精品解析：陕西西安市经开第二学校2025-2026学年第二学期八年级数学期中教学质量监测

西安市经开第二学校2025-2026学年第二学期 八年级数学期中教学质量监测 注意事项：试卷共2页，总分120分，作答时间120分钟． 第I卷（选择题 共24分） 一、单选题(共8小题，每小题3分，计24分) 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中成立的是（     ） A. B. C. D. 3. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将沿方向平移得到．若，，则平移距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平分于点A，若，则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 第II卷（非选择题 共96分） 二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分) 9. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 10. 中国古建筑中的亭台楼阁很多都采用八边形结构．如图，左边是株洲市的分袂亭，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图右边所示，则这个正八边形的内角和的度数为______． 11. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 12. 若关于的不等式组的解集只有3个整数解，则的取值范围是______． 13. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 三、解答题(共12小题，计81分，解答应写出过程) 14. 解不等式：． 15. 分解因式： （1）： （2） 16. 如图，在中，，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 17. 如图，已知点在同一条直线上，，，，，求证． 18. 某商店A品牌衬衫的标价为140元，B品牌衬衫的标价为280元．若按标价销售这两种品牌的衬衫共10件，总收款不低于2500元，则销售B品牌的祄衫最少多少件？ 19. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程．试判断方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的． （2）画出将绕点B顺时针旋转后，所得到的． 21. 如图，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接． 若，求的长． 22. 如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． （1）证明：垂直平分． （2）若的周长为18，面积为24，，求的长． 23. 为落实乡村振兴战略，助力农业产业升级，某县电商助农平台推出本地特色水果A，B两款有机草莓．已知购买2箱A款草莓和3箱B款草莓共需520元；购买5箱A款草莓和2箱B款草莓共需640元． （1）求A，B两款草莓每箱的售价； （2）若某单位开展“助农消费”活动，计划购买A，B两款草莓共20箱，且A款草莓的箱数不超过B款草莓的箱数，求该单位最少需花费多少元． 24. 小明从一张边长为的正方形纸板上减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形（如图2）．   （1）上述过程揭示的因式分解的等式是______； （2）若，，求的值； （3）利用因式分解计算：． 25. 探究应用： （1）【问题探究】 已知：如图，在锐角中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接，．求证：． （2）【思维提升】 如图，在中，以为边向外作等边，连接，，，，求长． （3）【拓展应用】 如图，在中，，，作交于点，过点作直线，点是直线上的一个动点，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市经开第二学校2025-2026学年第二学期 八年级数学期中教学质量监测 注意事项：试卷共2页，总分120分，作答时间120分钟． 第I卷（选择题 共24分） 一、单选题(共8小题，每小题3分，计24分) 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合要求； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合要求； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合要求； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合要求． 2. 若，则下列不等式中成立的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变， ∴， ， 故A正确，C错误； ∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， ∴，故B错误； ∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变， ∴，故D错误； 故选：A 3. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键； 多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可． 【详解】A．右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； B．，右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．是因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，将沿方向平移得到．若，，则平移距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质知，结合图形利用线段的和差解答． 【详解】解：设平移距离， 由得：， 解得， 即平移距离为． 故选A． 5. 如图，平分于点A，若，则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于E，根据角平分线的性质求出的长即可． 【详解】解：作于E， ∵平分， ∴， 又∵Q为上动点， ∴， ∴， 则的最小值为3， 故选：B． 6. 如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，总树数在两种情况下保持不变,当每人植树9棵时，有1名同学植树棵数不到8棵，即该同学植树棵数在0到8之间（包含0，不包含8），由此建立不等式组． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 有1位同学植树的棵数不到8棵，可列不等式组为：， 即． 故选：B． 8. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，逐一判断解答即可 【详解】解：∵在中，，将绕点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵ ∴； 故②正确； 连接， ∵在中，，将绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴直线垂直平分线段， ∴； 故③正确； 如图，连接， ∵在中，，将绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，是钝角， 根据同一三角形中，大角对大边，得， ∴， ∴， ∴， 故是错误的， 故④错误 第II卷（非选择题 共96分） 二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分) 9. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 10. 中国古建筑中的亭台楼阁很多都采用八边形结构．如图，左边是株洲市的分袂亭，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图右边所示，则这个正八边形的内角和的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和． 直接根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：这个正八边形的内角和的度数为， 故答案为：． 11. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式的解集为直线在直线上方时，交点的横坐标的取值范围，据此结合函数图象求解即可． 【详解】解：由函数图象可得直线与直线交于点， ∴当时，． 12. 若关于的不等式组的解集只有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据不等式组的解集只有3个整数解，列出关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集只有3个整数解， ∴，3个整数解为：， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，     ∵沿射线平移，得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为， ∵是等边三角形，，边长为4， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 三、解答题(共12小题，计81分，解答应写出过程) 14. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据步骤“去分母，去括号，移项，合并同类项”，即可得解．掌握解一元一次不等式的一般步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为）是解题的关键． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 15. 分解因式： （1）： （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式分解； （2）先提出公因式，再根据完全平方公式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，在中，，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作垂线．熟练掌握垂直平分线的性质，作垂线是解题的关键． 由题意知，在线段垂直平分线与线段的交点，然后作线段垂直平分线，与线段的交点即为． 【详解】解：由题意知，在线段垂直平分线与线段的交点，作图如下，点D即为所作； 17. 如图，已知点在同一条直线上，，，，，求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定．利用证明即可． 【详解】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 18. 某商店A品牌衬衫的标价为140元，B品牌衬衫的标价为280元．若按标价销售这两种品牌的衬衫共10件，总收款不低于2500元，则销售B品牌的祄衫最少多少件？ 【答案】销售B品牌的衬衫最少8件 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，设销售B品牌衬衫件，则销售A品牌衬衫件，根据总收款列出不等式求解即可． 【详解】解：设销售B品牌衬衫件，则销售A品牌衬衫件， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为8． 答：销售B品牌的衬衫最少8件． 19. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程．试判断方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； 【答案】方程是不等式组的相伴方程，见解析 【解析】 【分析】先解方程，解不等式组，根据定义判定解答即可； 【详解】解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解方程， 得， 解不等式组，得， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的． （2）画出将绕点B顺时针旋转后，所得到的． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 【解析】 【分析】本题考查了中心对称和旋转变换的概念，通过坐标变换来确定新图形的位置和顶点坐标． （1）根据中心对称的定义，对于任意点，其关于原点的中心对称点为，根据这个规则分别得出A，B，C三个点的对称点坐标，并依次连接即可； （2）根据旋转的性质，点到旋转中心距离不变，对应线段长度和对应角大小不变，据此可推断点A，C绕点B顺时针旋转后的坐标，并依次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： 【小问2详解】 解：如图所示为所求： 21. 如图，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接． 若，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，证明即可得证． 【详解】∵和均是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． （1）证明：垂直平分． （2）若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； 【小问2详解】 解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 为落实乡村振兴战略，助力农业产业升级，某县电商助农平台推出本地特色水果A，B两款有机草莓．已知购买2箱A款草莓和3箱B款草莓共需520元；购买5箱A款草莓和2箱B款草莓共需640元． （1）求A，B两款草莓每箱的售价； （2）若某单位开展“助农消费”活动，计划购买A，B两款草莓共20箱，且A款草莓的箱数不超过B款草莓的箱数，求该单位最少需花费多少元． 【答案】（1）A款草莓每箱售价80元，B款草莓每箱售价120元 （2）该单位最少需花费2000元 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两种购买总价的条件，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两款草莓的售价． （2）先根据A款箱数不超过B款箱数的条件确定自变量取值范围，再列出总花费的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最少花费． 【小问1详解】 解：设A款草莓每箱售价x元，B款草莓每箱售价y元． 根据题意得，解得 答：A款草莓每箱售价80元，B款草莓每箱售价120元． 【小问2详解】 解：设购买A款草莓m箱，总花费为W元，则购买B款草莓箱． 根据题意得 解得，其中m为非负整数． ， ∵ ∴W随m的增大而减小， 当m取最大值10时，W取得最小值， 答：该单位最少需花费2000元． 24. 小明从一张边长为的正方形纸板上减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形（如图2）．   （1）上述过程揭示的因式分解的等式是______； （2）若，，求的值； （3）利用因式分解计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：原式 ． 25. 探究应用： （1）【问题探究】 已知：如图，在锐角中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接，．求证：． （2）【思维提升】 如图，在中，以为边向外作等边，连接，，，，求长． （3）【拓展应用】 如图，在中，，，作交于点，过点作直线，点是直线上的一个动点，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）作等边三角形，连接，证明，再由勾股定理可得的长，最后根据即可得解； （3）将绕点按顺时针方向旋转得到线段，可证得，从而得出，所以点在与定线段成的直线上运动，作点关于直线的对称点，交于点，连接，交直线于点，此时最小，最小值是的长，证明，根据勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 证明：， ，即， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，作等边三角形，连接， ，， ， ， ， 由（1）得：； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 如图，将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ，， 线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ，， ， ，即， ，，， ， ， 点在与定线段成的直线上运动， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，交直线于点，此时最小，最小值是的长， ， ，， ， ， ， ， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $