期末复习专题02 平面向量坐标运算以及数量积【6大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题02 平面向量坐标运算以及数量积 一、平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量坐标的相关概念 【注意】(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y) (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同 二、平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 差 a－b＝ (x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝ (xB－xA，yB－yA) 三、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝ (λx，λy) ，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标 ． 平面向量共线的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0 ． 四、两向量的夹角 已知两个 非零 向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝b，则∠AOB＝θ( 0≤θ≤π )叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，向量a，b 同向 ； 当θ＝π时，向量a，b 反向 ； 当θ＝时，向量a与b 垂直 ，记作a⊥b． 【注意】两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角 五、向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 ． 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b| ≤ |a||b|． (5)cos θ＝． 【注意】(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写 (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0 (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量 六、投影向量 投影向量：设a，b是两个非零向量，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影， 叫做向量a在向量b上的投影向量． 向量数量积的运算律 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2 ． (2)(a－b)2＝ a2－2a·b＋b2 ． (3)(a＋b)·(a－b)＝ a2－b2 ． 【注意】(1)a·b＝b·c推不出a＝c (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量 七、平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 ． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ． 向量模的坐标表示 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 ，或|a|＝． 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝ (x2－x1，y2－y1) ，|a|＝． 八、平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝． (2)a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 ． 【注意】(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆 (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角 九、有向线段的定比分点坐标公式 若点P是直线P1P2上的一点，且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当＝λ时，点P的坐标为(λ≠－1)． 特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式． 【注意】若＝λ，其中λ≠－1 (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上 (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上 (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上 考点一 平面向量的坐标运算 考点二 平面向量数量积的计算 考点三 投影向量的问题 考点四 向量中模长的问题 考点五 向量中夹角的问题 考点六 向量中的垂直与平行的问题 考点一 平面向量的坐标运算 1．（25-26高一下·上海宝山·期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 2．（2026·浙江金华·三模）已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 4．（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知向量，，那么向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点二 平面向量数量积的计算 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知向量，满足，，，则________. 6．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在△ABC中，AB＝2，，，则______． 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）在平行四边形中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知向量，，则__________. 考点三 投影向量的问题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·湖北武汉·三模）已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为________. 13．（25-26高一下·天津蓟州·阶段检测）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为______. 14．（2026·河南许昌·模拟预测）已知，，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点四 向量中模长的问题 15．（2026·河北保定·三模）已知平面向量满足，与，与，与的夹角相等且不为0，则（    ） A． B． C．2 D．2 16．（25-26高二下·河南洛阳·期中）设向量，，且，，，则______． 17．（25-26高一下·湖北·期中）已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．3 18．（25-26高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 19．（25-26高一下·吉林·期中）已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 20．（25-26高一下·河北雄安·月考）已知向量，. (1)若与垂直，求实数k的值； (2)求的最小值及对应的x的值. 考点五 向量中夹角的问题 21．（25-26高一下·河南驻马店·期中）若向量， 满足：，，且，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·四川遂宁·期中）已知，． (1)若，的夹角为，求； (2)若，与的夹角为，求的值． 23．（2026·江苏·二模）已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知向量，则___________． 26．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中，． (1)若点满足，求点坐标； (2)若点使得为锐角，求实数的取值范围． 考点六 向量中的垂直与平行的问题 27．（25-26高一下·山东聊城·期中）向量，则实数的值为__________. 28．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知向量，若，则______． 29．（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知点，，向量，若，则实数______. 30．（2026高三·全国·专题练习）平面内给定两个向量，，若与（其中）共线，求的值． 31．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点，，，为坐标原点，则与的交点的坐标为________． 32．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 1．（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中），则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏·期中）设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川眉山·模拟预测）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 7．（23-24高三下·河北衡水·开学考试）已知向量，，，若// ，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知向量，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 10．（25-26高一下·江苏镇江·期中）（多选）已知均为非零向量，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与共线且反向 D．若，且与的夹角为锐角，则 11．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）（多选）对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D．向量与向量垂直 12．（22-23高一下·江西吉安·期中）（多选）设向量，满足，，且与是共线向量，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·四川遂宁·期中）（多选）已知向量，，，则（    ） A．的夹角为锐角 B．若，则 C．若与垂直，则 D．在上的投影向量是 14．（25-26高一下·新疆和田·期中）（多选）已知平面向量，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则向量与的夹角为锐角 B．若，则 C．方向上的单位向量为 D．若，则向量在上的投影为 15．（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 16．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 17．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 18．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，满足，且与的夹角为60°，则______． 19．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________． 20．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，满足条件：，，且与互相垂直，则与的夹角为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量坐标运算以及数量积 一、平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量坐标的相关概念 【注意】(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y) (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同 二、平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 差 a－b＝ (x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝ (xB－xA，yB－yA) 三、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝ (λx，λy) ，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标 ． 平面向量共线的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0 ． 四、两向量的夹角 已知两个 非零 向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝b，则∠AOB＝θ( 0≤θ≤π )叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，向量a，b 同向 ； 当θ＝π时，向量a，b 反向 ； 当θ＝时，向量a与b 垂直 ，记作a⊥b． 【注意】两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角 五、向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 ． 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b| ≤ |a||b|． (5)cos θ＝． 【注意】(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写 (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0 (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量 六、投影向量 投影向量：设a，b是两个非零向量，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影， 叫做向量a在向量b上的投影向量． 向量数量积的运算律 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2 ． (2)(a－b)2＝ a2－2a·b＋b2 ． (3)(a＋b)·(a－b)＝ a2－b2 ． 【注意】(1)a·b＝b·c推不出a＝c (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量 七、平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 ． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ． 向量模的坐标表示 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 ，或|a|＝． 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝ (x2－x1，y2－y1) ，|a|＝． 八、平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝． (2)a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 ． 【注意】(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆 (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角 九、有向线段的定比分点坐标公式 若点P是直线P1P2上的一点，且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当＝λ时，点P的坐标为(λ≠－1)． 特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式． 【注意】若＝λ，其中λ≠－1 (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上 (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上 (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上 考点一 平面向量的坐标运算 考点二 平面向量数量积的计算 考点三 投影向量的问题 考点四 向量中模长的问题 考点五 向量中夹角的问题 考点六 向量中的垂直与平行的问题 考点一 平面向量的坐标运算 1．（25-26高一下·上海宝山·期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设出点的坐标，得出，，利用即可求出点的坐标. 【详解】由题意，，， 设点的坐标为， ∴，， ∵点满足， ∴，解得， ∴. 2．（2026·浙江金华·三模）已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则， 且，所以． 4．（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知向量，，那么向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，，. 考点二 平面向量数量积的计算 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知向量，满足，，，则________. 【答案】1 【详解】. 6．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在△ABC中，AB＝2，，，则______． 【答案】 【详解】依题意，. 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）在平行四边形中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题利用向量的加减法则和向量乘法计算公式计算即可. 【详解】， ， . 8．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知向量，，则__________. 【答案】 【详解】因为，，所以， ， 则. 考点三 投影向量的问题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】已知，， 则在上的投影向量为，故C正确. 10．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知向量，满足，，则， 则向量在向量方向上的投影向量为. 11．（2026·湖北武汉·三模）已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 正六边形中，设与交于，则为中点，且. 所以向量在向量方向上的投影向量为. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求出，再利用数量积的运算律及夹角公式求解. 【详解】由是两个单位向量，在上的投影向量为，得， 则，， ，因此， 而，，所以. 13．（25-26高一下·天津蓟州·阶段检测）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】利用投影向量公式即可求解. 【详解】由题可得：，所以，， 则在方向上的投影向量的坐标为 14．（2026·河南许昌·模拟预测）已知，，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】，得，即，解得. 考点四 向量中模长的问题 15．（2026·河北保定·三模）已知平面向量满足，与，与，与的夹角相等且不为0，则（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】设三个向量的模长均为，根据平面内三个非零向量两两夹角相等且不为0得夹角，将已知模长等式平方后代入公式求解即可. 【详解】设， 由于三个平面向量两两夹角相等且不为0，故两两夹角均为， 所以， 将两边平方展开化简得： 解得（负根舍去），即. 16．（25-26高二下·河南洛阳·期中）设向量，，且，，，则______． 【答案】 【分析】通过平方，结合向量数量积运算律和定义即可求解. 【详解】因为， 由，得； 又 ，， ； ， ； ， ； 将所有值代入得： ， 开方得. 17．（25-26高一下·湖北·期中）已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．3 【答案】D 【详解】由，得，所以. 由，得， 又，得， 所以，则. 18．（25-26高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 19．（25-26高一下·吉林·期中）已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算及模的坐标计算公式即可求解． 【详解】由得，， 所以． 20．（25-26高一下·河北雄安·月考）已知向量，. (1)若与垂直，求实数k的值； (2)求的最小值及对应的x的值. 【答案】(1) (2)当时，最小值为 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求出结果即可. （2）根据向量的模的计算和向量的数量积以及二次函数的性质计算即可. 【详解】（1）由与垂直，得，即 . 因为，，所以，，， 所以 ，解得. （2）因为，，所以，，， 所以. 所以当时，取得最小值，为. 考点五 向量中夹角的问题 21．（25-26高一下·河南驻马店·期中）若向量， 满足：，，且，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算律和夹角公式，即可求解. 【详解】由可得， 所以， 因,所以， 所以与的夹角是. 22．（25-26高一下·四川遂宁·期中）已知，． (1)若，的夹角为，求； (2)若，与的夹角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积及运算律，结合向量的模求解即可； （2）根据垂直关系的向量表示得到，根据向量夹角的求法求解即可. 【详解】（1）， ； （2）若，则， 即，所以， 所以，又，所以. 23．（2026·江苏·二模）已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算律及夹角的余弦公式即可求解． 【详解】由两边平方得，， 又得， 所以， 则． 24．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的向量表示及向量共线求解即可. 【详解】由题意可知且向量，不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 25．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知向量，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以. 26．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中，． (1)若点满足，求点坐标； (2)若点使得为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性坐标运算计算求解； （2）由题意可得且方向不相同，列式计算求解. 【详解】（1）设，则，， 若，则， 即，解得，所以 （2），， 由题意可得且方向不相同， 即，解得， 当时，方向相同，不符合题意， 所以实数的取值范围是 考点六 向量中的垂直与平行的问题 27．（25-26高一下·山东聊城·期中）向量，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】由题意得，， 由可得，得. 28．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知向量，若，则______． 