核心考点培优01：平面向量的线性运算6大重点题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优01：平面向量线性运算6大重点题型 (高一复习全国通用) 题型一 向量的线性运算 4 题型二 利用向量的线性运算求参数 6 题型三 三点共线和向量共线 9 题型四 共线向量定理的应用 12 题型五 等和线的应用 16 题型六 向量的“四心”问题 21 思维导图 知识点1 ：向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 知识点3：共线向量定理/垂直向量的充要条件 ①向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 或设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. ②两个向量垂直的充要条件 当，≠时，⊥·＝0 知识点3：向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点4：向量“四心” 1. 若O为重心（三条中线的交点） (1)； (2)； (3)动点满足,则的轨迹一定通过的重心 (4)动点满足,则动点的轨迹一定通过的重心 2. 若O为△ABC垂心（三条高的交点） (1) (2) (3)动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心 3. 若O为△ABC内心（三条角平分线的交点） (1) (2) (3)动点满足,则的轨迹一定通过的内心 (4) 4. 若O为△ABC外心（三条中垂线的交点） (1)； (2)动点满足,,则动点的轨 迹一定通过的外心; (3)若,则是的外心. 经典重现+变式提升 题型一 向量的线性运算 方法点拨： 刷经典·悟方法 【例1】（25-26高一下·山东淄博·月考）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质结合向量的线性运算即可得解. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 所以. 【变式1-1】（25-26高一下·广东深圳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得. 【详解】依题意，，由在上，得， 由在上，得，解得，则， 所以. 【变式1-2】（2027高三·全国·专题练习）已知点为所在平面内一点，且，则（    ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在射线上 【答案】D 【分析】将已知向量等式变形，得到点相对于点的位置向量与方向向量共线且同向，从而判断点在射线上. 【详解】由，得，所以， 所以点在射线上． 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，点分别为边的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，故， ， 点分别为边的中点， ， ，故B正确． 题型二 利用向量的线性运算求参数 方法点拨： 平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 刷经典·悟方法 【例2】（25-26高一下·山东枣庄·期中）在任意四边形中，，分别是，的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】因为分别为的中点，则， 由向量的运算法则，可得， 两式相加，可得， 所以， 因为，所以，所以. 【变式2-1】（2026·湖北黄冈·三模）已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得，设，以O为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系,则,由进行坐标运算，结合即可推得实数的数量关系. 【详解】因为均在圆上,且，则，且， 不妨设,以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则,由可得, ,则，故得. 【变式2-2】（25-26高一下·上海·期中）已知向量，若，则__________. 【答案】2 【详解】因为，所以 ，解得. 【变式2-3】（25-26高一下·山东济宁·期中）已知两个单位向量与的夹角为，设向量. (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）向量平行，利用对应基底系数成比例求解参数. （2）利用向量夹角公式求解参数. 【详解】（1）解：因为，则基底为与， 若，则由对应基底系数成比例可得，，解得． （2）因为单位向量与的夹角为， 则. 而， ， 则， 所以， 即，且， 化简得，且，解得． 题型三 三点共线和向量共线 方法点拨：知识梳理 1.垂直充要条件：（为非零向量） 2.几何意义：两向量垂直时，它们的数量积为0，反之亦然 3.零向量：零向量与任意向量垂直（定义） 解题思路 1.判定垂直：计算，若结果为0，则两向量垂直 2.已知垂直求参数：由列方程，解出参数值 3.证明垂直：将待证垂直的向量用已知向量表示，计算数量积为0 刷经典·悟方法 【例3】（25-26高一下·陕西安康·期中）如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】先利用三点共线的向量性质，将用与线性表示，再结合已知的的分解式，通过平面向量基本定理得到与的关系式，最后将目标式与该关系式结合，用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，三点共线，所以存在实数使得. 又，，所以. 已知， 由平面向量基本定理，得，. 消去，得，因为，. 所以 . 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. 【变式3-1】（25-26高一下·四川凉山·期中）已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】结合向量线性运算用表示，再利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由G为的重心，得，则， 整理得，而， 因此，而共线，则， 于是， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 【变式3-2】（22-23高一下·江西吉安·期中）设向量，满足，，且与是共线向量，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】法一：，与是共线向量，可设； ，，得，即； 或. 法二：设，，； ，与是共线向量，； ，解得或； 或. 【变式3-3】(多选题)（25-26高一下·山东临沂·期中）若平面向量，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为2 【答案】BD 【详解】选项A：已知，，则，解得， 此时，， 故与不平行，故A错误； 选项B：在上的投影向量为，与共线且方向相同， ，故， 投影向量的系数满足，，， 则，解得， ，故B正确； 选项C：当时，，若与的夹角为锐角，需满足： ，且与不共线， ，解得， 若与共线，则，解得，此时夹角为0， 已知与夹角为锐角，故， 综上，的取值范围为，故C错误； 选项D：若，则， ，当且仅当，即， 结合得时等号成立，故D正确． 