9.4.2 向量应用（2）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.4.2 向量应用（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

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一、单项选择题

1  (2025南宁三中月考)若非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，则|a＋b|的最大值为(　　)

A.3    B.2    C.1    D.4

2 (2025佛山期中)已知△ABC的三个顶点分别是A(－1，0)，B(1，0)，C(，)，则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形　    B.直角三角形

C.斜三角形　      D.等腰直角三角形

3 如图，已知树顶A离地面 m，树上另一点B离地面 m，某人在离地面 m的C处看此树，则当该人看A，B的视角最大时，离此树的距离为(　　)

A.4 m    B.5 m    C.6 m    D.7 m

4  (2025沈阳月考)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·　的取值范围为(　　)

A.    B.[4，6]    C.[2，4]    D.

5 (2025日照期中)在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为AD的中点．若·＝－3，则AB的长为(　　)

A.    B.1    C.2    D.3

6 (2025广东联考)已知△ABC是以C为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的最小值为(　　)

A.－    B. －    C. －    D. －

二、多项选择题

7 (2024佛山期中)已知点A(－2，1)，B(3，－2)，C，D(1，6)，则下列结论中正确的是(　　)

A.AB∥CD    B.AB⊥AD

C.AC＝BD    D.AC⊥BD

8 (2025无锡月考)已知平面向量，为非零向量，且满足||＝2，|－|＝1，则下列说法中正确的是(　　)

A.，夹角的取值范围是

B.||的取值范围是[1，3]

C.·的取值范围是[2，4]

D.|＋|的取值范围是[3，5]

三、填空题

9 (2025上海大同中学期中)已知平面向量a满足a·e＝3，其中e是单位向量，则|a|的取值范围为________．

10 已知在△ABC中，||＝||＝4，且·＝8，则△ABC的形状是________．

11 (2025三明北附中学月考)已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．

四、解答题

12 (2025邯郸期中)如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，＝3.

(1) 用，表示，；

(2) 若AB＝AD，求证：EF⊥DF.

 

 

13 (2024深圳月考)如图，△ABC的三个顶点是三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的点D，E，F上．岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上．设＝a，＝b.

(1) 用a，b表示，；

(2) 如果∠ACB＝60°，AC＝20 n mile，且CD⊥EF，求岛屿C到补给站D的距离以及岛屿A到岛屿B的距离．

 

 

 

 

 

 

 

参 考 答 案

1.D　由绝对值三角不等式知|a＋b|≤|a|＋|b|＝1＋3＝4，当且仅当a，b同向时，等号成立．

2.B　易知＝，＝，可得·＝×＋×＝0，即⊥，且||＝≠||＝1，所以△ABC的形状是直角三角形．

3.C　如图，建立平面直角坐标系，则A，B，设C(x>0)，则＝(－x，9)，＝(－x，4)，所以cos ∠ACB＝＝＝≥.又0<∠ACB<π，且余弦函数在区间(0，π)内单调递减，则当＝，即x＝6时，∠ACB最大，故当该人离此树6 m时，看A，B的视角最大．

4.B　如图，在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，则AB＝3，∠CAB＝45°，令MA＝t(0≤t≤2)，则NA＝t＋，故·＝(＋)·(＋)＝·＋(＋)·＋||2＝t(t＋)＋(2t＋)×3×cos 135°＋9＝t2－2t＋6＝(t－)2＋4，当t＝时，(·)min＝4；当t＝0或t＝2时，(·)max＝6，所以·的取值范围为[4，6].

5.C　设AB＝x，因为在平行四边形ABCD中， AD＝2，∠BAD＝60°，E为AD的中