9.4向量应用同步课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从基础运算到空间应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学抽象、几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础达标练|向量线性运算、坐标表示、几何应用基础|选择填空为主，直接应用概念解决力的平衡（第1题）、梯形向量表示（第2题），巩固基础运算能力| |B级能力提升练|向量与几何综合（矩形、三角形）、实际应用（航程最短）、多选题辨析|综合题（第16题三角形向量范围）、多选题（第8题力的平衡）提升推理能力，体现几何直观| |C级拓展探究练|空间向量应用、动点运动与向量综合|空间探测器（第17题）、动点运动（第18题）情境，培养创新意识与数学建模能力，发展数学眼光|

9.4　向量应用 A级 基础达标练 1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于(　　) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 2.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2CD,E为线段AD的中点,且BF=AB,则=(　　) A. B. C. D. 3.设O为△ABC的外心,OD⊥BC,垂足为点D,且||=,||=1,则·()的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025如东月考)如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(　　) A. B. C. D.2 5.一条河宽为8 000 m,一艘船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需的时间为　　　　h.  6.(2025无锡质检)已知正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,则cos∠DOE的值为　　　　.  7.(2025泉州月考)在四边形ABCD中,已知A(0,0),B(4,0),C(3,2),D(1,2). (1)判断四边形ABCD的形状; (2)若=2,求向量夹角的余弦值. B级 能力提升练 8.(多选题)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,如图所示.下列说法正确的是(　　) A.的大小 B.的大小 C.F2与F3的夹角π D.F2与F3的夹角π 9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且,则||=(　　) A. B.2 C.3 D.2 10.(2025通州月考)若P是△ABC所在平面内一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状是(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 11.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3=0,则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 12.(多选题)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是(　　) A.船垂直到达对岸所用时间最少 B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D.船垂直到达对岸时航行的距离最短 13.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论错误的是(　　) A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心 B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点 C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心 D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点 14.(多选题)如图所示,一条河两岸平行,河的宽度为400 m,一艘船从河岸的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=8 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,船的速度与水流速度的合速度为v,那么当航程最短时,下列说法错误的是(　　) A.船头方向与水流方向垂直 B.cos <v1,v2>=- C.|v|=2 km/h D.该船到达对岸所需时间为3 min 15.如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为　　　　　.  16.(2025苏州月考)在三角形ABC中,AB=2,AC=1,∠ACB=,D是线段BC上一点,且,F为线段AB上一点. (1)设=a,=b,=xa+yb,求x-y的值; (2)求的取值范围; (3)若F为线段AB的中点,直线CF与AD相交于点M,求. C级 拓展探究练 17.如图为一个空间探测器的示意图,P1,P2,P3,P4是四台喷气发动机,P1,P3的连线与空间一个固定坐标系的x轴平行,每台发动机开动时,都能向探测器提供推力,但不会使探测器转动,开始时,探测器以恒定的速率|v0|向正x方向平动,要使探测器改为正x偏负y60°的方向以原来的速率|v0|平动,则可(　　) A.先开动P1适当时间,再开动P4适当时间 B.先开动P3适当时间,再开动P2适当时间 C.开动P4适当时间 D.先开动P3适当时间,再开动P4适当时间 18.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从 P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒? 参考答案 1.D　由题意得F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2). 2.D　根据向量的运算法则,可得)=×2,故选D. 3.A　由已知得,D为BC的中点,故),则·()=)·()=(||2-||2)=1. 4.B　以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设正方形边长为1,则=(1,1),=(-1,1),故1=λ-μ,1=λ+μ,解得λ=,μ=,∴λ+μ=. 5.0.5　如图,v实际=v船+v水, |v船|=20 km/h,|v水|=12 km/h, ∴|v实际|==16(km/h). ∴所需时间t==0.5(h). ∴该船到达B处所需的时间为0.5 h. 6.　以O为坐标原点,以OA,OC所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系,如图所示, 由题意知, 故cos∠DOE=. 即cos∠DOE的值为. 7.解 (1)因为=(2,0),=(4,0),所以=2. 又因为||=,||=,所以四边形ABCD是等腰梯形. (2)设E(x,y),则=(x,y),=(3-x,2-y). 因为=2,所以解得 所以. 设向量的夹角为θ,则 cos θ=, 故向量夹角的余弦值为. 8.AC　由题意知|F3|=|F1+F2|,因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,所以|F3|=|F1+F2|=. 设F2与F3的夹角为θ,因为F3=-(F1+F2),所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2,所以×2×cos θ=-1×2×-4,所以cos θ=-,所以θ=π.故选AC. 9.B　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设||=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0), 所以=(2,-a),=(4,a). 因为,所以=0, 所以2×4+(-a)·a=0,即a2=8. 所以a=2,所以=(2,-2), 所以||==2. 10.B　由||=|-2|,可得||=||,即||=||,∴=0,∴,因此,△ABC是直角三角形. 11.B　如图,D为BC边的中点, 则).因为3=0,所以3=2,所以, 所以S△ABM=S△ABD=S△ABC. 所以S△ABM∶S△ABC=1∶3. 12.BD　根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少;当船垂直到达对岸时航行的距离最短. 13.ABC　由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点. 14.ACD　由题意可知,v=v1+v2,当船的航程最短时,v⊥v2,而船头的方向与v1同向,由v·v2=(v1+v2)·v2=v1·v2+=0,可得v1·v2=-=-4,∴cos <v1,v2>==-,A选项错误,B选项正确;|v|=|v1+v2|==2(km/h),C选项错误;该船到达对岸所需时间为60×(min),D选项错误. 15.　∵, ∴+2. ① 又, ∴-2. ② ①+②,得=2(). 又AD=1,AB=2,BD=2,∴AC=. 16.解 (1)∵)=a+b, 而=xa+yb,∴x=,y=,∴x-y=. (2)∵在三角形ABC中,AB=2,AC=1,∠ACB=, ∴∠CAB=,BC=. ∴=()·.① 不妨设||=x,x∈[0,2], ∴=1×x×cos-x2=-x2+x,x∈[0,2], ∴. (3)∵F为线段AB的中点, ∴. 不妨设=λ,∴, ∴. ∵A,M,D三点共线, ∴=μ,即=μ, ∴∴λ=, ∴. ∴·()=. 17.A　先开动P1适当时间,探测器受到的推力沿负x方向,探测器沿正x方向做减速运动,再开动P4适当时间,又产生沿负y方向的推力,探测器的合速度可以沿正x偏负y 60°的方向,并以原来的速率|v0|平动,故A正确;先开动P3适当时间,探测器受到的推力沿正x方向,将沿正x方向加速运动,再开动P2适当时间,又产生沿正y方向的推力,探测器的合速度在第一象限,故B错误;先开动P4适当时间,探测器受到沿负y方向的推力,将获得沿负y方向的速度,沿x轴方向的速率不变,故C错误;先开动P3适当时间,探测器受到的推力沿正x方向,将沿着正x方向加速运动,速率大于v0.再开动P4适当时间,探测器又受到沿负y方向的推力,将获得沿负y方向的速度,合速度的大小大于v0,故D错误. 18.解 e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为. 依题意知,||=t,||=t, ∴=|=(t,t), =|=(3t,2t). 由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1), ∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3). ∵,∴=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2. 即当时所需的时间为2 s. 学科网（北京）股份有限公司 $