题型四 共线向量定理的应用 方法点拨：平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 【常用结论】 要点注释：已知在线段上，且，则 刷经典·悟方法 【例4】(多选题)（25-26高一下·广东东莞·期中）边长为2的菱形中，若，点在直线上，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量数量积定义运算可得，进而求得，再由向量共线的性质可得结合基本不等式求解判断的范围. 【详解】因为是边长为2的菱形，所以， 得，又，所以， 所以为等边三角形，则，故A正确，B错误； 又点在直线上，且，所以， 所以，当且仅当时，取等号，故C错误，D正确. 【变式4-1】（25-26高一下·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】分析可知点是的重心，根据三点共线结合向量运算可得，，结合题意可得，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即，可知点是的重心， 则， 因为三点共线，则，且， 可得， 又因为，则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 【变式4-2】（25-26高一下·四川凉山·期中）已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】结合向量线性运算用表示，再利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由G为的重心，得，则， 整理得，而， 因此，而共线，则， 于是， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 【变式4-3】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 题型五 等和线的应用 方法点拨： 等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 刷经典·悟方法 【例5】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，当是线段的中点时，， 所以，所以A正确. 对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于. 延长与直线交于点，则，. 所以，所以，所以点的轨迹为线段. 当点与重合时，. 当点与重合时，. 所以.所以B不正确. 对于C，当为定值2时，. 令，可得三点共线. 分别取线段的中点，记为，所以，即. 连接交于点，则. 所以点的轨迹是线段，所以C正确. 对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以. 所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确. 故选：ACD. 【变式5-1】（24-25高一下·广东揭阳·月考）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动．若其中,则的最大值是(    ) A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据已知条件及向量的数量积，再利用向量的加法及基本不等式，结合一元二次不等式即可求解. 【详解】由两边平方，得， 因为向量和的夹角为， 所以，即， 由向量加法的平行四边形法则，得，所以，即， ，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为2. 故选：B. 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 【答案】 【分析】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值． 【详解】由可得，即， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 【变式5-3】（25-26高一下·河北邯郸·月考）如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】连接，则，， 因为，所以, 因为点是圆及其内部任意一点， 所以，且当三点共线时，取得最值， 当取得最大值时，以为对角线，以为邻边方向作平行四边形, 则和为等边三角形， 所以， 所以， 所以的最大值为， 同理可求得的最小值为， 所以， 故答案为： 题型六 向量的“四心”问题 方法点拨：知识梳理 1.奔驰定理：在内任取一点，有 2.重心：， 3.内心：（为的三边） 4.外心： 5.垂心： 解题思路 1.识别三角形内点，优先考虑奔驰定理 2.若已知点的向量表达式，与“四心”的向量性质对比，判断“心”的类型 3.利用“四心”的向量性质，结合数量积求解参数或证明结论 名师点睛 奔驰定理是三角形内点与向量关系的“万能钥匙”，可快速建立向量与面积的关系 重心的向量性质是高考热点，可直接套用 垂心的性质常与数量积结合，需用数量积定义验证 刷经典·悟方法 【例6】(多选题)（25-26高一下·宁夏银川·月考）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 【变式6-1】(多选题)（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A．若，则为的垂心 B．若，则为的外心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加法运算与三角形三心的性质及判定条件依次判断即可. 【详解】对于A，，则，所以， 同理可得，，由此可知，是的垂心，故A正确； 对于B，由于，所以为的外心，故B正确； 对于C，如图所示： 为的重心，是边上的中线，则，即，故C错误； 对于D，，即， 设的中点为，根据向量加法的平行四边形法则，有， 因，则得，说明在的中线上， 同理可得，在的中线上，因此是的重心， 根据重心的性质，有，故D正确. 【变式6-2】(多选题)（25-26高一下·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则. 【答案】ACD 【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D. 【详解】因为为的垂心，所以，故， 所以，故A正确； 延长交于中点，如图，    因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示：    若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理知， 所以，故C正确； 如图，    若为的内心，则，过作， 由余弦定理得，所以， 内切圆半径为，所以， 所以，而，所以， 所以，故D正确. 【变式6-3】（多选题）（25-26高一下·浙江·期中）已知点为的外心，点为所在平面内一点，则下列结论一定成立的有（   ） A． B．若，则 C．若，则点为的重心 D．若，则点为的垂心 【答案】BCD 【分析】对于选项A,将变形为，结合外心性质分析是否相等;对于选项B，根据正弦定理可得，再结合，对比半径比较大小即可；对于选项C：根据重心的向量性质求解即可； 对于选项D，结合向量线性运算和数量积运算求解，同理可证，进而判断垂心. 【详解】已知是外心，故（外接圆半径） 选项A，若， 整理得， 即，仅对特定成立，不是对任意一定成立，故A错误； 选项B，如图所示，取中点，， 故 由题， 得. 由正弦定理：， 故，即，B正确. 选项C，对于任意点,重心的向量性质为：， 即，题设，故与重合， 即是重心，C正确； 选项D，若， 故， 同理可得，即是垂心，D正确. 1.（2026·山东东营·二模）“，使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合共线向量的定义、充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，，满足； 当时，因为，使得，所以共线，即； 综上，由，使得，可得，即充分性满足； 当时，若，则不存在，使得，故必要性不满足； 所以“，使得”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以 3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 4．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 6．（25-26高一下·陕西安康·期中）如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】先利用三点共线的向量性质，将用与线性表示，再结合已知的的分解式，通过平面向量基本定理得到与的关系式，最后将目标式与该关系式结合，用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，三点共线，所以存在实数使得. 又，，所以. 已知， 由平面向量基本定理，得，. 消去，得，因为，. 所以 . 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. 7．（25-26高一下·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】分析可知点是的重心，根据三点共线结合向量运算可得，，结合题意可得，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即，可知点是的重心， 则， 因为三点共线，则，且， 可得， 又因为，则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 8．（多选题）（25-26高一下·湖北武汉·期中）点为所在平面内一点，为中点，，则下列命题正确的是（   ） A． B．若是的重心，则 C．若为的外心，且，则为的垂心 D．若，，，点在线段上运动时，最大值为 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的基本定理可判断A选项；利用重心的向量表示可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质推导出，，，可判断C选项；求出的长，利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 因为，则，所以， 所以，A错； 对于B选项，若是的重心，则，B对； 对于C选项，因为为的外心，则， 因为， 所以， 所以，故， 同理可得，，故为的垂心，C对； 对于D选项，因为，，， 由余弦定理可得， 所以，故， 易知，，， 由余弦定理可得，故， 因为为的中点，所以， 所以 ， 当且仅当点与点重合时，等号成立，即最大值为，D对. 9．（多选题）（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若为锐角的外心，且，则 【答案】ABD 【分析】对A，利用垂心的性质，得求解判断；对B，对作线性变形整理得到判断；对C：由可知动点的轨迹是边的中线，仅过重心，不必然经过内心；对D：结合对变形，推得在的中线上，结合外心性质可得. 【详解】对于选项A：若是的垂心，所以，故， 因此，又，所以，A命题正确； 对于选项B：由， 移项得，即， 说明在边的中线上，且分中线为，符合三角形重心的性质，B命题正确； 对于选项C：由可知的轨迹是中边的中线（从出发的射线）. 而内心是角平分线的交点，仅当时内心才在中线上， 任意三角形的内心不一定在中线上，因此动点的轨迹不一定经过内心，C命题错误； 对于选项D：取中点， 由可得， 又，所以，整理得，所以三点共线， 又为锐角外心，可得，因为为中点，所以， 所以，所以，D命题正确. 10．（多选题）（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点到三边的距离相等；对于C根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合一般不等式求解范围即可；对于D由，整理得，再根据奔驰定理求解面积比值即可. 【详解】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 11．（24-25高一下·河南·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可； （2）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面共线向量的性质、三角形面积性质进行求解即可. 【详解】（1）； ； （2）设，连接， ， ， 则，解得， 设边上的高为，边上的高为， 则， 所以. 12．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在中，，为线段的中点，且，为实数，记． (1)请用和表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）由已知条件，结合向量的线性运算与平面向量基本定理求解. 【详解】（1）由已知，即， 所以； （2）为线段的中点，， 又， ， 又，且不共线，所以， 所以． 14．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据向量减法运算再根据共线计算求参即可； （2） 先得出向量坐标，再根据数量积公式结合二次函数值域求解； （3）根据向量加法及模长公式结合二次函数值域求解. 【详解】（1），               ，              三点共线，与共线，即，             ，            解得：． （2），               ，            ∴当时，                     取得最小值． （3）由题意，设，                 则，所以，             ，            因为，所以当时有最小值， 当时有最大值20，所以的取值范围为， 故的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优01：平面向量线性运算6大重点题型 (高一复习全国通用) 题型一 向量的线性运算 4 题型二 利用向量的线性运算求参数 5 题型三 三点共线和向量共线 6 题型四 共线向量定理的应用 7 题型五 等和线的应用 9 题型六 向量的“四心”问题 10 思维导图 知识点1 ：向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 知识点3：共线向量定理/垂直向量的充要条件 ①向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 或设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. ②两个向量垂直的充要条件 当，≠时，⊥·＝0 知识点3：向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点4：向量“四心” 1. 若O为重心（三条中线的交点） (1)； (2)； (3)动点满足,则的轨迹一定通过的重心 (4)动点满足,则动点的轨迹一定通过的重心 2. 若O为△ABC垂心（三条高的交点） (1) (2) (3)动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心 3. 若O为△ABC内心（三条角平分线的交点） (1) (2) (3)动点满足,则的轨迹一定通过的内心 (4) 4. 若O为△ABC外心（三条中垂线的交点） (1)； (2)动点满足,,则动点的轨 迹一定通过的外心; (3)若,则是的外心. 经典重现+变式提升 题型一 向量的线性运算 方法点拨： 刷经典·悟方法 【例1】 （25-26高一下·山东淄博·月考）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （25-26高一下·广东深圳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2027高三·全国·专题练习）已知点为所在平面内一点，且，则（    ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在射线上 【变式1-3】 （25-26高一下·山东济宁·期中）在中，点分别为边的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型二 利用向量的线性运算求参数 方法点拨： 平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 刷经典·悟方法 【例2】（25-26高一下·山东枣庄·期中）在任意四边形中，，分别是，的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·湖北黄冈·三模）已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·上海·期中）已知向量，若，则__________. 【变式2-3】（25-26高一下·山东济宁·期中）已知两个单位向量与的夹角为，设向量. (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求的值. 题型三 三点共线和向量共线 方法点拨：知识梳理 1.垂直充要条件：（为非零向量） 2.几何意义：两向量垂直时，它们的数量积为0，反之亦然 3.零向量：零向量与任意向量垂直（定义） 解题思路 1.判定垂直：计算，若结果为0，则两向量垂直 2.已知垂直求参数：由列方程，解出参数值 3.证明垂直：将待证垂直的向量用已知向量表示，计算数量积为0 刷经典·悟方法 【例3】（25-26高一下·陕西安康·期中）如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式3-1】（25-26高一下·四川凉山·期中）已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式3-2】(多选题)（22-23高一下·江西吉安·期中）设向量，满足，，且与是共线向量，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】(多选题)（25-26高一下·山东临沂·期中）若平面向量，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为2 题型四 共线向量定理的应用 方法点拨：平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 【常用结论】 要点注释：已知在线段上，且，则 刷经典·悟方法 【例4】(多选题)（25-26高一下·广东东莞·期中）边长为2的菱形中，若，点在直线上，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【变式4-2】（25-26高一下·四川凉山·期中）已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式4-3】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型五 等和线的应用 方法点拨： 等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 刷经典·悟方法 【例5】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【变式5-1】（24-25高一下·广东揭阳·月考）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动．若其中,则的最大值是(    ) A． B．2 C． D．3 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 【变式5-3】（25-26高一下·河北邯郸·月考）如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ． 题型六 向量的“四心”问题 方法点拨：知识梳理 1.奔驰定理：在内任取一点，有 2.重心：， 3.内心：（为的三边） 4.外心： 5.垂心： 解题思路 1.识别三角形内点，优先考虑奔驰定理 2.若已知点的向量表达式，与“四心”的向量性质对比，判断“心”的类型 3.利用“四心”的向量性质，结合数量积求解参数或证明结论 名师点睛 奔驰定理是三角形内点与向量关系的“万能钥匙”，可快速建立向量与面积的关系 重心的向量性质是高考热点，可直接套用 垂心的性质常与数量积结合，需用数量积定义验证 刷经典·悟方法 【例6】(多选题)（25-26高一下·宁夏银川·月考）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【变式6-1】(多选题)（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A．若，则为的垂心 B．若，则为的外心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【变式6-2】(多选题)（25-26高一下·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则. 【变式6-3】（多选题）（25-26高一下·浙江·期中）已知点为的外心，点为所在平面内一点，则下列结论一定成立的有（   ） A． B．若，则 C．若，则点为的重心 D．若，则点为的垂心 1.（2026·山东东营·二模）“，使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 5．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．（25-26高一下·陕西安康·期中）如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 7．（25-26高一下·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 8．（多选题）（25-26高一下·湖北武汉·期中）点为所在平面内一点，为中点，，则下列命题正确的是（   ） A． B．若是的重心，则 C．若为的外心，且，则为的垂心 D．若，，，点在线段上运动时，最大值为 9．（多选题）（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若为锐角的外心，且，则 10．（多选题）（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 11．（24-25高一下·河南·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 12．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在中，，为线段的中点，且，为实数，记． (1)请用和表示； (2)求． 14．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $