9.4.2 向量应用（2）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.4.2 向量应用（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025南宁三中月考)若非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，则|a＋b|的最大值为(　　) A.3 B.2 C.1 D.4 2 (2025佛山期中)已知△ABC的三个顶点分别是A(－1，0)，B(1，0)，C(，)，则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形　 B.直角三角形 C.斜三角形　 D.等腰直角三角形 3 如图，已知树顶A离地面 m，树上另一点B离地面 m，某人在离地面 m的C处看此树，则当该人看A，B的视角最大时，离此树的距离为(　　) A.4 m B.5 m C.6 m D.7 m 4 (2025沈阳月考)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·　的取值范围为(　　) A. B.[4，6] C.[2，4] D. 5 (2025日照期中)在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为AD的中点．若·＝－3，则AB的长为(　　) A. B.1 C.2 D.3 6 (2025广东联考)已知△ABC是以C为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的最小值为(　　) A.－ B. － C. － D. － 二、多项选择题 7 (2024佛山期中)已知点A(－2，1)，B(3，－2)，C，D(1，6)，则下列结论中正确的是(　　) A.AB∥CD B.AB⊥AD C.AC＝BD D.AC⊥BD 8 (2025无锡月考)已知平面向量，为非零向量，且满足||＝2，|－|＝1，则下列说法中正确的是(　　) A.，夹角的取值范围是 B.||的取值范围是[1，3] C.·的取值范围是[2，4] D.|＋|的取值范围是[3，5] 三、填空题 9 (2025上海大同中学期中)已知平面向量a满足a·e＝3，其中e是单位向量，则|a|的取值范围为________． 10 已知在△ABC中，||＝||＝4，且·＝8，则△ABC的形状是________． 11 (2025三明北附中学月考)已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． 四、解答题 12 (2025邯郸期中)如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，＝3. (1) 用，表示，； (2) 若AB＝AD，求证：EF⊥DF. 13 (2024深圳月考)如图，△ABC的三个顶点是三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的点D，E，F上．岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上．设＝a，＝b. (1) 用a，b表示，； (2) 如果∠ACB＝60°，AC＝20 n mile，且CD⊥EF，求岛屿C到补给站D的距离以及岛屿A到岛屿B的距离． 参 考 答 案 1.D　由绝对值三角不等式知|a＋b|≤|a|＋|b|＝1＋3＝4，当且仅当a，b同向时，等号成立． 2.B　易知＝，＝，可得·＝×＋×＝0，即⊥，且||＝≠||＝1，所以△ABC的形状是直角三角形． 3.C　如图，建立平面直角坐标系，则A，B，设C(x>0)，则＝(－x，9)，＝(－x，4)，所以cos ∠ACB＝＝＝≥.又0<∠ACB<π，且余弦函数在区间(0，π)内单调递减，则当＝，即x＝6时，∠ACB最大，故当该人离此树6 m时，看A，B的视角最大． 4.B　如图，在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，则AB＝3，∠CAB＝45°，令MA＝t(0≤t≤2)，则NA＝t＋，故·＝(＋)·(＋)＝·＋(＋)·＋||2＝t(t＋)＋(2t＋)×3×cos 135°＋9＝t2－2t＋6＝(t－)2＋4，当t＝时，(·)min＝4；当t＝0或t＝2时，(·)max＝6，所以·的取值范围为[4，6]. 5.C　设AB＝x，因为在平行四边形ABCD中， AD＝2，∠BAD＝60°，E为AD的中点，所以由·＝－3，得(＋)·＝(＋)·(－)＝||2－·－||2＝2－||×2×cos 60°－||2＝2－x－x2＝－3，即2x2＋x－10＝0，解得x＝2或x＝－(舍去)，所以AB的长为2. 6.B　如图，建立平面直角坐标系，设P(x，y)，由△ABC是斜边长为2的等腰直角三角形，得A(0，)，B(，0)，则＝(－x，－y)，＝(－x，－y)，＝(－x，－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，故·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2＋2(y－)2－≥－，可得·(＋)的最小值为－. 7.AB　因为点A(－2，1)，B(3，－2)，C，D(1，6)，所以 ＝(5，－3)，＝，＝，＝(3，5)，＝(－2，8).由5×＝(－3)×(－4)，得∥.易得AB与CD不重合，所以AB∥CD，故A正确；因为5×3＋(－3)×5＝0，所以⊥，即AB⊥AD，故B正确；因为||＝＝，||＝＝，所以AC≠BD，故C错误；因为7×(－2)＋×8≠0，所以⊥不成立，即AC⊥BD不成立，故D错误．故选AB. 8.ABD　由|－|＝1，得||＝1.又||＝2，故可建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2，0)，且点B在以A为圆心，1为半径的圆上．当OB与圆相切时，sin ∠AOB＝＝，可得∠AOB的最大值为，最小值显然为0，所以，夹角的取值范围是，故A正确；当B为圆与x轴的交点时，||取得最值，结合图易知1≤||≤3，故B正确；如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D.由·＝||||cos ∠AOB＝||||，显然点D在圆与x轴的两个交点之间运动(含交点)，故1≤||≤3，而||＝2，所以·的取值范围是[2，6]，故C错误；如图，设C是AB的中点，则2＝＋，所以2||＝|＋|，显然中点C的运动轨迹是以A为圆心，为半径的圆，则≤||≤，所以3≤|＋|＝2||≤5，故D正确．故选ABD. 9.[3，＋∞)　设a与e的夹角为θ，因为a·e＝|a||e|cos θ＝|a|cos θ＝3>0，则cos θ∈(0，1]，所以|a|＝≥3，即|a|的取值范围为[3，＋∞). 10.等边三角形　因为·＝||||cos A＝16cos A＝8，所以cos A＝，可得A＝60°.又因为||＝||，所以△ABC是等边三角形． 11.　因为向量a与b的夹角为锐角，所以a·b>0且a与b不共线，所以－3λ＋10>0且5λ≠－6，解得λ<且λ≠－. 12.(1) 由题意，得＝＝，＝， 则＝＋＝＋＝＋， ＝＋＋＝－＋＋＋＝－. (2) 由(1)知＝＋，＝－， 所以·＝· ＝||2－||2＋· ＝||2－||2. 因为AB＝AD，所以||＝||， 则·＝||2－||2＝×－||2＝0， 所以⊥，即EF⊥DF. 13.(1) 由题意，得＝，＝－，＝. 又＝a，＝b， 所以＝＋＝－＋＝a－b， ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. (2) 由题意，得CD⊥EF，|b|＝||＝AC＝20， 所以·＝·＝0， 即a2－b2＝0， 所以|a|2－×202＝0，解得|a|＝30. 又∠ACB＝60°，所以a·b＝20×30×＝300， 则||＝＝＝ ＝12. 因为＝－＝a－b， 所以||＝＝＝＝10. 综上，岛屿C到补给站D的距离为12 n mile，岛屿A到岛屿B的距离为10 n mile. 学科网（北京）股份有限公司 $