【答案】/ 【详解】由题设， 所以. 29．（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知点，，向量，若，则实数______. 【答案】2 【分析】由点，，可得的坐标，结合向量平行的公式，可列出关于的方程，解方程即可. 【详解】由题意，点，，可得， 因为，且， 所以，解得. 30．（2026高三·全国·专题练习）平面内给定两个向量，，若与（其中）共线，求的值． 【答案】 【分析】首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】根据题意可知，， 若与共线，则， 化简得，则. 31．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点，，，为坐标原点，则与的交点的坐标为________． 【答案】 【详解】解法一：由三点共线，可设， 则， 又因为， 由，共线，得，解得， 所以，所以点的坐标为． 解法二：设点，则，因为，且与共线， 所以，即． 又因为，，且，共线，所以，解得，所以点的坐标为． 32．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，，， 由有 ，解得． （2）由已知，， 由有，解得， 于是． 1．（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量减法运算求解. 【详解】. 2．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 则， 则 3．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，则， ， ， ， ． 4．（25-26高一下·江苏·期中）设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在上的投影向量的定义建立方程，求解夹角的余弦值，结合夹角的取值范围确定夹角. 【详解】设向量与的夹角为， 根据投影向量的定义，在上的投影向量为， 可得 ，因此，解得 . 又因为，所以. 5．（2026·四川眉山·模拟预测）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据投影向量的定义可列出等式，再求出向量与的夹角即可. 【详解】设向量与的夹角为， 则由题意结合投影向量的定义可知， 解得， 因为向量的夹角，所以. 6．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】 是钝角时，，必要性满足， 因为，是平面上两个非零向量，则， 当时，满足，但不是钝角， 则充分性不成立. 那么“”是“是钝角”的必要非充分条件. 7．（23-24高三下·河北衡水·开学考试）已知向量，，，若// ，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由题意得，，若，则，解得． 8．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得关于的等式，解之即可. 【详解】因为平面向量，，若，则， 所以，即，解得. 9．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知向量，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的坐标表示求解. 【详解】由，得，即， 则，而向量，， 因此，所以. 10．（25-26高一下·江苏镇江·期中）（多选）已知均为非零向量，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与共线且反向 D．若，且与的夹角为锐角，则 【答案】BC 【详解】对于A，， 当与的夹角为时，也符合题意，故A错误； 对于B，，又因为， 所以，故B正确； 对于C，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D，当时，， 此时与的夹角为，不是锐角，故D错误. 11．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）（多选）对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D．向量与向量垂直 【答案】AD 【分析】应用数量积公式计算判断A，C，应用数量积运算律计算判断B，应用垂直数量积为0判断D. 【详解】对于任意两个非零向量和， ，A选项正确； ，不一定是1， 不一定成立，B选项错误； ，不一定是1，不一定成立，C选项错误； ，所以向量与向量垂直，D选项正确； 12．（22-23高一下·江西吉安·期中）（多选）设向量，满足，，且与是共线向量，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】法一：，与是共线向量，可设； ，，得，即； 或. 法二：设，，； ，与是共线向量，； ，解得或； 或. 13．（25-26高一下·四川遂宁·期中）（多选）已知向量，，，则（    ） A．的夹角为锐角 B．若，则 C．若与垂直，则 D．在上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】由平面向量的坐标运算，结合向量夹角、平行、垂直的判定规则，以及投影向量的计算公式逐项分析判断. 【详解】选项A：易知 ，且 ， 说明与不共线，因此两向量夹角为锐角，A正确； 选项B：若，则 ，解得，B正确； 选项C：因为 ，所以 ， 解得 ，C错误； 选项D：投影向量公式为，代入 ， 得 ，D正确. 14．（25-26高一下·新疆和田·期中）（多选）已知平面向量，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则向量与的夹角为锐角 B．若，则 C．方向上的单位向量为 D．若，则向量在上的投影为 【答案】BC 【分析】求出判断A，根据向量模的坐标表示得到方程，求出t的值，即可判断B，由方向上的单位向量为判断C，根据数量积的几何意义求出投影，即可判断D. 【详解】对于A：当时，因为，所以与不共线， 又因为，所以向量与的夹角为锐角，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为，所以， 所以方向上的单位向量为， 即方向上的单位向量为，显然向量不是方向上的单位向量，故C错误； 对于D：当时，所以，， 所以向量在上的投影为，故D正确. 15．（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查向量夹角为钝角的条件，即两向量数量积小于0且两向量不共线，分别列出不等式求解，最后取交集得到t的取值范围。 【详解】向量，可得。 由, 得，所以或， 若两向量共线，可得，即，解得或, 因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 16．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】/ 【详解】由，得， 即，解得， 所以. ， ，. 所以在方向上的投影向量为 . 17．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 【答案】 【详解】因为与的夹角为，所以. 因为，所以， 解得. 18．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，满足，且与的夹角为60°，则______． 【答案】 【分析】借助模长与数量积关系计算即可得. 【详解】 . 19．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________． 【答案】 【分析】依据的最小值可以求得的值以及，展开所求关系式依据向量夹角的范围可求得最大值. 【详解】由题意得，，则 ， 由最小值为，且由二次函数分析可知， 当时，取得最小值， 所以 ，解得， 又与的夹角为锐角，则，此时， 所以，设， 由, 又，故． 20．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，满足条件：，，且与互相垂直，则与的夹角为________． 【答案】/45° 【详解】设向量与的夹角为，其中. 由与互相垂直，可得，即. 所以，即. 所以，所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $