精品解析：山西运城市康杰中学2026届高三下学期冲刺模拟卷（一）数学试题

康杰中学2026届冲刺模拟卷（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则 A. B. C. D. 3. 已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（ ） A. 椭圆E的焦距是2 B. 椭圆E的离心率是 C. 抛物线C的准线方程是x=-1 D. 抛物线C的焦点到其准线的距离是4 6. 水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心在水面以上距离水面3米，已知水车每60秒转动一圈．如果水车上一点从水中浮现时（图中）开始计时，经时秒后，水车旋转到点，则下列说法错误的是（ ） A. 点第一次到达最高点需要的时间为20秒 B. 第30秒和第70秒时，点在水面以上且距离水面的高度相同 C. 在转动一圈内，点在水面以上且距离水面米以上的持续时间为10秒 D. 当时，点距离水面的最大高度为6米 7. 已知，是两个随机事件，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据，下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的60%分位数为 B. 剔除某个数据：后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 C. 若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5 D. 若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1 10. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，动点在该六面体表面上，且满足，则（ ） A. B. 该几何体的体积为 C. 动点的轨迹长为 D. 该多面体内切球的半径为 11. 在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（ ） A. B. 若为的外心，则 C. 若，则 D. 若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 13. 已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点， 为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为_____． 14. 数列满足，则的前项和为____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，，，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 16. 已知圆和圆，若动圆C与圆A和圆B都外切 （1）求动圆C的圆心的轨迹E的方程； （2）设圆O：，点M，P分别是圆O和（1）中轨迹E上的动点，当时，是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由. 17. 在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 18. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求的值； （3）若存在，使得对任意恒成立，证明：． 19. 已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值； （2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点. （i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长； （ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 康杰中学2026届冲刺模拟卷（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式及任意角正弦公式计算求解. 【详解】由题意得． 2. 若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理复数成，实部与虚部相等列方程求解． 【详解】由题可知==，又复数实部与虚部相等，所以，故选A． 【点睛】本题考查了复数知识及复数运算，利用复数相关知识列方程求解． 3. 已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，代入数值，即可得到结果. 【详解】由题知，， 所以， 即该物体在时的瞬时速度为. 故选：A 4. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 5. 已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（ ） A. 椭圆E的焦距是2 B. 椭圆E的离心率是 C. 抛物线C的准线方程是x=-1 D. 抛物线C的焦点到其准线的距离是4 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出，求出焦距和离心率，根据抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合求出，就能求出曲线和焦点到其准线的距离. 【详解】根据椭圆 可得： 所以椭圆E的焦距是，故A正确； 椭圆E的离心率为，故B正确； 又因为椭圆的焦点为， 抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合 ，即 所以抛物线C的准线方程是，故C正确； 抛物线C的焦点到其准线的距离，故D不正确. 故选：D 6. 水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心在水面以上距离水面3米，已知水车每60秒转动一圈．如果水车上一点从水中浮现时（图中）开始计时，经时秒后，水车旋转到点，则下列说法错误的是（ ） A. 点第一次到达最高点需要的时间为20秒 B. 第30秒和第70秒时，点在水面以上且距离水面的高度相同 C. 在转动一圈内，点在水面以上且距离水面米以上的持续时间为10秒 D. 当时，点距离水面的最大高度为6米 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，再设角是以为始边，为终边的角，可求得高度与时间的关系，进而根据三角函数图象性质进行判断. 【详解】如图，建立平面直角坐标系： 由题意可知， 设角是以为始边，为终边的角, 则点距离水面的高度关于时间的函数为, 即，解得, 故高度， 当时，，，得， 所以. 对于A，当时，即， 解得，当时，, 所以点第一次到达最高点需要的时间为秒，故A正确； 对于B,当时，， 当时，，故B正确； 对于C，当时，即， 则，即， 解得, 当时，，满足条件，故C正确； 对于D，当时，则， 所以， 即,则点距离水面的最大高度为,故D错误. 故选：D. 7. 已知，是两个随机事件，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 由于，所以， 所以， 由于，所以， 所以. 8. 已知定义在上的奇函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造，易知奇函数，且在上为增函数，，然后将转化为，令，用导数法得到时，然后利用函数单调性的定义求解. 【详解】因为奇函数满足， 所以， 所以为奇函数，且在上为增函数，， 而等价于， ， 令， 则， 而，当时，，当时，， 所以， 所以在上递减， 而，所以时，，，； 所以的解集为， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，函数的单调性的定义的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据，下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的60%分位数为 B. 剔除某个数据：后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 C. 若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5 D. 若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1 【答案】BD 【解析】 【分析】利用百分位数定义，极差公式，分层样本求总体的方差公式，平均数定义即可得解. 【详解】对于A，由于，所以样本数据的60%分位数为，因为，所以不一定等于．A错误； 对于B，若剔除某个数据，则得到新样本数据的极差等于原样本数据的极差；若剔除或，则得到新样本数据的极差小于原样本数据的极差.B正确； 对于C，设的平均数为，方差为，则，，所以的方差为.C错误； 对于D，假设未被误写的19个数据之和为，则，， 所以.D正确； 故选：BD. 10. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，动点在该六面体表面上，且满足，则（ ） A. B. 该几何体的体积为 C. 动点的轨迹长为 D. 该多面体内切球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过证明线面垂直可得A选项，求解一个正四面体的体积可得几何体的体积，进而判断B选项，找到的轨迹，求出长度可得C选项，利用等体积法可得D选项. 【详解】对于A，取的中点，连接， 由正三棱锥的性质可得， 因为，所以平面，所以，正确. 对于B，在正三棱锥中，作高线， 由正三角形的性质可得，，所以， 其体积为，所以该几何体的体积为，不正确. 对于C，由几何体的对称性可得，四点共面，由选项A可知，平面， 所以点的轨迹为线段和及棱和，其长度为，正确. 对于D，设几何体的内切球半径为，球心为，连接球心和各顶点， 则有，即，解得，正确. 故选：ACD 11. 在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（ ） A. B. 若为的外心，则 C. 若，则 D. 若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦定理和条件计算判断A，建立坐标系，先计算外心的坐标，再结合向量的数量积坐标公式计算判断B，根据向量关系计算得到点坐标，进而计算向量的模判断C，根据条件和两点间距离公式，结合三角函数计算得到最值判断D. 【详解】因为，结合余弦定理的推论可得 ， 对于A，由余弦定理推论，因为，所以，A正确. 对于B，以点为原点，为轴建立坐标系，， 外心在垂直平分线上，代入的垂直平分线方程 得，，，B错误. 对于C，设，因为，， ，所以， 解得,C正确. 对于D，设满足则 ， 由圆的方程得代入化简得， 设，得 ，其中， 因为，得的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 13. 已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点， 为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：∵直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，∴，∴圆心O（0,0）到直线的距离，化为， ∴， 当且仅当取等号，∴的最小值为4. 考点：基本不等式. 14. 数列满足，则的前项和为____ 【答案】1830 【解析】 【详解】试题分析：，令 则 ，即数列是以16为公差的等差数列， 的前60项和为即为数列{bn}的前15项和 考点：数列递推式，数列求和 【名师点睛】本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，属难题.解题时要注意等差数列的求和公式的应用，解题的关键是有已知条件的特征构造等差数列，利用等差数列求和. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，，，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可. （2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得. 【小问1详解】 解：由题意得： 由题意知，则 又，所以是公差为2的等差数列，则； 【小问2详解】 由题知 则 16. 已知圆和圆，若动圆C与圆A和圆B都外切 （1）求动圆C的圆心的轨迹E的方程； （2）设圆O：，点M，P分别是圆O和（1）中轨迹E上的动点，当时，是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由. 【答案】（1），； （2）是定值，定值为. 【解析】 【分析】（1）由动圆C与圆A和圆B都外切和双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支的部分，进而求出圆C的圆心的轨迹E的方程； （2）设，为轨迹E上的动点，则有，分别表示和，作差后可求出定值. 【小问1详解】 因为设动圆圆心，半径为，因为动圆C与圆A和圆B都外切， 所以，， 所以， 根据双曲线定义可知，的轨迹为双曲线的右支的部分， 其中,为双曲线的焦点，即， ，即，所以， 即， 联立方程组，易知圆A和圆B相交，且交点坐标为和， 所以，， 所以动圆C的圆心的轨迹E的方程为：，； 【小问2详解】 设，为轨迹E上的动点， 所以，即， 因为，且， 所以， 而， 则有， 所以， 所以是定值，定值为. 17. 在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）． 【解析】 【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解； ②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解； （2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解. 【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次； ②由题意，可以取20，30， ，， 则的分布列: 所以； （2）由题意，可以取25，30， 两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为， 则. 18. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求的值； （3）若存在，使得对任意恒成立，证明：． 【答案】（1）的单调递增区间为 ，单调递减区间为. （2） （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，利用导数即可得到单调区间； （2）由有且仅有1个零点，分离参数得到有且仅有1个解，令， 利用导数得到的单调性和最小值，所以. （3）由对任意恒成立，得到，则只需证明即可，利用导数得到最大值为.因此，再令，得到 时取得最大值，因此，即，故得证. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得到， 令，则当时， 所以在内单调递减，且， 即在内单调递减，且， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为有且仅有1个零点， 所以方程有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令，则， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时，，即，单调递减； 当 时，，即，单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 当时，，时，， 因为有且仅有1个解， 所以. 【小问3详解】 因为对任意恒成立， 所以，即， 因此， 要证，只需证明即可， 对函数求导得到， 令，则， 所以在区间单调递减， 即在区间单调递减， 存在唯一极大值点，满足，即， 在内函数单调递增， 内函数单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值 . 因此， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在时取得最大值， 因此， 所以，所以， 故得证. 19. 已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值； （2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点. （i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长； （ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）12 （ii）平面与平面的夹角为定值，余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据平面与平面的夹角得到点到直线的距离等于到点的距离，从而得到点的轨迹，然后结合锥体的体积公式得到点在抛物线的顶点处时体积最小，最后求体积即可； （2）（i）根据平面与平面的交线为得到为与曲线的交点，然后联立与曲线的方程，结合抛物线定义求即可； （ii）根据得到的坐标，根据与平面所成角相等得到斜率相反，从而得到，然后通过计算斜率得到的方向向量，然后利用空间向量的方法求面面角即可. 【小问1详解】 设点到平面和直线的距离分别为，， 因为点在平面内，且平面与平面的夹角为， 因此，得， 所以点的轨迹是为焦点，为准线的抛物线， 当点在抛物线的顶点处时，最小， 最小值为，此时， 所以四棱锥体积的最小值为； 【小问2详解】 设的中点为，则，如图1，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设点，则， （i）平面与平面的交线为， 因此，是直线与抛物线的交点，如图2， 在平面中，可以设：， 与抛物线方程联立，得：， 因此，； （ii）如图3，在平面中，点在点上方，且， 得到点坐标为，因为，与平面所成角相等， 所以，与所成角相等， 因此，，的斜率互为相反数， 设，，则， 得， 因此，， 因此，在空间直角坐标系中，的方向向量为， 又， 设平面的法向量， 由，由， 令，则， 又平面的法向量，， 所以平面与平面的夹角为定值，其余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $