复习专题平面向量讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

复习专题 平面向量 【题型】 1. 平面向量概念 2. 平面向量线性运算 3. 向量共线定理的应用 4. 平面向量的坐标运算 5. 向量共线的坐标运算 6. 平面向量数量积的应用 7. 平面向量的应用 8. 极化恒等式的应用 【知识点】 一、向量的有关概念 1.向量：在数学中，我们把既有大小 又有方向的量叫做向量.（平面向量是自由向量） 2.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 3.向量的模；向量的大小称为向量的长度（或称模），记作|| .向量的模是数量 4.零向量:长度为0 的向量叫做零向量，记作0,其方向任意,规定：零向量与任意向量平行 5.单位向量：长度等于 1 的向量，叫做单位向量. a是非零向量，则±是单位向量 6. 平行向量（共线向量）:方向 相同或相反 的非零向量叫做平行 7. 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小 8. 相反向量:与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0 2、 向量的线性运算 运 算 定义 法则 （或几何意义） 运算律（性质） 加 法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：，并规定：；结合律：；，当且仅当方向相同时等号成立 减 法 求两个向量差的运算 数 乘 求实数λ与向量的积的运算 是一个向量，其长度：= 其方向：λ>0时，与方向相同；λ<0时，与方向相反；λ＝0时，＝0 设λ，μ∈R，则 λ（μ）＝μ（λ）； （λ＋μ）＝λ＋μ； λ（＋）＝λ＋λ 三、向量共线定理及平面向量基本定理 1．向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . 平面向量共线的坐标表示：设＝（x1,y1），＝（x2,y2），其中b≠0， 向量共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 2．平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 四、平面向量的坐标运算 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. （2）线性运算的坐标表示 若＝（x1,y1），＝（x2,y2）， 则加法 ＝（x1＋x2,y1＋y2） 减法 ＝（x1－x2,y1－y2） 数乘 λ∈R ＝（λx,λy） 两点构成的向量坐标 若A（x1,y1），B（x2,y2），则＝（x2－x1,y2－y1） 五、向量的数量积 （1）向量数量积的定义 ①向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝（如图所示），则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量与的夹角. ②向量的平行与垂直：当θ＝0时，与同向；当θ＝π时，与反向；如果与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥. ③向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量||||cosθ叫做向量与的数量积（或内积），记作·，即·＝||||cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量，，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是(||cosθ )e. 即 向量在向量上的投影向量是（必背） （3）向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①·＝·＝||cosθ. ②⊥⇔·＝0. ③当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||.特别地，·＝||2或||＝. ④|·|≤||||. （4）向量数量积运算的运算律对于向量，，和实数λ，有 ①·＝·； ②（λ）·＝λ（·）＝·（λ）； ③（＋）·＝·＋·. （5）数量积的坐标表示 设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则 ①·＝x1x2＋y1y2；2＝； . ②⊥⇔ . ③ （利用|·|≤||||来证明.两边平方得柯西不等式） ④设θ是与的夹角，则cosθ= . 六. 平面几何中的向量方法 （1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. （2）常用充要条件 ①G为△ABC重心的一个充要条件：＋＋＝0； ②O为△ABC外心的一个充要条件：＝＝； ③P为△ABC垂心的一个充要条件：·＝·＝·. 七 极化恒等式 在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则 (1)平行四边形模式：＝(||2－||2)； (2)三角形模式： ＝||2－||2． 【典型例题】 【例1】如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论不正确的是(　　) A．＝ B．与共线 C．与是相反向量 D．＝|| 【答案】D 【解析】对于A，因为EF＝BC＝CD，EF∥CD，所以＝，故A正确； 对于B，因为DE∥AB，所以与共线，故B正确； 对于C，因为BD＝CD，所以与是相反向量，故C正确； 对于D，＝，故D错误．故选D． 【变式1】(2025·江苏扬州模拟)下列命题中，正确的是(　　) A．若＝，则a＝b B．若a＝b，则a∥b C．若a≠b，则a与b不是共线向量 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb 【答案】B 【解析】对于A，若|a|＝|b|，则a，b只是大小相等，并不能说方向相同，A错误； 对于B，若a＝b，则a，b方向相同，B正确； 对于C，当a≠b时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，故a与b可以为共线向量，故C错误； 对于D，当b＝0，a为非零向量时，λ不存在，D错误．故选B． 【例2】如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意得到，，再根据求解即可. 【解析】连接，如图所示： 因为分别为的中点， 所以， ， 因为为中点， 所以. 故选：C 【变式2】若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　) A．[3，7] B．(3，7) C．[3，11] D．(3，11) 【解析】由题意知||＝7，||＝4，且||＝||， 当同向时，||取得最小值，||＝||＝|||－|||＝|4－7|＝3； 当反向时，||取得最大值，||＝||＝|||＋|||＝|4＋7|＝11； 当不共线时，3＝|||－|||<||<|||＋|||＝11． 故||的取值范围是[3，11]． 【例3】已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 A．1 B． C．1或 D．-1或 【答案】B 【分析】根据题意，得出且，化简后得出，，即可求出实数的值. 【详解】解：由题可知，，不共线，且向量与的方向相反， 则，即， 则，即， 解得：或（舍去）. 即实数的值为. 故选：B. 【变式3】(2024·广东广州二模)已知向量a与b不共线，若a＋kb与a＋b共线(k∈R)，则k的值是________． 【答案】 【解析】若a＋kb与a＋b共线，则设a＋kb＝λ ＝λa＋λb， 因为向量a与b不共线，所以 所以k2＋k－1＝0，解得k＝． 【例4】已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得. 【解析】 . 故选：A. 【变式4】已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量在方向上的投影向量为，代入数据计算可得. 【解析】由题意：. 故选：C 【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 【答案】 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)． 不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2， ∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)， ∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)， ∵＝λ＋μ， ∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)＝(－2λ＋μ，λ＋2μ)， ∴ 解得故λ＋μ＝． 【变式5】在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝BC＝CD，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】设AB＝，如图，以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(0，－1)，C(1，0)，D(1，)，＝(2，0)，＝(1，－1)，＝(2，)，因为＝λ＋μ，所以(2，0)＝λ(1，－1)＋μ(2，)，所以解得λ＝2－2，μ＝2－，所以λ＋μ＝．故选B． 【例6】（多选题）若点是△ABC三边中线的交点，且的中点为，是线段上的动点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当最小时与重合 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】由重心的性质结合向量的加法可得A正确；结合图形由向量的加减法则可得B错误；建立坐标系，由坐标表示向量，结合二次函数的性质可得C正确；由向量的加法结合基本不等式可得D正确. 【解析】 对于A，由三角形重心性质知，点为线段上靠近的三等分点，故A正确； 对于B，由， 得，故B错误； 对于C，建立坐标系，设，，，， 则， 令， 由二次函数性质可得，在对称轴处当，且时，取得最小值，此时在线段上且与点重合，故C正确； 对于D，， 当且仅当为线段中点时取等号，故D正确. 故选：ACD. 【变式6】（填空题）已知圆为△ABC的外接圆，，则的最大值为______________. 【答案】3 【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取的中点，连接，则，变形得到，当三点共线时，取得最大值，求出答案. 【解析】设圆的半径为，则，解得， 因为，所以， 取的中点，连接，则， 故， ， 当三点共线时，取得最大值，最大值为， 故的最大值为. 故答案为：3 【例7】(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] 【答案】D 【解析】由题意易知，点P是单位圆C(C为圆心)上的动点． 设线段AB的中点为D，则由极化恒等式易得 ＝||2－||2＝||2－， 又||2＝，即||＝， 故＝＝＝＝， ∴()min＝＝－4， ()max＝＝6． 故的取值范围是[－4，6]． 故选D． 【变式7】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若＝－7，则＝________． 【答案】9 【解析】∵＝||2－||2＝－7， ∴||2＝16， ∴＝||2－||2＝25－16＝9． 【强化训练】 1．在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由大前提推得，再利用菱形的几何性质即可判断. 【解析】在四边形中，由，可得四边形为平行四边形， 若，则平行四边形对角线垂直，所以为菱形，反之也成立， 故“”是“四边形是菱形”的充要条件． 故选：D. 2．△ABC中，，D为AB的中点，，则（    ） A．0 B．2 C．-2 D．-4 【答案】A 【分析】取为基底，表示出即可求解. 【解析】在中，D为AB的中点，，取为基底， 所以, . 所以. 因为，，所以. 即. 故选：A 3．已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（    ）. A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先求出的坐标，再由()∥，，列方程可求得结果 【解析】因为向量，， 所以， 因为()∥，， 所以，解得， 故选：B 4．已知向量满足，且，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据两向量垂直，其数量积为0列式求值即可. 【解析】因为，所以. 所以. 故选：B 5．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【解析】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    6.若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得e1·e2＝1×1×cos ＝， 故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) ＝＝－6＋＋2＝－， |a|＝＝＝， |b|＝＝＝， 故cos〈a，b〉＝＝＝－， 由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝． 7.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．5 【答案】A 【解析】因为a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝×(10－6)＝1，所以a·b＝1．故选A 8.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 【答案】B 【解析】法一(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，连接AD，设AD的中点为E，连接PE，PD，则有＝2， 则·()＝2＝2()·()＝2(||2－||2)．而||2＝＝，当点P与点E重合时，有最小值0，故此时·()取得最小值，最小值为－2||2＝－2×＝－．故选B． 法二(坐标法)：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·()取得最小值，最小值为－．故选B． 二、多选题 9．下列命题中正确的是：（    ） A．两个非零向量，，若，则与共线且反向 B．已知，且，则 C．若，，，为锐角，则实数的取值范围是 D．若非零，满足，则与的夹角是 【答案】AD 【分析】利用平面向量的数量积知识对各选项逐一运算并判断作答. 【解析】对于A，因，是非零向量，由两边平方得，则与共线且反向，A正确； 对于B，，由得，则与可能垂直，B不正确； 对于C，依题意得，为锐角，则，即， 当时，，即，显然与不共线，则，于是得为锐角时，且，C不正确； 对于D，，是非零向量，由得，则， ，，而，于是得， 即与的夹角是，D正确. 故选：AD 10．在平行四边形中，，，与交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由得，从而，整理即可判断A，B；设与交于点，则与相似，可得，，因为，，三点共线，，，三点共线，设，则，求得，求出即可判断C，D． 【解析】在平行四边形中，，所以， 则，A正确，B错误； 设与交于点，则在平行四边形中，与相似， 所以，则，即，， 因为，，三点共线，，，三点共线， 设，则，即， 所以，C正确，D错误． 故选：AC. 11.在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　) A．若＝＝，则P是△ABC的垂心 B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心 C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心 D．若＝0，则N是△ABC的重心 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意可得＝·()＝＝0， 所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确； 对于B，如图，设＝＝，则||＝||＝1， 以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形， 则＝＝， 所以＝λ＝λ， 又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误； 对于C，因为||＝||＝||，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确； 对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意＝2＝－，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确． 三、填空题 12．若向量，满足，，则与的夹角为______. 【答案】 【分析】先将两边平方，求出，再根据向量夹角的求法即可得解. 【解析】由，得， 即，所以， 所以， 又，所以， 即与的夹角为. 故答案为：. 13．已知向量，满足，，且，则______. 【答案】 【分析】根据向量垂直的数量积表示，求出向量的数量积即可. 【解析】由得，， 化简得，因为，， 所以，解得. 故答案为：. 14．已知，则在方向上的投影向量为__________． 【答案】 【分析】应用投影向量的定义求在方向上的投影向量. 【解析】在方向上的投影数列为， 所以投影向量为. 故答案为： 15．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】根据投影向量的公式可得，计算模长可得结果. 【解析】由题意得，在上的投影向量为， ∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 16.（填空题）如图，在△ABO中，已知＝a，＝b，＝a，＝b，AN与BM交于点P，则＝________(用向量a，b表示)． 【答案】a＋b 【解析】设＝ma＋nb，又＝a，＝b， 所以＝3m＋n＝m＋2n． 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线， 所以解得 所以＝a＋b． 17.若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】∪ 【解析】因为2a－3b与c的夹角为钝角， 所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0， 所以4k－6－6＜0，所以k＜3．若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是∪． 四、解答题 18．如图，在中，，是的中点，设，. （1）试用，表示； （2）若，，且与的夹角为，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据向量加法的三角形法则以及共线定理即可用，表示； （2）用，表示出，即可求得，再开方即可. 【解析】（1） . （2） ， ∴， ∵，，与的夹角为，∴， ∴ ，即. 19．已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据向量减法运算再根据共线计算求参即可； （2） 先得出向量坐标，再根据数量积公式结合二次函数值域求解； （3）根据向量加法及模长公式结合二次函数值域求解. 【解析】（1），               ，              三点共线，与共线，即，             ，            解得：． （2），               ，            ∴当时，                     取得最小值． （3）由题意，设，                 则，所以，             ，            因为，所以当时有最小值， 当时有最大值20，所以的取值范围为， 故的取值范围为． 20．已知：向量，，. （1）若，求证：； （2）若与垂直，求的值； （3）求的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）根据可得，由向量平行坐标表示可证得结论； （2）由向量垂直的坐标表示可得，由此可求得； （3）由向量模长坐标运算可得，可知当时取得最大值，由此可求得结果. 【解析】（1）由得：，，. （2）由与垂直得：， ， ， ，则. （3）， ， 则当时，取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习专题 平面向量 【题型】 1. 平面向量概念 2. 平面向量线性运算 3. 向量共线定理的应用 4. 平面向量的坐标运算 5. 向量共线的坐标运算 6. 平面向量数量积的应用 7. 平面向量的应用 8. 极化恒等式的应用 【知识点】 一、向量的有关概念 1.向量：在数学中，我们把既有大小 又有方向的量叫做向量.（平面向量是自由向量） 2.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 3.向量的模；向量的大小称为向量的长度（或称模），记作|| .向量的模是数量 4.零向量:长度为0 的向量叫做零向量，记作0,其方向任意,规定：零向量与任意向量平行 5.单位向量：长度等于 1 的向量，叫做单位向量. a是非零向量，则±是单位向量 6. 平行向量（共线向量）:方向 相同或相反 的非零向量叫做平行 7. 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小 8. 相反向量:与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0 2、 向量的线性运算 运 算 定义 法则 （或几何意义） 运算律（性质） 加 法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：，并规定：；结合律：；，当且仅当方向相同时等号成立 减 法 求两个向量差的运算 数 乘 求实数λ与向量的积的运算 是一个向量，其长度：= 其方向：λ>0时，与方向相同；λ<0时，与方向相反；λ＝0时，＝0 设λ，μ∈R，则 λ（μ）＝μ（λ）； （λ＋μ）＝λ＋μ； λ（＋）＝λ＋λ 三、向量共线定理及平面向量基本定理 1．向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . 平面向量共线的坐标表示：设＝（x1,y1），＝（x2,y2），其中b≠0， 向量共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 2．平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 四、平面向量的坐标运算 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. （2）线性运算的坐标表示 若＝（x1,y1），＝（x2,y2）， 则加法 ＝（x1＋x2,y1＋y2） 减法 ＝（x1－x2,y1－y2） 数乘 λ∈R ＝（λx,λy） 两点构成的向量坐标 若A（x1,y1），B（x2,y2），则＝（x2－x1,y2－y1） 五、向量的数量积 （1）向量数量积的定义 ①向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝（如图所示），则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量与的夹角. ②向量的平行与垂直：当θ＝0时，与同向；当θ＝π时，与反向；如果与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥. ③向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量||||cosθ叫做向量与的数量积（或内积），记作·，即·＝||||cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量，，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cosθ. （3）向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①·＝·＝||cosθ. ②⊥⇔·＝0. ③当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||.特别地，·＝||2或||＝. ④|·|≤||||. （4）向量数量积运算的运算律对于向量，，和实数λ，有 ①·＝·； ②（λ）·＝λ（·）＝·（λ）； ③（＋）·＝·＋·. （5）数量积的坐标表示 设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则 ①·＝x1x2＋y1y2；2＝； . ②⊥⇔ . ③ ④设θ是与的夹角，则cosθ= . 六. 平面几何中的向量方法 （1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. （2）常用充要条件 ①G为△ABC重心的一个充要条件：＋＋＝0； ②O为△ABC外心的一个充要条件：＝＝； ③P为△ABC垂心的一个充要条件：·＝·＝·. 七 极化恒等式 在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则 (1)平行四边形模式：＝(||2－||2)； (2)三角形模式： ＝||2－||2． 【典型例题】 【例1】如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论不正确的是(　　) A．＝ B．与共线 C．与是相反向量 D．＝|| 【变式1】(2025·江苏扬州模拟)下列命题中，正确的是(　　) A．若＝，则a＝b B．若a＝b，则a∥b C．若a≠b，则a与b不是共线向量 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb 【例2】如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　) A．[3，7] B．(3，7) C．[3，11] D．(3，11) 【例3】已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 A．1 B． C．1或 D．-1或 【变式3】(2024·广东广州二模)已知向量a与b不共线，若a＋kb与a＋b共线(k∈R)，则k的值是________． 【例4】已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式4】已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 【例6】（多选题）若点是三边中线的交点，且的中点为，是线段上的动点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当最小时与重合 D．若，则的最小值为 【变式6】（填空题）已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 【例7】(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] 【变式7】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若＝－7，则＝________． 【强化训练】 1．在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．△ABC中，，D为AB的中点，，则（    ） A．0 B．2 C．-2 D．-4 3．已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（    ）. A． B． C．1 D．2 4．已知向量满足，且，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6.若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　) A． B． C． D． 7.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．5 8.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 二、多选题 9．下列命题中正确的是：（    ） A．两个非零向量，，若，则与共线且反向 B．已知，且，则 C．若，，，为锐角，则实数的取值范围是 D．若非零，满足，则与的夹角是 10．在平行四边形中，，，与交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 11.在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　) A．若＝＝，则P是△ABC的垂心 B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心 C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心 D．若＝0，则N是△ABC的重心 三、填空题 12．若向量，满足，，则与的夹角为______. 13．已知向量，满足，，且，则______. 14．已知，则在方向上的投影向量为__________． 15．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则______． 16.如图，在△ABO中，已知＝a，＝b，＝a，＝b，AN与BM交于点P，则＝________(用向量a，b表示)． 17.若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 四、解答题 18．如图，在中，，是的中点，设，. （1）试用，表示； （2）若，，且与的夹角为，求. 19．已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 20．已知：向量，，. （1）若，求证：； （2）若与垂直，求的值； （3）求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $