精品解析：2026年 四川省泸县第五中学九年级下学期考前学业水平模拟预测练习 数学

初2026届第三次学业水平模拟预测练习 数学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（ ） A. 160元 B. 162元 C. 172元 D. 180元 7. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 9. 若不等式组无解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 11. 抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 或 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）． 13. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 14. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 15. 若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________． 16. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 17. 如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________． 三、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 18. 计算：． 19. 先化简，再求值．，其中． 四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分． 20. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度； （3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率． 21. 某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨． （1）求A、B两厂各运送多少吨水泥? （2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由 22. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 五、本大题共3小题，每小题12分，共36分． 23. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH． （1）求证：△ABC≌△EBF； （2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若AB=1，求HG•HB的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2026届第三次学业水平模拟预测练习 数学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较．根据“正数大于零；零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而小”，比较大小，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴在实数，，，中，最小的数是， 故选：A． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：几何体的俯视图是 3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答． 【详解】解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A．与 是同类项，能合并，．故本选项错误． B．．故本选项错误． C．根据幂的乘方法则．．故本选项正确． D．．故本选项错误． 故选C． 6. 为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（ ） A. 160元 B. 162元 C. 172元 D. 180元 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可直接进行列式求解． 【详解】解：由题意得： （元）； 故选B． 【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用，解题的关键是理解题意． 7. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 8. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 9. 若不等式组无解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）．根据大于小的小于大的无解，可得到，解出关于m的不等式即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故选：C． 10. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是边长为6的正方形， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 11. 抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴ 即 解得：或， 当时，如图所示， 依题意，当时，， 解得：， 当时，，解得， 即， 当时， 当时，， 解得： ∴ 综上所述，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的底边为定值， ∴使得底边上的高最大时，面积最大， 点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接， ∵，的半径为1， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）． 13. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 14. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 15. 若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________． 【答案】11或13##13或11 【解析】 【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解． 【详解】解：∵（a﹣3）2+=0， ∴，， 当为腰时，周长为：， 当为腰时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 16. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 17. 如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，是边上的中线，可知，则，由翻折的性质可知，，，则，如图，记与的交点为，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， 如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 18. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算． 19. 先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的四则混合运算是本题的关键． 四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分． 20. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度； （3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率． 【答案】（1），详见图示； （2），，； （3）； 【解析】 【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可； （2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数； （3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 本次调查的学生总数：（人）， D、书法社团的人数为：(人)，如图所示 故答案为：50； 【小问2详解】 由图知，， ∴，参加剪纸的圆心角度数为 故答案为：20，10， 【小问3详解】 用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下： 共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛， 故恰好选中小鹏和小兵的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法与画树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率． 21. 某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨． （1）求A、B两厂各运送多少吨水泥? （2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由 【答案】（1）A厂运送了250吨，B厂运送270吨； （2）；A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨； 【解析】 【分析】（1）设A厂运送x吨，B厂运送y吨，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据题意，列出w与a之间的函数关系式，然后进行整理即可，再结合B厂运往甲地的水泥最多150吨，求出总运费最低的方案． 【小问1详解】 解：根据题意，设A厂运送x吨，B厂运送y吨，则 ，解得， ∴A厂运送了250吨，B厂运送270吨； 【小问2详解】 解：根据题意，则 ， 整理得：； ∵B厂运往甲地的水泥最多150吨， ∴， ∴； 当时，总运费最低； 此时的方案是： A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂题意，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解． 22. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）（30+30）米； （2）20米． 【解析】 【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可； （2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB． 【小问1详解】 解：过点A作AE⊥l，垂足为E， 设CE＝x米， ∵CD＝60米， ∴DE＝CE+CD＝（x+60）米， ∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴tan30°＝＝＝， ∴x＝30+30， 经检验：x＝30+30是原方程的根， ∴AE＝（30+30）米， ∴河的宽度为（30+30）米； 【小问2详解】 过点B作BF⊥l，垂足为F， 则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF， ∵∠BCD＝120°， ∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°， 在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米， ∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米）， ∴古树A、B之间的距离为20米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题． 五、本大题共3小题，每小题12分，共36分． 23. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】（1）根据，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式； （2）过D作轴，垂足为点，联列方程组解出点D的坐标，再根据即可求出的面积． 【小问1详解】 在中，∵， ∴， ∵，∴， ∵A、B两点在函数上， 将、代入得 解得，， ∴ 设，过点C作轴，垂足为E，则， ∴， 又∵， ∴， 即，，即， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解方程组，得， ∴， 过D作轴，垂足为点 ∵ ∴ ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH． （1）求证：△ABC≌△EBF； （2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若AB=1，求HG•HB的值． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）相切，理由见试题解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由∠ABC=90°和FD⊥AC，得到∠ABF=∠EBF，由∠DEC=∠BEF，得到∠DCE=∠EFB，从而得到△ABC≌△EBF（ASA）； （2）BD与⊙O相切．连接OB，只需证明∠DBE+∠OBE=90°，即可得到OB⊥BD，从而有BD与⊙O相切； （3）连接EA，EH，由DF为线段AC的垂直平分线，得到AE=CE，由△ABC≌△EBF，得到AB=BE=1，进而得到CE=AE=，故，即可得出结论，又因为BH为角平分线，易证△EHF为等腰直角三角形，故，得到，再由△GHF∽△FHB，得到． 【详解】解：（1）∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=90°， ∵FD⊥AC， ∴∠CDE=90°， ∴∠ABF=∠EBF， ∵∠DEC=∠BEF， ∴∠DCE=∠EFB， ∵BC=BF， ∴△ABC≌△EBF（ASA）； （2）BD与⊙O相切． 理由：连接OB， ∵DF是AC的垂直平分线， ∴AD=DC，∴BD=CD， ∴∠DCE=∠DBE， ∵OB=OF， ∴∠OBF=∠OFB， ∵∠DCE=∠EFB， ∴∠DBE=∠OBF， ∵∠OBF+∠OBE=90°， ∴∠DBE+∠OBE=90°， ∴OB⊥BD， ∴BD与⊙O相切； （3）连接EA，EH， ∵DF为线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE， ∵△ABC≌△EBF， ∴AB=BE=1， ∴CE=AE=， ∴， ∴， 又∵BH为角平分线， ∴∠EBH=∠EFH=45°， ∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°， ∴△EHF为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF， ∴△GHF∽△FHB， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可； （3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵由二次函数，令，则， ， 过点，， 设二次函数的表达式为， 将点代入得， ， 解得， ， 【小问2详解】 二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴为， ①如图，过点作关于的对称点， ， ， ， ， ②轴上取一点，使得，则，设， 则， ， 解得， 即， 设直线CD的解析式为， ， 解得， 直线CD的解析式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，或， 【小问3详解】 的值是定值， 设，， 过点作轴于点，则， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ． 即的值是定值 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $