58．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为a，b，c且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如表，由此推断b的值为______ ． 表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 a a 32 乙 a c 20 丙 a c 18 59．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 60．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 题型16 古代问题 61．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（   ） A． B． C． D． 62．清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为2，“”的值为，则“天”与“地”的和为____． 63．《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何?”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文? 64．请利用二元一次方程组解答以下问题： 【古典文化】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问：共有多少人合伙购物，物价是多少钱？ 题型17 其他问题 65．某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 66．如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 67．综合与实践 项目主题 均衡膳食  科学运动 项目背景 健康生活，既要均衡膳食，也要坚持运动．某校数学兴趣小组的同学们计划查阅资料，利用所学知识，为同学们提供科学的膳食搭配参考与合理的运动建议． 项目资料1 表1：食材营养含量表 食材 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 项目资料2 表2：常见运动热量消耗 运动项目 热量消耗 1组开合跳 30千卡 1组仰卧起坐 25千卡 项目任务 (1)若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）制成．其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共．求这份早餐需要的蛋清和燕麦的份数； (2)维持身体热量平衡，合理饮食与适量运动缺一不可．结合青少年健康成长规律，初中生除日常基础消耗外，还需要通过运动消耗400千卡热量．若用开合跳和仰卧起坐两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和仰卧起坐两种运动） 68．【问题情景】种植大户李大叔，通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁，一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． (1)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (2)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $