精品解析：甘肃省庆阳市宁县第一中学2023-2024学年高一下学期中考试数学试题

甘肃省庆阳市宁县第一中学2023-2024学年高一下学期中考试数学试题 命题人：冯杰 审核人：王九洲 一、选择题（1-8为单项选择题，每小题5分；9-11为多项选择题，每小题6分） 1. 已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：B 2. 如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ） A. ＝ B. C. ＞ D. ＜ 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的大小和方向来判断，另外再根据向量除了相等，是不能比较大小的来判断. 【详解】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故， 又向量不是实数，是不能比较大小的. 故选：B. 3. 在中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理结合题意求解即可. 【详解】因为中，，， 所以由正弦定理得， 故选：C 4. 如图，在平行四边形中，，，E是边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合题意求解即可. 【详解】由题意知， 所以 ． 故选：D． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接使用余弦二倍角公式进行求解即可. 【详解】. 故选：B 6. 海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可. 【详解】如题图，，， 由正弦定理，得，解得， 故选：D． 7. 等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：C 8. 如图，在矩形中，M是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合题意直接求解即可. 【详解】因为在矩形中，M是的中点， 所以， 因为， 所以， 所以， 故选：C． 9. 根据下列条件解三角形，有两解的有（ ） A. 已知a，b＝2，B＝45° B. 已知a＝2，b，A＝45° C. 已知b＝3，c，C＝60° D. 已知a＝2，c＝4，A＝45° 【答案】BD 【解析】 【分析】直接利用三角形的解的情况的判定理的应用和正弦定理的应用求出结果. 【详解】解：对于选项A：由于a，b＝2，B＝45°，利用正弦定理，解得sinA，由于a＜b，所以A，所以三角形有唯一解. 对于选项B：已知a＝2，b，A＝45°，利用正弦定理，解得,又,则或，故三角形有两解. 对于选项C：已知b＝3，c，C＝60°，所以利用正弦定理，所以sinB＝1.5＞1，故三角形无解. 对于选项D：已知a＝2，c＝4，A＝45°，由于a＞csinA，即以顶点B为圆心,a为半径的圆与AC射线有两个不同交点，故三角形有两解. 故选：BD. 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形的解的情况的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 10. 已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得，由复数三角形式的乘方运算，即可判断各选项的正误. 【详解】由， A：，正确； B：，错误； C：由B知：，正确； D：，错误； 故选：AC 11. 已知，且是方程的两个实根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可得，，再利用两角和的正切公式可判断B，利用基本不等式可判断C、D 【详解】由，是方程的两不等实根， 所以，， ， 由，，均为正数， 则，当且仅当取等号，等号不成立 ，当且仅当取等号， 故选：BCD 二、填空题（每小题5分） 12. __________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是　　　　　　． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，，所以，因为点在第一象限内，，且，则，，且，，解得，，因此, 故答案为. 14. 函数的最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用积化和差公式将函数化简为，再利用余弦函数的图像和性质即可得到最大值 【详解】 ， 因为，所以． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是积化和差的公式以及余弦函数图像和性质的应用，考查学生的计算能力，是中档题. 三、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分） 15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、． （1）写出向量，的坐标； （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 设，所以 四边形ABCD是平行四边形， 所以，所以解得， 所以. 16. 已知，，且，.求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用化简求值得解； （2）先分析得到，再求出，即得解. 【详解】解：（1） （2）因为，，所以. 因为，，所以，所以. 又，所以 所以. 又， 所以. 17. 设向量、满足，且． （1）求与夹角的大小； （2）求与夹角的大小． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律有，结合已知模长和向量数量积的定义求夹角即可； （2）根据已知模长和数量积的运算律求模长, 结合夹角公式求解即可. 【小问1详解】 设与的夹角为，， 又，∴，∴，即， 又，∴与的夹角为； 【小问2详解】 设与的夹角为，∵， 又，，∴， 又，∴与的夹角为． 18. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角． Ⅰ求的值； Ⅱ求的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值． Ⅱ先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值． 【详解】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点， ． Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，． 由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，， ，． ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题． 19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）； （2）因为，所以， 即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以， 故， 即是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出； （2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为，所以， 即， 解得，又， 所以； （2）略 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省庆阳市宁县第一中学2023-2024学年高一下学期中考试数学试题 命题人：冯杰 审核人：王九洲 一、选择题（1-8为单项选择题，每小题5分；9-11为多项选择题，每小题6分） 1. 已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 2. 如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ） A. ＝ B. C. ＞ D. ＜ 3. 在中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，，E是边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 等于（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，在矩形中，M是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 根据下列条件解三角形，有两解的有（ ） A. 已知a，b＝2，B＝45° B. 已知a＝2，b，A＝45° C. 已知b＝3，c，C＝60° D. 已知a＝2，c＝4，A＝45° 10. 已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且是方程的两个实根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分） 12. __________. 13. 在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是　　　　　　． 14. 函数的最大值是_______． 三、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分） 15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、． （1）写出向量，的坐标； （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 16. 已知，，且，.求： （1）的值； （2）的值. 17. 设向量、满足，且． （1）求与夹角的大小； （2）求与夹角的大小． 18. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角． Ⅰ求的值； Ⅱ求的值． 19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $