第01讲 平面向量线性运算与基本表示（8大重难点题型）期末复习讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

第01讲 平面向量线性运算与基本表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、向量的有关概念 3 知识点二、向量的线性运算 3 知识点三、平面向量基本定理 4 知识点四、平面向量的坐标运算 4 知识点五、平面向量共线 4 知识点六、两个向量的夹角 4 知识点七、平面向量的数量积 4 知识点八、数量积的运算律 5 知识点九、向量数量积的性质 5 知识点十、数量积的坐标运算 5 03 重难点题型 6 题型一：平面向量的概念辨析 6 题型二：平面向量线性运算 7 题型三：向量三点共线问题 9 题型四：向量共线定理及推论应用 11 题型五：平面向量综合运算 14 题型六：平面向量的坐标表示与运算 16 题型七：向量与三角形四心问题 17 题型八：平面向量新定义题型 23 04 过关检测 26 知识点一、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ， 知识点三、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 知识点四、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识点五、平面向量共线 （1）线性表示 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 （2）坐标表示 设，其中，则 知识点六、两个向量的夹角 1、定义 已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角． 2、范围 向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角． 3、向量垂直 如果向量与的夹角是，则与垂直，记作． 知识点七、平面向量的数量积 1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角． 规定． 当时，，这时 2、的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点八、数量积的运算律 （1）交换律：． （2）分配律：． （3）对． 知识点九、向量数量积的性质 1、如果是单位向量，则． 2、． 3、， 4、．（为与的夹角） 5、． 知识点十、数量积的坐标运算 设，则： 1、． 2、． 3、． 4、（为与的夹角） 题型一：平面向量的概念辨析 例1．（25-26高一下·广西河池·期中）下列量中：密度、浮力、温度、风速，其中向量有（   ） A．密度、浮力 B．浮力、温度 C．浮力、风速 D．温度、风速 【答案】C 【解析】密度：仅存在大小，无方向属性，属于标量； 浮力：既有大小，又有固定方向（竖直向上），属于向量； 温度：仅存在大小，无方向属性，属于标量； 风速：既有大小，又有方向（风的流动方向），属于向量. 综上，属于向量的是浮力、风速，对应选项C 例2．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）下列说法中正确的是（    ） A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．对于任意向量，必有 【答案】D 【解析】平行向量是共线向量，故A错误； 单位向量的模相等，方向不一定相同，故B错误 向量不能比较大小，故C错误 设夹角为， ， 故，故D正确． 例3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 变式1．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列命题正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若不共线，则可以作为平面向量一组基底 【答案】D 【解析】因为向量不能比较大小，所以A错误； 若，则，即. 即.显然时，不成立，所以B错误； 当时，恒成立，所以不一定平行，所以C错误； 根据基底的定义知，平面内两个不共线的向量均能作为平面向量的一组基底，所以D正确. 故选：D. 题型二：平面向量线性运算 例4．（25-26高一下·天津南开·期中）在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是上一点，所以与共线，所以根据向量共线定理，存在实数，使得， 因为，所以． 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，即． 将代入并化简， 因为，所以， 由，解得． 将代入，可得． 例5．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得. . 例6．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可知，， 即，因为点三点共线， 所以，得， 所以. 变式2．（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点M是边的中点，， 又，，即， ． 题型三：向量三点共线问题 例7．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为，， 所以，又， 所以，又，，三点共线， 所以， 解得，故选A． 例8．（25-26高一下·重庆·期中）设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以A不符合题意； 对于B，设，显然不存在实数使得成立， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以B不符合题意； 对于C，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以C不符合题意； 对于D，，可得，解得，即， 所以与共线，所以与不能作为基底，所以D符合题意. 例9．（25-26高一下·四川·期中）已知不共线，且，，，则（ ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【解析】对于A，因为 所以， 所以、、三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得， 所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、C、D三点不共线，故D错误.. 变式3．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得. 设， 因为， 而 所以，解得. 变式4．（25-26高一上·北京·期末）已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【解析】因为 ， 所以向量 ， 不共线，且向量 ， 方向相反， 所以存在实数 使 ， 即， 又因为向量 不共线， 所以，整理得 ， 解得 或 ， 又因为 ，所以 ，故舍去 ，最终得到 . 故选：D. 题型四：向量共线定理及推论应用 例10．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【解析】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 例11．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 例12．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即，且， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 变式5．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 变式6．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 【答案】D 【解析】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D 题型五：平面向量综合运算 例13．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设点在内部，且，则 __________． 【答案】/ 【解析】由，得，在线段上取点，使得， 取点，使点不在直线上，则，点是线段的中点， 因此，所以. 例14．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】 【解析】因为，所以，即. 所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且. 因为，即，所以，所以. 又向量方向上的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 例15．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 变式7．（24-25高一下·上海·期末）若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 【答案】 【解析】由AB上一点M满足：，得，而， 则，当且仅当，即时取等号， 因此当取得最小值时，，，而， 由等边的边长为3，得， 所以 . 故答案为： 题型六：平面向量的坐标表示与运算 例16．（25-26高一下·四川南充·期中）已知向量.若，则__________. 【答案】-1 【解析】由题意得，，解得. 例17．（25-26高一下·天津河西·期中）已知向量，，满足，则_____. 【答案】 【解析】，， 因为，所以，解得， 因此. 例18．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知，，点满足，则点的坐标是_______ 【答案】 【解析】设，因为， 所以，， ，即，解得， 所以点的坐标为. 变式8．（25-26高一下·湖南·阶段检测）若点，，，且，，三点共线，则______. 【答案】 【解析】由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，使， 即：，解得：，所以. 变式9．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】点，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点的坐标为． 题型七：向量与三角形四心问题 例19．（多选题）（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 【答案】ABD 【解析】设BC边的中点为D，则， 因为，所以，且的重心、外心、垂心、内心均在线段AD上， 选项A：因为点为的重心，所以， 则，所以，故A正确； 选项B：若点为的外心，且， 则，故B正确； 选项C：若点为的垂心，则，即， 在，由余弦定理得， 设，则， 所以 ， 解得，则，所以，故C错误； 选项D：若点为的内心，则DP为内切圆的半径，且设为r， 则， 又， 所以，解得， 所以，即 则，即，所以，故D正确. 例20．（多选题）（25-26高一下·安徽淮南·期中）已知中，角所对的边分别为点I、O、G、H分别为该三角形的内心、外心、重心和垂心，则下列结论正确的是（ ） A． B．若且，则 C．，使得 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，如图，延长交于点； 是的内心，由角平分线定理得； ； 由 ，故A正确. 对于B，是的外心，且， ，则， 整理得，解得，故B错误. 对于C，如图，延长交于点； 是的重心，是的中点，，即与共线； 由正弦定理(为外接圆半径)，得，； ，即与共线； 与共线，即，使，故C正确. 对于D，如图，延长，，分别交，，于点，，； 是的垂心， ，，； ，，得； ，，三点共线，，，得； ，，得； ，，三点共线，，，得； ，，为锐角； ，解得，故D正确. 例21．（多选题）（25-26高一下·四川南充·期中）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（   ） A．若为的垂心，，则 B．若为的重心，，则 C．若为的外心，，则 D．若为的内心，，，（），则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，因为为的垂心，所以，又因为， 所以 ，A正确； 对于B选项，因为为的重心，， 可得，B错误； 对于C选项，因为为的外心，设的中点为，则垂直平分， 所以，同理，所以 ，C正确； 对于D选项，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且，因为， 可得，由内心性质得， 即，得，所以 ， 因为且不共线，所以，D正确． 变式10．（多选题）（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知在中，为重心，直线过点交边于点，交边于点，且两点不与的顶点重合，若，则（   ） A． B．与共线，则 C． D．当取最小值时 【答案】ABD 【解析】对于A，设的中点为，因为为的重心，可得， 又因为，所以，所以A正确； 对于B，因为和分别是向量和同向的单位向量， 所以在的平分线上， 又因为与共线，且为的重心， 即的平分线与边上的中线重合，所以是等腰三角形，且，所以B正确； 对于C，因为三点共线，所以存在实数，使得， 又因为，可得， 因为，所以，即 两式相加，可得，则，所以C错误； 对于D，由C项知，且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以，所以，所以，所以D正确. 题型八：平面向量新定义题型 例22．（25-26高一下·贵州安顺·期中）定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】设与互为“等模整向量”的向量， 则，所以，令，则，则（舍去）， 令，则，则或， 令，则，则， 故与向量互为“等模整向量”的向量个数有3个． 例23．（25-26高一下·浙江杭州·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知余弦距离为，，的余弦距离为， ，解得， 已知，，则， ， ． 例24．（25-26高一下·山西太原·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设， 所以 ， 由， 所以. 变式11．（24-25高一下·北京西城·期末）设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】设，，， 因为，所以， 所以为的外心， 在中，由正弦定理可得， 所以，，， ，， 又与的夹角为， 所以， 又，，所以， ， 把看作主元，故当时，上式取得最大值，最大值为， 其中 ， 当且仅当且时，等号成立， 即时，， 所以. 故选：B 1．（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若或，则必有，故必要性成立； 若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立； 因此是或的必要非充分条件． 2．（25-26高一下·山西阳泉·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D．若 ，在方向上的投影向量为 【答案】D 【解析】A选项，若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误； B选项，若，则，成立，但不一定成立，故B错误； C选项，若，则四点可能共线，故C错误； D选项，在方向上的投影向量为，D正确. 3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】代入已知等式， ， 整理得：，即， 因为在单位圆上，所以，设与夹角为， 对平方得： ， 是不重合的两点，故，即， 代入得： ，开方得， 4．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的中点为，由向量中点公式得. 由条件，得， 故，，三点共线，且在中线上. 因为是的外心，所以垂直平分，即，. 设外接圆半径为，则，，. 在中，，，故，即. 所以，由圆心角与圆周角关系得，因此为等边三角形. 向量在上的投影向量为. 设，则，代入得投影向量为. 5．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接， 因为是线段的中点，所以， 则． 因为是线段的中点， 所以． 6．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】如图，连结接并延长交于点， 由可知，点是的重心，则点是的中点， ， 因为点三点共线，所以，即， 则， 当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 8．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 9．（多选题）（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意可知：，，其中为坐标原点， 因为点是线段的一个三等分点，则或， 若，则，即点的坐标为； 若，则，即点的坐标为； 综上所述：点的坐标可以为或. 10．（多选题）（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知向量，则（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】由向量， 对于A，由向量数量积的坐标运算，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，解得，所以B正确； 对于C，由，可得，解得，所以C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，则向量满足且与不共线， 由，可得， 当与共线时，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 11．（多选题）（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影数量为 C． D．的最大值为2 【答案】BCD 【解析】选项A，计算两向量的数量积，且两向量不共线， 说明与的夹角为锐角，不是钝角，A错误； 选项B，向量在上的投影数量公式为，代入得，B正确； 选项C，先计算，由， 结合向量共线的坐标性质可得，整理得，C正确； 选项D：已知且，根据基本不等式， 代入得，化简得，当且仅当， 即时取等号，故的最大值为2，D正确。 12．（多选题）（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A：因为， 由余弦定理， 所以，故A正确； 对于B：因为点在BC上，且， 所以，故B正确； 对于C：因为为AB的中点，， 所以， 则 ，故C不正确； 对于D：由已知，，又，所以， 又， 则， 所以，故D不正确. 13．（多选题）（25-26高一下·江苏无锡·期中）设向量，，其中，则下列说法正确的是（    ） A．与共线的单位向量是 B．的最小值为3 C．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A：与共线的单位向量有两个，为，故A错误； 对于B：，当且仅当时取到等号，即最小值为3，故B正确； 对于C：若与的夹角为锐角，则，即且，故C错误； 对于D：若，则，即，故D正确. 14．（25-26高一下·天津南开·期中）中，，，，，则________（用，表示）若，，则________． 【答案】 / 【解析】由题意有： ， 又， ， 由， 所以， 即①， 由， 所以， 即②， 由①②有：， 所以. 15．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________ 【答案】 0 【解析】 因为， 则， 与夹角为，与夹角为， . 设，可知， ， ， ， ， ，当或时， 有最小值，最小值为0. 故答案为: ； 0. 16．（25-26高一下·山西晋中·期中）在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 【答案】/ 【解析】因为复数，，，所对应的点分别是，，， 所以，，， 即，，， 所以 由，所以， 解得，因此. 17．（25-26高一下·天津红桥·阶段检测）已知，，，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】． 18．（25-26高一下·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 【答案】 【解析】由为中线可得，. 又点为中线的三等分点，所以. 因为点为的中点，所以， 又， 所以. 19．（25-26高一下·上海普陀·期末）平面直角坐标系中、，设点、、…、是线段AB的n等分点，其中，. (1)当时，试用、表示、； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，i，）的最小值. 【解析】（1）当时，点、是线段的三等分点， 所以，， （2）由题意，点是线段的等分点，则，所以 因为，，所以，，则 所以当，， 设，则 因为， 所以，故 （3）当时，由（2）可知，其中且， ， 因为，所以， 要使最小，只需最小， 当与异号且绝对值最大时，乘积最小， 即当或时， 取得最小值，所以的最小值为 20．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 【解析】（1）因为，，，、为线段、上的点，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 即， 即， 即， 所以， 当时，，解得； （2）由（1）可得， 因为，， 所以，即，所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 21．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【解析】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即. （2）由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 22．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 【解析】（1）若，则， 即， 故. （2）若，则， 即， 所以 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面向量线性运算与基本表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、向量的有关概念 3 知识点二、向量的线性运算 3 知识点三、平面向量基本定理 4 知识点四、平面向量的坐标运算 4 知识点五、平面向量共线 4 知识点六、两个向量的夹角 4 知识点七、平面向量的数量积 4 知识点八、数量积的运算律 5 知识点九、向量数量积的性质 5 知识点十、数量积的坐标运算 5 03 重难点题型 6 题型一：平面向量的概念辨析 6 题型二：平面向量线性运算 6 题型三：向量三点共线问题 7 题型四：向量共线定理及推论应用 7 题型五：平面向量综合运算 8 题型六：平面向量的坐标表示与运算 9 题型七：向量与三角形四心问题 9 题型八：平面向量新定义题型 10 04 过关检测 12 知识点一、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ， 知识点三、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 知识点四、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识点五、平面向量共线 （1）线性表示 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 （2）坐标表示 设，其中，则 知识点六、两个向量的夹角 1、定义 已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角． 2、范围 向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角． 3、向量垂直 如果向量与的夹角是，则与垂直，记作． 知识点七、平面向量的数量积 1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角． 规定． 当时，，这时 2、的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点八、数量积的运算律 （1）交换律：． （2）分配律：． （3）对． 知识点九、向量数量积的性质 1、如果是单位向量，则． 2、． 3、， 4、．（为与的夹角） 5、． 知识点十、数量积的坐标运算 设，则： 1、． 2、． 3、． 4、（为与的夹角） 题型一：平面向量的概念辨析 例1．（25-26高一下·广西河池·期中）下列量中：密度、浮力、温度、风速，其中向量有（   ） A．密度、浮力 B．浮力、温度 C．浮力、风速 D．温度、风速 例2．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）下列说法中正确的是（    ） A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．对于任意向量，必有 例3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列命题正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若不共线，则可以作为平面向量一组基底 题型二：平面向量线性运算 例4．（25-26高一下·天津南开·期中）在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 例5．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 例6．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 题型三：向量三点共线问题 例7．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 例8．（25-26高一下·重庆·期中）设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 例9．（25-26高一下·四川·期中）已知不共线，且，，，则（ ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 变式3．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·北京·期末）已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 题型四：向量共线定理及推论应用 例10．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 例11．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 例12．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式6．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 题型五：平面向量综合运算 例13．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设点在内部，且，则 __________． 例14．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________. 例15．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 变式7．（24-25高一下·上海·期末）若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 题型六：平面向量的坐标表示与运算 例16．（25-26高一下·四川南充·期中）已知向量.若，则__________. 例17．（25-26高一下·天津河西·期中）已知向量，，满足，则_____. 例18．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知，，点满足，则点的坐标是_______ 变式8．（25-26高一下·湖南·阶段检测）若点，，，且，，三点共线，则______. 变式9．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 题型七：向量与三角形四心问题 例19．（多选题）（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 例20．（多选题）（25-26高一下·安徽淮南·期中）已知中，角所对的边分别为点I、O、G、H分别为该三角形的内心、外心、重心和垂心，则下列结论正确的是（ ） A． B．若且，则 C．，使得 D．若，则 例21．（多选题）（25-26高一下·四川南充·期中）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（   ） A．若为的垂心，，则 B．若为的重心，，则 C．若为的外心，，则 D．若为的内心，，，（），则 变式10．（多选题）（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知在中，为重心，直线过点交边于点，交边于点，且两点不与的顶点重合，若，则（   ） A． B．与共线，则 C． D．当取最小值时 题型八：平面向量新定义题型 例22．（25-26高一下·贵州安顺·期中）定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例23．（25-26高一下·浙江杭州·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 例24．（25-26高一下·山西太原·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 变式11．（24-25高一下·北京西城·期末）设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 1．（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·山西阳泉·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D．若 ，在方向上的投影向量为 3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 7．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 8．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知向量，则（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 11．（多选题）（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影数量为 C． D．的最大值为2 12．（多选题）（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（多选题）（25-26高一下·江苏无锡·期中）设向量，，其中，则下列说法正确的是（    ） A．与共线的单位向量是 B．的最小值为3 C．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 D．若，则 14．（25-26高一下·天津南开·期中）中，，，，，则________（用，表示）若，，则________． 15．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________ 16．（25-26高一下·山西晋中·期中）在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 17．（25-26高一下·天津红桥·阶段检测）已知，，，则的坐标为__________． 18．（25-26高一下·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 19．（25-26高一下·上海普陀·期末）平面直角坐标系中、，设点、、…、是线段AB的n等分点，其中，. (1)当时，试用、表示、； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，i，）的最小值. 20．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 21．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 22．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $