9.4向量应用（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

9.4向量应用—题型专练 题型一 证明线段垂直 1. 在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 2. 如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 【答案】证明见解析 【详解】∵·＝·＝2－2，而， ∴·＝0， ∴⊥，即DE⊥AF. 3. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 3．如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，    设，， 则，，，， ∴， ∴，∴. 4. 用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果. 【详解】证明：设， ． 因为四边形为菱形，所以， 又 则，故． 所以. 5. 5．在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即. 题型二 夹角问题 1. 如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设， 则， 则 又，且余弦函数在单调递减， 则当，即时最大. 即该人离此树6米时，看A、的视角最大. 故选：C 1. 中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果. 【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系， 因为，，所以，，， 设， 因为、、三点共线，所以，，， 因为，、、三点共线，所以， 联立，解得，，， 因为，，所以，， 因为， 所以， 故选：A. 1. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意作图如下，设，    故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 故选：C. 1. 已知为△的外接圆的圆心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得：，且， ， ，∴∠AOB=90°.    如图所示，建立平面直角坐标系，设，， 由可知：，则： ，，，则.故选：A. 1. 已知是的外心，且，则 ． 【答案】/ 【解析】，即，设， 两边同平方得，解得， 同理可得，， ， ，则， ，， .故答案为：. 1. 如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由题，可得.则. 设，则.因，则.则，故AE的长为1； （2）若E为AB的中点，则，，又. 由图可知. 题型三 线段长度问题 1. 在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 1. 在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 1. 如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为 . 【答案】/1.5 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】作出辅助线，证得△ADE∽△BDC，进而根据相似比即可求出结果. 【详解】如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E. 因为∠ACD=∠BCD=∠AED， 所以||=||. 因为△ADE∽△BDC， 所以， 故||=. 故答案为：. 1. 如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）； ， ，故， . （2）， . 1. 如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 .    【答案】 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系. 设， 则. 因为，所以， 即，当且仅当时，取等号. 筝形ABCD的面积为 即当时，筝形ABCD的面积最大. 此时AB边长为. 故答案为： 1. 如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 1. 在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【知识点】用向量解决线段的长度问题、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案. 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 题型四 几何最值问题 1. 在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.    则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是6. 故选：D 已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】向量与几何最值 【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，再利用向量模的运算性质求得的最大值． 【详解】由，得， 即， 为外接圆的直径，如图所示； 设坐标原点为， 则， 是圆上的动点， ， ， 当与共线时，取得最大值7； 在平面内，若，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量模的坐标表示、向量与几何最值、坐标计算向量的模 【分析】建立平面直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得的取值范围，也即求得的取值范围. 【详解】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，. 由得 则 又由，得，则，即①. 又，得，则； 同理由，得，即有②. 由①②知，所以. 而，所以. 故选：D. 题型06 解析法在向量中的应用 1. 在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、解析法在向量中的应用、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可. 【详解】 如图所示建立平面直角坐标系，设，显然， 所以， 由二次函数的单调性知. 故选：A 1. 圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】由题意可得，， 要使取得最小值，则要最小，根据圆的性质，只需，此时为中点， 又，则，所以，则的最小值为. 故答案为：. 1. 求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【答案】当时，函数取得最大值为． 【知识点】向量的模、用向量解决线段的长度问题 【分析】对函数变形后，将问题转化为求两个向量模的差的最大值问题，然后利用向量模的性质求解即可. 【详解】， 可设向量，，则， 所以，当且仅当与同向时，等号成立． 由，解得． 因此，当时，函数取得最大值为． 1. 已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】向量与几何最值 【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，再利用向量模的运算性质求得的最大值． 【详解】由，得， 即， 为外接圆的直径，如图所示； 设坐标原点为， 则， 是圆上的动点， ， ， 当与共线时，取得最大值7； 故选：C． 1. 在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 . 【答案】 【解析】以A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系， ， 设直线BC方程为，则， 解得，所以BC方程为，设， 所以， 得. 故答案为：.    1. 青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 ．    【答案】 【解析】连接，如图所示：    ． 根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时， 当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时， 故，即的取值范围是． 故答案为：. 1. 如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】解法一： 由，，得， 所以，，则， 设，则， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值. 解法二： 由，得， 所以， ， 如图，建立平面直角坐标系，    则，， 所以. 设，则，所以， 所以，， 则， 当且仅当时，取得最小值. 解法三： 由，得， 所以，，， 如图，分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，    则. 因为点在边上，所以设， 所以， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 故答案为：. 题型五 几何中其它问题 1. 已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【详解】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 1. 在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 1. 已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为 . 【答案】等腰直角三角形 【知识点】向量在几何中的其他应用、向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】求出向量，计算数量积，计算它们的模后可判断三角形形状． 【详解】由已知，得，， ∴， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形. 故答案为：等腰直角三角形. 1. 已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 1. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足abc，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】用表示出，结合图形即可得出G在∠BAC的角平分线上． 【详解】解：∵abc， ∴ab（）+c（）， ∴（a+b+c）bc， 即， ∴G在∠BAC的角平分线上， 同理可得：G在∠ABC的角平分线上， ∴G是△ABC的内心． 故选：A． 题型六 在物理中的应用 1. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 1. 已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．N B．5N C．10N D．N 【答案】B 【解析】   如图，，，，，. 在中，有， 所以，的大小为5N. 故选：B. 1. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故，故选：C 1. 如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】力的合成 【分析】设两根绳子的拉力分别为，，作，根据题意得到其为矩形求解. 【详解】解：如图所示： 设两根绳子的拉力分别为，. 作，使，. 在中，， 所以， 所以，， 所以， 故两根绳子拉力的大小分别为，. 故选：C. 1. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【答案】A 【分析】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)． 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．    设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 1. （多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ，    当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误；    故选：AB 1. 长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .    【答案】/ 【解析】由题意知，则 因为，，即，所以.故答案为： 1. 已知力作用于一物体，使物体从移动到，则力对物体所做的功是 . 【答案】1 【知识点】功、动量的计算 【分析】先求出位移，然后利用向量数量积公式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以对物体所做的功为. 故答案为：1 一、单选题 1．在△ABC中，设O是△ABC的外心，且，则∠BAC等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】直接利用△ABC重心的性质，可知△ABC的重心与外心重合，可得△ABC为等边三角形. 【详解】依题意， 因为，所以O也是△ABC的重心， 又因为O是△ABC的外心，所以△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=60°. 故选：C. 2．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据，可得，进一步得出答案． 【详解】 依题意， 如图，连接AC，由，得． 因为C为半圆上的点，所以，所以． 故选：A． 3．在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】 根据向量共线即可判断. 【详解】四边形ABCD中，若， 则，且， 所以四边形是梯形. 故选：B 4．一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 【答案】A 【分析】根据功，即可求得物体所做的功. 【详解】由题意可知，，， 所以对该物体所做的功为． 故选：A． 5．共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意计算共点力的合力是，结合对物体做的功为计算出结果. 【详解】根据题意得：共点力的合力是， 对物体做的功为. 故选：D． 6．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 7．已知，，P是线段AB中点，则线段AP长为（    ）． A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】由已知向量求出的坐标，从而可求出，进而可求出线段AP长. 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为P是线段AB中点， 所以． 故选：A 8．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    9．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 10．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 11．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 12．已知非零向量与满足且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的定义可得，进而结合得，即可判断. 【详解】在中，设内角的对边长分别为，则由已知有，所以，从而. 而，故. 所以是有一个内角是的等腰三角形，从而一定是等边三角形. 故选：D 13．已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当为中点时，可判断A；由，可判断B；计算可得判断C；计算可得可判断D. 【详解】当为中点时，，所以，故A错误； 因为，又，所以，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 14．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 15．如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部含边界，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照PQ所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征可得点分别在图中的处时取最小值，利用黄金分割即可求解. 【详解】要使最小，它们夹角必定为钝角或平角，若，在五角星内， 只要延长与边界相交于点，在保持夹角不变情形下，，则， 所以，必定在五角星边界上先考察点位置，根据对称性，分两种情形： 1．点在边上： ①先考虑极端情形：若点与右顶点重合， 则在上投影向量的模最长且与反向的就是（即与重合），所以此时最小， ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小， 且在上投影向量的模也变小为，故变大，不合题意； 2．点在的边上： ①先考虑极端情形：若点与顶点重合，则此时，但注意到在上投影向量的模最长且反向的是， 且根据相交弦定理知：，所以此时 ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，而在上投影向量的模会变大， 过作的垂线，垂足为，则，，，四点共圆， 由相交弦定理知， 所以此时， 综上，当，分别与顶点，重合时，取最小值 由于黄金分割比，而，则， 同理，则， 所以 , 故选：B 二、多选题 16．下列关于平面向量的说法中不正确的是（    ） A．，,若,则 B．单位向量，，则 C．若且，则 D．若点为的重心，则 【答案】AC 【分析】利用向量共线的坐标表示即可判断A，将展开后结合即可判断B，向量数量积不满足消去律，可判断选项C，根据向量的线性运算及三角形重心的性质可判断选项D. 【详解】对于选项A：因为，则，解得：，故选项A不正确； 对于选项B：，所以 ，故选项B正确； 对于选项C：根据向量的几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C不正确； 对于选项D：若点为的重心，取的中点，则 ，故选项D正确， 故选：AC 17．已知点为外接圆的圆心，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据垂径定理先求出，再求即可. 【详解】令，则，所以（舍）或， 所以， 所以. 故选：BD. 18．（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（    ） A．10 B． C．2 D．22 【答案】BC 【分析】设，过点作于点，得到，过点作于点，得到，进而求得的长. 【详解】设．则, 过点作于点，则，所以，可得， 过点作于点，则, 又由，所以，即. 故选：BC. 19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】AD 【分析】由奔驰定理可判断A选项，利用重心结论可判断B选项； 由外心可知，即可判断C选项； 由内心可知，满足勾股定理，D选项正确. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，， 因为，所以，即共线，故B错误． 对于C，当为的外心时，， 所以， 即，故C错误． 对于D，当为的内心时，（为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 20．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【分析】设水的阻力为，绳的拉力为，绳与水平方向的夹角为，则，根据变化即可判断. 【详解】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 21．如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】BCD 【分析】根据数量积的运算律可得，结合正六边形的几何性质，即可求解. 【详解】如图，设圆心为，取的中点，连接，，，，    根据题意可知，是边长为的正三角形，易得， ， 根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值， 此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值，此时 综上，. 故选：BCD 三、填空题 22．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且，则△ABC的内角A＝ ． 【答案】60° 【详解】由，知点O为△ABC的重心，又O为△ABC外接圆的圆心，所以△ABC为等边三角形，A＝60°. 23．作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 【答案】70 【分析】根据题意得到，然后两边平方求解. 【详解】解：由题意得， 所以， 两边同时平方得， 所以， 故答案为：70 24．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是 【答案】/ 【分析】由题意可设，由向量线性运算、模的坐标公式结合辅助角公式即可得解. 【详解】动点的轨迹为以为圆心的单位圆，则设为， 则 . 等号成立当且仅当，且规定是锐角，. 故答案为：. 25．已知是作用于同一质点的两个力，N，N，和的夹角为，则合力的大小是 N. 【答案】 【分析】根据条件及进行数量积的运算即可求出答案. 【详解】根据，所以， 则 . 故答案为：. 26．在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可． 【详解】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 27．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】由受力分析，有，依次判断即可. 【详解】对于①，当与方向竖直向上时，的最小，此时，所以①正确； 对于②，当时，，，所以②正确； 对于③，当时，，，所以③正确； 对于④，由，当越大时，越小，越大，越费力，所以④错误． 故答案为：①②③． 28．如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【详解】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 29．已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得． 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为等边的边长为6， 所以的内切圆圆心在上，半径， 则，，，，， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 30．已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 【答案】 【分析】第一空利用向量形式的三角不等式即可求解；第二空将转化为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】解：，当点与点重合时等号成立； 如图所示，取中点，连接，取的中点为，连接， 则． 又因为点为正方形内部（包括边界）一动点， 所以， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为，． 四、解答题 31．在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量即可证明． 【详解】证明：因为， 所以且， 所以四边形为梯形． 32．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的D，E，F上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上，设．    (1)用表示； (2)从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. 【详解】（1）依题意，得，点为中点，， 又，， 所以， . （2）依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以， 所以. 33．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 34．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: (1)的大小; (2)与的夹角的大小. 【答案】(1)(1+)N (2) 【分析】（1）根据三个力平衡，得到，再由求解； （2）设与的夹角为θ，由求解. 【详解】（1）解：因为三个力平衡，所以， 则， ， 故的大小为(1+)N. （2）设与的夹角为θ， 则， 即， 解得，因为， 所以. 35．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.4向量应用—题型专练 题型一 证明线段垂直 1. 在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 2. 如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 3. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 3．如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    4. 用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 5. 在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 题型二 夹角问题 1. 如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 1. 中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 1. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 1. 已知为△的外接圆的圆心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 1. 已知是的外心，且，则 ． 1. 如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点 (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 题型三 线段长度问题 1. 在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 1. 在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 1. 如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为 . 1. 如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 1. 如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 .    1. 如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 1. 在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 题型四 几何最值问题 1. 在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 在平面内，若，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 题型六 解析法在向量中的应用 1. 在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1. 圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ． 1. 求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 1. 已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1. 在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 . 1. 青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 ．    1. 如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为 . 题型五 几何中其它问题 1. 已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 1. 在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 1. 已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为 . 1. 已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 1. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足abc，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 题型六 在物理中的应用 1. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 1. 已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．N B．5N C．10N D．N 1. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 1. 如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 1. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 1. （多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据： A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 1. 长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .    1. 已知力作用于一物体，使物体从移动到，则力对物体所做的功是 . 一、单选题 1．在△ABC中，设O是△ABC的外心，且，则∠BAC等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 3．在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 4．一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 5．共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 6．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 7．已知，，P是线段AB中点，则线段AP长为（    ）． A． B．1 C．5 D． 8．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 10．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 11．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 12．已知非零向量与满足且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 13．已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 14．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 15．如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部含边界，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．下列关于平面向量的说法中不正确的是（    ） A．，,若,则 B．单位向量，，则 C．若且，则 D．若点为的重心，则 17．已知点为外接圆的圆心，，，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（    ） A．10 B． C．2 D．22 19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 20．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 21．如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 三、填空题 22．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且，则△ABC的内角A＝ ． 23．作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 24．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是 25．已知是作用于同一质点的两个力，N，N，和的夹角为，则合力的大小是 N. 26．在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 27．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 28．如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 29．已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 30．已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 四、解答题 31．在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 32．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的D，E，F上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上，设． (1)用表示； (2)从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 33．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    34．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: (1)的大小; (2)与的夹角的大小. 35．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$