甘肃省庆阳市宁县第一中学2025-2026学年高一下学期期中模拟数学试题

**基本信息** 2025-2026学年宁县一中高一数学期中试卷，覆盖复数、向量、解三角形、三角恒等变换等核心内容，通过基础辨析与综合应用题，考查数学抽象、运算推理及问题解决能力，适配高一学段期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、解三角形边关系、向量运算|基础概念辨析，如第3题平行四边形向量性质判断| |多选题|3/18|复数共轭与模、向量垂直/共线|综合能力考查，如第10题向量垂直与夹角计算| |填空题|3/15|复数运算、向量夹角余弦值|简洁性与准确性并重，如第13题向量夹角公式应用| |解答题|5/77|三角式化简、复数分类、解三角形面积与周长|分层设计，如第19题结合面积求周长，体现数学思维的推理与运算能力|

2025-2026学年度第二学期 宁县一中高一数学期中考试试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B B C D D BC AC 题号 11 答案 ABD 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2．B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由，得， 则， 因为，所以． 故选：B. 3．C 【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可. 【详解】如图，在平行四边形中，且， A：，故A正确； B：，故B正确； C：由，得，故C错误； D：，故D正确. 故选：C 4．B 【分析】利用余弦定理解三角形. 【详解】由余弦定理， 将，，，代入得， 则有，且，解得. 故选：B. 5．B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 6．C 【分析】直接由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】由二倍角的余弦公式得. 7．D 【详解】因，可设，， 因，则最大内角为C， 由余弦定理，． 8．D 【详解】在中，，，，由正弦定理得， 则， 因为，所以，则. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。正确选项是2个的，每对一个给3分，正确选项是3个的，每选对一个给2分。 9．BC 【详解】选项：的虚部为，不是，选项A错误； 选项：的共轭复数，选项B正确； 选项：，选项C正确； 选项：，选项D错误. 10．AC 【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量夹角的余弦坐标公式验算即可. 【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，则， 所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，，故C正确； 对于D，若，则， 所以，，， 则，故与的夹角不为，故D错误. 11．ABD 【分析】借助同角三角函数基本关系及二倍角公式计算可得A；借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理即可得B；借助正弦定理将边化为角后，利用二倍角公式计算即可得C；借助三角恒等变换公式计算即可得D. 【详解】对A：由， 故，故A正确； 对B：若，由正弦定理可得， 则，故为钝角，故是钝角三角形，故B正确； 对C：若，可得，即， 即，则或，即或， 若，则是等腰三角形； 若，则，则是直角三角形， 故是等腰或直角三角形，故C错误； 对D： ，故D正确. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【分析】先根据虚数单位的幂次的规律，找出的值，再利用周期性计算的值. 【详解】因为， 则虚数单位 的幂具有周期性，周期为 ， 且 ，每4项的和为：， 又因为， 所以. 13． 【详解】因为，所以，即，解得． 故， 所以与的夹角的余弦值为. 14． 【分析】利用，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值． 【详解】因为 所以， 所以 故答案为：. 4、 解答题 15．(1) …………（4分） (2) …………（8分） (3) …………（13分） 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 16．(1)或 (2) 【分析】（1）利用复数定义计算即可得； （2）利用复数几何意义计算即可得. 【详解】（1）令，即，解得或， 故或时，复数为实数； …………（7分） （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，可得，…………（11分） 即，解得， …………（15分） 故的取值范围为. 17．(1) (2) 【详解】（1）；…………（7分其中公式使用正确得4分） （2）因，…………（10分） 由（1）已得，代入可得 …………（15分） 18．(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数表达式，然后由周期公式求解； （2）根据正弦函数的图像性质求解. 【详解】（1），最小正周期 …………（7分其中化简正确给5分） （2）当时，，…………（9分） 根据正弦函数的性质，，…………（13分） 故最小值为（当时），…………（15分） 最大值为（当时）.…………（17分） 19．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，整理化简等式，根据和角公式，可得答案； （2）由余弦定理得：，由三角形面积公式得，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得：．…………（2分） ，…………（4分） 由得，…………（6分） 又因为，解得；…………（8分） （2）由，得，…………（10分） 由余弦定理得：①．…………（12分） 又因为②…………（14分） 联立①②得：，…………（16分） 的周长．…………（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期 宁县一中高一数学期中考试试卷 一、单选题（每小题5分） 1．的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 5．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6．（   ） A． B． C． D． 7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 二、多选题（每小题6分） 9．若复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 10．已知向量，则（    ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为5 C．若，则 D．若，则与的夹角为 11．下列说法正确的是（    ） A． B．若，则是钝角三角形 C．在中，若，则是等腰三角形 D． 三、填空题（每小题5分） 12．已知为虚数单位，则______． 13．已知平面向量满足，且，则与的夹角的余弦值为___________． 14． ______ 四、解答题 15．化简下列各式：（本小题13分） (1)； (2)． (3)． 16．（本小题15分）复数． (1)当实数为何值时，复数为实数； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 17．（本小题15分）已知. (1)求的值； (2)求的值. 18．（本小题17分）已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值和最大值. 19．（本小题17分）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)已知的面积为，求的周长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2025-2026学年度第二学期宁县一中高一数学期中考试试题细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 复数的基本概念（虚部的定义） 0.95 2 单选题 5 正弦定理的应用 0.9 3 单选题 5 平面向量的线性运算与几何意义 0.85 4 单选题 5 余弦定理的应用 0.92 5 单选题 5 平面向量数量积的坐标运算 0.88 6 单选题 5 两角和与差的正弦公式 0.75 7 单选题 5 三角形边角关系与余弦定理 0.8 8 单选题 5 正弦定理与三角形解的判定 0.78 9 多选题 6 复数的虚部、共轭复数、模的运算 0.7 10 多选题 6 平面向量的坐标运算、垂直平行的判定、夹角计算 0.82 11 多选题 6 诱导公式、三角恒等变换、三角形形状判定 0.65 12 填空题 5 虚数单位的幂运算、复数的乘法 0.88 13 填空题 5 平面向量数量积与夹角的计算 0.72 14 填空题 5 二倍角公式、同角三角函数的基本关系 0.75 15 解答题 13 诱导公式、两角和差公式、二倍角公式的化简应用 0.6 16 解答题 15 实数的定义、复平面内点的象限与参数范围 0.58 17 解答题 15 同角三角函数基本关系、两角和差公式的给值求值 0.55 18 解答题 17 正弦型函数的周期、最值计算 0.62 19 解答题 17 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用 0.5 $