精品解析：青海海东市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2026年春季高二期中考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 2. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 3. 已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，，由题知：， 所以，解得：或（舍去）. 故选：A 4. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 5. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】考点：排列、组合的实际应用． 分析：本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果． 解：用插空法解决的排列组合问题， 将所有学生先排列，有A88种排法， 然后将两位老师插入9个空中， 共有A92种排法， ∴一共有A88A92种排法． 故选A． 6. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 7. 函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，利用得，然后按照、和分类讨论研究函数单调性，从而利用极小值点的定义求解即可. 【详解】的定义域为 ，， 由题意，得， 所以． 若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． ②若，由，得， 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减． 所以是函数的极大值点，不满足题意． 当时，即 ， ，此时单调递增，无极值点，不满足题意． 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极小值点，满足题意． ③若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． 综上 的取值范围是即． 故选：A． 8. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 【答案】B 【解析】 【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1， 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点， 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点． 则实数a的取值范围是（0，）． 故选B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 含项的系数为 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数之和为32 D. 所有项的系数之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项，赋值可判断AD，所有项的二项式系数之和为可判断C，由二项式定理可判断B. 【详解】的展开式的通项为. 令，可得含项的系数为，故A错误； 第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，故B正确； 所有项的二项式系数之和为，故C正确； 令，可得所有项的系数之和为，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断ABC，根据向量法求距离即可判断D. 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则， 对于A：，，所以，故A错误； 对于B：，显然为平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 所以，故B正确； 对于C：，设平面的法向量为，所以，令，得， 显然为平面的一个法向量，所以， 所以，故C错误； 对于D：，显然为平面的一个法向量，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的极大值点是3 C. 的值域为 D. 当时，函数有1个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，根据奇偶性求出解；选项B，利用导数法求出单调性，利用单调性得到极大值；选项C，利用导数法求出单调性，利用单调性求出极值，结合极限得到值域；选项D，构造函数利用函数的最大值，单调性求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，有， 由题意可得， 因此，所以A错误. 当时，， 求导得， 因为，所以的符号由决定： 当时， ，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 因此在处取得极大值，所以B正确； 下面判断值域，由上面的单调性可知， 当时，， 所以时，函数值范围为， 当时，，求导得 所以是极小值点，且又 因此时，函数值范围为， 结合，函数的值域为不是，所以C错误. 最后判断D,令 函数的零点等价于方程的实根， 当时，时，的最大值，所以在上没有解， 在上，在区间单调递增，且函数值从增大到 因此对任意，方程在内恰有一个实根， 所以函数有个零点，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再由指定的幂指数求解得答案. 【详解】二项式的展开式通项公式， 由，得，因此， 所以的系数为10. 故答案为：10 13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出. 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法； 方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出． 14. 若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【详解】解法一：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，． 解法二：由， 令， 则， 因为函数在区间内是减函数， 所以在递减， 又的对称轴为，且开口向下， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 因为所以. 解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝. (2)bn＝＝， 所以Sn＝ 16. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）求在区间的最大值和最小值． 【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减； （2）在区间上的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式求出函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又. 令，解得或；令，解得. 所以函数在上单调递增；在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增. 所以当时，函数取得最小值， 又，， 而， 所以当时，函数取得最大值为：. 即在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，的极小值为 . 【解析】 【分析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值； （2）由（1）的结果知于是可用导函数求的单调区间； 【详解】（1）对求导得， 由在点处切线垂直于直线， 知解得； （2）由（1）知， 则 令，解得或. 因不在的定义域内，故舍去. 当时，故在内为减函数； 当时，故在内为增函数； 由此知函数在时取得极小值. 18. 设曲线在点处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为． （1）求切线l的方程； （2）求的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由导数的几何意义求得切线方程； （2）求出切线与坐标的交点坐标，计算出三角形面积后，由导数求得最大值． 【小问1详解】 ，时， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 在中，令得，令得， 因为， 所以， ， 所以时，，递增，时，，递减， 所以． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高二期中考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 A. B. C. D. 6. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 含项的系数为 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数之和为32 D. 所有项的系数之和为 10. 如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的极大值点是3 C. 的值域为 D. 当时，函数有1个零点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 14. 若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）求在区间的最大值和最小值． 17. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 18. 设曲线在点处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为． （1）求切线l的方程； （2）求的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $