第三章 图形的平移和旋转【期末复习讲义（培优版）七大高频考点讲练+十二大难点攻克】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 图形的平移和旋转『期末复习精编讲义』（培优版） 『思维导图+知识梳理+7个考点讲练+12个难点攻克+真题实战练 共48题』（原卷版） 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 平移变换 3 知识点二 旋转变换 4 知识点三 中心对称与图案设计 4 考点讲练 真题汇总 5 考点讲练一 利用平移的性质求解 5 考点讲练二 平移(作图) 6 考点讲练三 坐标系中的平移 7 考点讲练四 根据旋转的性质说明线段或角相等 8 考点讲练五 求绕原点旋转90度的点的坐标 10 考点讲练六 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 11 考点讲练七 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 12 难点攻克 思维拓展 13 考点讲练一 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 13 考点讲练二 已知平移后的坐标求原坐标 14 考点讲练三 平移综合题(几何变换) 15 考点讲练四 旋转中的规律性问题 16 考点讲练五 坐标与旋转规律问题 16 考点讲练六 线段问题(旋转综合题) 17 考点讲练七 面积问题(旋转综合题) 19 考点讲练八 角度问题(旋转综合题) 20 考点讲练九 其他问题(旋转综合题) 21 考点讲练十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 22 考点讲练十一 中心对称图形规律问题 23 考点讲练十二 已知两点关于原点对称求参数 24 优选真题 实战演练 24 知识点一 平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点拨】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点拨】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移：平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点拨】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点二 旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点拨】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点三 中心对称与图案设计 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点拨】中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点拨】 中心对称作图步骤： ① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. ② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 考点讲练一 利用平移的性质求解 【例1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，将沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数． (2)若，平移的距离为6，求的长． 【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 考点讲练二 平移(作图) 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【变式】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，． (1)平移线段，使点A与点C重合，点B的对应点为点D． ①画出平移后的线段，并写出点D的坐标； ②若线段上有一点，其平移后在线段上的对应点为点Q，写出点Q的坐标； (2)平移线段，使其两端点都在坐标轴上，直接写出点A的对应点的坐标． 考点讲练三 坐标系中的平移 【例3】（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．    (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴向左平移，点C、A、D的对应点分别为，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 【变式】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，文化馆，超市的坐标； (3)已知游乐场在市场的西南方向上且相距个单位长度，请在图中标出游乐场位置，并写出点坐标． 考点讲练四 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例4】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； (2)如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； (3)【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 【变式】（25-26八年级下·江西抚州·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若， ，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是 三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰， ，连接，直接写出的最大值． 考点讲练五 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例5】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，B． (1)画出将向下平移5个单位得 (2)请画出，使与关于原点中心对称 (3)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的 【变式】（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向下平移2个单位，向左平移3个单位后所得的图形； (2)画出绕着O点顺时针旋转后所得的图形； (3)借助网格，利用无刻度直尺作出的角平分线． 考点讲练六 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 【例6】（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是 ． (1)画出关于轴的对称图形； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形． 【变式】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将经过平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，请画出，（点、的对应点分别为点） (2)将绕点A按顺时针方向旋转得到，请画出，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点） 考点讲练七 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例7】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)将向右平移6个单位长度，画出平移后的并写出点的坐标． (2)将绕点O旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． (3)请求出的面积． 【变式】如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 考点讲练一 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； (3)如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到．点A，B，C的对应点分别为D，O，E． (1)请在图中画出； (2)若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标为 ． 考点讲练二 已知平移后的坐标求原坐标 【例2】（25-26八年级下·广西桂林·期中）在平面直角坐标系中，定义：把点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的点，叫做点P的相伴点． (1)直接写出点的相伴点坐标； (2)若点A的相伴点是，求点A的坐标； (3)若点的相伴点在y轴上，求a的值． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于任意一点，将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点，称点为点的“2→3变换点”；反之，称为的逆变换点．若点的逆变换点为，则点的坐标为______；已知在一次函数图象上，为点的“2→3变换点”，过点与点的直线与直线垂直，的坐标为______． 考点讲练三 平移综合题(几何变换) 【例3】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点，经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（__________，__________）（用含，的式子表示）； (3)求三角形的面积． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 考点讲练四 旋转中的规律性问题 【例4】（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则______． 考点讲练五 坐标与旋转规律问题 【例5】（25-26八年级下·广东茂名·期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．若点经过“011011011…”共2026次变换后得到点，则的坐标为______． 【变式】（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期中）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2026次旋转后，顶点的坐标为_______． 考点讲练六 线段问题(旋转综合题) 【例6】如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． (1)如图1，与有何关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； (3)将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 【变式】（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与直线交于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点F在射线上，动点G、动点H分别在直线、直线上，连接、、、，当面积为6时，求周长的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线平移至处，再将绕点旋转一定角度时，点会与点C重合，记旋转过程中的为，在整个旋转过程中，直线分别与直线、x轴交于点N、K，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时的长． 考点讲练七 面积问题(旋转综合题) 【例7】如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【变式】已知和点在网格图中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． (1)将向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，请在网格图中作出； (2)接第（1）小问，将绕点顺时针旋转之后得到的，请在网格图中作出； (3)在上述信息下，求的面积． 考点讲练八 角度问题(旋转综合题) 【例8】从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三等分线，显然一个角的三等分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三等分线． (1)如图1，若，，则___________； (2)如图2，若，，是的两条三等分线． ①求的度数； ②将绕点逆时针旋转度得到，当射线恰好是的三等分线时，求的值； (3)如图3，若，射线是的一条三等分线（射线在的上方），分别是和的角平分线，将绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三等分线，直接写出此时绕点旋转的时间． 【变式】已知：线段和点C，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，F为的中点，连接，． (1)如图1，点C在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点C在线段的上方，，请写出旋转角的度数，并说明理由． 考点讲练九 其他问题(旋转综合题) 【例9】（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，，点D在线段上，点E在射线上，． 【探究发现】 （1）如图1，当点E在线段上时，猜想线段的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】 （2）如图2，若点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，点D，E在边上，，，，求的面积． 【变式】如图①，在等腰直角三角形中，，D，E分别为的中点，F为线段上一动点（不与D，E重合），将线段绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)求证：． (2)如图②，连接，交于点H． ①证明：在点F的运动过程中，总有； ②若，直接写出当的长度是多少时，为为等腰三角形？ 考点讲练十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例10】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度．正方形和长方形的顶点均在格点上．正方形经过一次平移得到正方形，且的坐标是． (1)画出正方形，并写出平移方向和平移距离； (2)求出平移过程中正方形扫过的面积； (3)知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分．正方形和长方形组成一个L形图，请你在图中画一条直线将L形图分为面积相等的两部分． 【变式】如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 考点讲练十一 中心对称图形规律问题 【例11】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 考点讲练十二 已知两点关于原点对称求参数 【例12】（2026·四川绵阳·二模）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川巴中·期中）有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将沿方向平移至的位置，，点E在边上，交于点H，已知，图中阴影部分的面积为54，，则平移距离为______． 5．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 6．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 7．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点） (2)画出将绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．（点A、B、C的对应点分别为点） 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分交于点，将沿的方向平移，点移至点的位置，得到，与相等吗？请说明理由． 10．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． (1)将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． (2)将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． (3)若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 图形的平移和旋转『期末复习精编讲义』（培优版） 『思维导图+知识梳理+7个考点讲练+12个难点攻克+真题实战练 共48题』（解析版） 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 平移变换 3 知识点二 旋转变换 4 知识点三 中心对称与图案设计 4 考点讲练 真题汇总 5 考点讲练一 利用平移的性质求解 5 考点讲练二 平移(作图) 7 考点讲练三 坐标系中的平移 10 考点讲练四 根据旋转的性质说明线段或角相等 12 考点讲练五 求绕原点旋转90度的点的坐标 18 考点讲练六 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 21 考点讲练七 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 23 难点攻克 思维拓展 26 考点讲练一 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 26 考点讲练二 已知平移后的坐标求原坐标 28 考点讲练三 平移综合题(几何变换) 30 考点讲练四 旋转中的规律性问题 33 考点讲练五 坐标与旋转规律问题 34 考点讲练六 线段问题(旋转综合题) 36 考点讲练七 面积问题(旋转综合题) 46 考点讲练八 角度问题(旋转综合题) 48 考点讲练九 其他问题(旋转综合题) 54 考点讲练十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 59 考点讲练十一 中心对称图形规律问题 62 考点讲练十二 已知两点关于原点对称求参数 63 优选真题 实战演练 64 知识点一 平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点拨】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点拨】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移：平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点拨】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点二 旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点拨】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点三 中心对称与图案设计 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点拨】中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点拨】 中心对称作图步骤： ① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. ② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 考点讲练一 利用平移的性质求解 【例1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，将沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数． (2)若，平移的距离为6，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题意可得，再利用三角形内角和即可解答； （2）根据平移的性质可得，即可解答． 【详解】（1）解：由平移的定义可知， ， ； （2）解：由平移的定义可知：， ． 【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【详解】（1）解：找出对应点 然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到：， ∴线段扫过的面积为16． 考点讲练二 平移(作图) 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【分析】本题考查了图形的平移变换及其性质，包括平移后图形的画法、平移后对应线段的关系以及图形平移过程中线段扫过的面积计算，解题的关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【详解】（1）解：找出对应点 然后连接即可； （2）根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等． 因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 即且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到： ∴线段扫过的面积为16． 【变式】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，． (1)平移线段，使点A与点C重合，点B的对应点为点D． ①画出平移后的线段，并写出点D的坐标； ②若线段上有一点，其平移后在线段上的对应点为点Q，写出点Q的坐标； (2)平移线段，使其两端点都在坐标轴上，直接写出点A的对应点的坐标． 【答案】(1)①见解析，；②； (2)或． 【分析】（1）①根据平移的性质作图，再写出坐标即可；②由题意可知，线段的平移方式为向左平移5个单位长度，即可得到点Q的坐标； （2）设线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，再根据坐标轴上的点的坐标特征求解即可． 【详解】（1）解：①线段即为所求作，； ②由题意可知，线段的平移方式为向左平移5个单位长度， 若线段上有一点，则其平移后在线段上的对应点Q坐标为； （2）解：设线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 则点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 若点在轴上，点在轴上， 则，解得：， 则的坐标为； 若点在轴上，点在轴上， 则，解得：， 则的坐标为； 综上可知，点A的对应点的坐标为或． 考点讲练三 坐标系中的平移 【例3】（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．    (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴向左平移，点C、A、D的对应点分别为，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）令直线中，求解x即可得到A点坐标； （2）①先计算的长度，因为以为底时，高为点C的纵坐标，结合三角形面积公式可求出点C的纵坐标，再代入直线即可求出点C的横坐标； ②如果，那么解集对应直线在x轴上方部分的x取值范围；如果，那么解集对应直线在直线上方部分的x取值范围，取两个范围的公共部分即可； ③结合图像，当只有两个顶点在外部时，可以确定点A、C在外部，点D在内部，因此点只能在上进行平移，从而确定m的取值范围． 【详解】（1）解：令，即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴， ∵的面积是5， ∴， 解得， 在直线中，令， 即，解得， ∴． ②根据图像可知，的解集为． ③连接，    由题意可得，沿x轴向左平移， 且只有两个顶点在外部， ∴点A、C在外部，即点D在内部， ∴根据图像可得，． 【变式】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，文化馆，超市的坐标； (3)已知游乐场在市场的西南方向上且相距个单位长度，请在图中标出游乐场位置，并写出点坐标． 【答案】(1)见详解 (2)体育场：，文化馆：，超市： (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与坐标表示，解题关键是根据已知点的坐标确定原点位置，再据此写出其他点的坐标，并结合方向与距离确定未知点的位置．先由火车站的坐标确定x轴与y轴，再根据方格纸写出各点坐标，最后根据方向和距离确定游乐场的位置与坐标． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系； （2）解：如图，体育场：，文化馆：，超市：； （3）解：如图，市场的坐标为， 游乐场在市场的西南方向上且相距个单位长度， 所以在方格纸中，沿该方向移动个单位，即向左、向下各移动2个单位长度， 点P的坐标为． 考点讲练四 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例4】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； (2)如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； (3)【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 【答案】(1) (2)的值最小为 (3)道路的长为 【分析】（1）先证明，再利用三角形的外角的性质求解即可； （2）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明是等边三角形，可得，即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图，连接，则是等边三角形，再进一步求解即可． （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，． 由旋转得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图， 连接，则是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴点A，C在线段的垂直平分线上，点B，N在线段的垂直平分线上，即与互相垂直平分． 设与的交点为F，则为直角三角形，，， ∴， ∴， 即的值最小为． （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接，过点A作，垂足为H，则． ∵，， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴ ． 根据旋转的性质可知，，，， ∵， ∴，即点G在的延长线上， 在中，， ∴， 由勾股定理，得． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 即道路的长为． 【变式】（25-26八年级下·江西抚州·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若， ，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是 三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰， ，连接，直接写出的最大值． 【答案】(1)等边，4 (2) (3)的最大值为 【分析】（1）根据题中所给解题过程进行求解即可； （2）以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，则有，，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，由题意易得，则有，然后可得当A、B、F共线时，最大，此时最大，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． （2）解：以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，如图3， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A、B、F共线时，最大，此时最大， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 考点讲练五 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例5】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，B． (1)画出将向下平移5个单位得 (2)请画出，使与关于原点中心对称 (3)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别关于原点中心对称得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）将三个顶点分别绕原点逆时针旋转后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； 【变式】（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向下平移2个单位，向左平移3个单位后所得的图形； (2)画出绕着O点顺时针旋转后所得的图形； (3)借助网格，利用无刻度直尺作出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用平移的性质作出图形即可； （2）利用旋转的性质作出图形即可； （3）利用网格的特点作出等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得到的角平分线． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示； （3）解：如图，即为所求． 考点讲练六 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 【例6】（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是 ． (1)画出关于轴的对称图形； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）分别确定点关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）分别确定点绕点顺时针旋转的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 【变式】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将经过平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，请画出，（点、的对应点分别为点） (2)将绕点A按顺时针方向旋转得到，请画出，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点） 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 点的坐标为． 考点讲练七 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例7】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)将向右平移6个单位长度，画出平移后的并写出点的坐标． (2)将绕点O旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． (3)请求出的面积． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【分析】（1）把的三个顶点分别向右平移6个单位长度，得到点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可； （2）把三个顶点分别绕点O旋转，得到点，顺次连接得到，写出点的坐标即可； （3）运用整体减部分的方法可求得的面积． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为； （2）解：如图所示，点的坐标为； （3）解：的面积为． 【变式】如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．过点B作轴于点G，根据点A的坐标得出，进而得出，则点B的坐标为，再根据将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则两点关于原点对称，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵为等边三角形，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵将等边三角形绕点顺时针旋转得到， ∴两点关于原点对称， ∴． 故答案为：． 考点讲练一 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； (3)如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 【答案】(1)见解析 (2)，向下平移个单位长度 (3)，（或，或） 【分析】本题主要考查用坐标表示平移： （1）点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，所以可得点的坐标为，即，可得点的坐标为，即； （2）由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度； （3）可由沿射线的方向，经过一次平移得到，平移的距离为线段的长度． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． （3）解：可由沿射线的方向，经过一次平移得到． 因为， 所以平移的距离为个单位长度，平移方向是射线（或，或）的方向． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到．点A，B，C的对应点分别为D，O，E． (1)请在图中画出； (2)若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据点B的对应点为O找出平移规律，进而作图即可； （2）根据平移规律可知Q的坐标． 【详解】（1）解：点的对应点为， ∴将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到， 如图，即为所求； （2）解：∵将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到， ∴点P在内的对应点Q的坐标为． 考点讲练二 已知平移后的坐标求原坐标 【例2】（25-26八年级下·广西桂林·期中）在平面直角坐标系中，定义：把点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的点，叫做点P的相伴点． (1)直接写出点的相伴点坐标； (2)若点A的相伴点是，求点A的坐标； (3)若点的相伴点在y轴上，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据相伴点的定义，结合点的平移规律得到： 点的相伴点坐标为． （1）直接代入原坐标计算即可； （2）由相伴点反向推导点A的坐标； （3）先写出点B的相伴点坐标，再利用y轴上点的横坐标为0的性质求解． 【详解】（1）解 根据题意, 点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到相伴点，因此点的相伴点坐标为． 将代入得 ， 因此，点的相伴点坐标为． （2）设点的坐标为，则点的相伴点满足， 解得 ， 因此点的坐标为． （3）点 的相伴点坐标为，即， 因为点的相伴点在轴上, 轴上点的横坐标为 ， 可得 ， 解得． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于任意一点，将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点，称点为点的“2→3变换点”；反之，称为的逆变换点．若点的逆变换点为，则点的坐标为______；已知在一次函数图象上，为点的“2→3变换点”，过点与点的直线与直线垂直，的坐标为______． 【答案】 【分析】根据“2→3变换点”的定义，可求解点的坐标；根据点在一次函数上，设出坐标，由此可得的坐标，再根据垂直的条件联立求解即可． 【详解】解：①已知点的逆变换点为，逆变换是先向左平移个单位，再向下平移个单位． 设点的坐标为，根据逆变换规则可得： ， ， 所以点的坐标为． ②设点的坐标为， 因为点在一次函数的图象上， 所以， 点经过“变换”后得到点的坐标为， 将代入可得的坐标为， 已知过点与点的直线与直线垂直， 直线的斜率为，则过点与点的直线斜率为， 根据斜率公式，可得，即， 得：。解得：， 将代入的坐标中， 可得的横坐标为，纵坐标为， 所以的坐标为． 考点讲练三 平移综合题(几何变换) 【例3】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点，经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（__________，__________）（用含，的式子表示）； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查作图——平移变换，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移变换是解题的关键． （1）利用平移变化的性质分别作出点，，的对应点，，，再依次连接即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为， 故答案为：，； （3） = =． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； ； (2)点在上运动时，，点P在上运动时， (3)存在，或. 【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发5秒时，运动的距离为10个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为4， 即， 解得， 点的坐标为或， 考点讲练四 旋转中的规律性问题 【例4】（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 【变式】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长，观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴ ． 考点讲练五 坐标与旋转规律问题 【例5】（25-26八年级下·广东茂名·期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．若点经过“011011011…”共2026次变换后得到点，则的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律．根据题中所给变换方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为点的坐标为， 所以第1次变换后得到点的坐标为； 第2次变换后得到点的坐标为； 第3次变换后得到点的坐标为； 第4次变换后得到点的坐标为； 第5次变换后得到点的坐标为； 第6次变换后得到点的坐标为； 第7次变换后得到点的坐标为； ， 由此可见，点对应点的坐标按，，，，，循环出现， 又因为余4， 所以点的坐标为． 【变式】（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期中）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2026次旋转后，顶点的坐标为_______． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，根据正六边形每次旋转，旋转4次为一个周期可知，正六边形旋转了506个周期，经过2026次旋转后，点落在第三象限，根据旋转后的坐标变换规律即可求解． 【详解】解:在正六边形中，, ， 在中，， ， 点的坐标为， 正六边形关于直线对称， 点的坐标为， 余1， 正六边形经过2026次旋转后，相当于旋转了506个周期加2次，即逆时针旋转两次， 点的坐标为． 考点讲练六 线段问题(旋转综合题) 【例6】如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． (1)如图1，与有何关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； (3)将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)，，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意得到，，；，同时可以得到点在以为圆心，为直径的圆上，得出，； （2）成立，取中点，中点，连接、、、，证明，得到，，推出； （3）取中点，中点，中点，作，连接、、、，证明，得到，，证明，设，则，，求出， ，得到，继而得到． 【详解】（1）解：，，理由如下， ，是的中点， ， ， ， ， ； ， ， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， ， ； （2）解：成立，理由如下， 如图，取中点，中点，连接、、、， ，， ， 是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ,由旋转得， ， , ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，取中点，中点，中点，作，连接、、、， ，，，，，，， ，，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， 由旋转得， ， ， ， 设，则，， ， ，即， ， ， ， ， ． 【变式】（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与直线交于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点F在射线上，动点G、动点H分别在直线、直线上，连接、、、，当面积为6时，求周长的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线平移至处，再将绕点旋转一定角度时，点会与点C重合，记旋转过程中的为，在整个旋转过程中，直线分别与直线、x轴交于点N、K，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或或 【分析】（1）根据题意先求得点A和点B的坐标，从而得到，再根据已知条件求得点E的坐标和点D的坐标，最后利用待定系数法求得直线的解析式； （2）先求出点C的坐标，再设点，得到的表达式，再由的面积列出方程求得m的值，进而得到点F的坐标，紧接着利用轴对称的性质得到周长最小值为，利用勾股定理，等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边中线定理求得最终结果； （3）由旋转后与C重合可得到，从而证得是等边三角形，从而得到与A重合，此时分情况讨论：当和时，利用旋转求得每种情况下的长． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 又∵直线与直线交于点， 将代入直线中，得， ∴， ∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线与x轴交点C， ∴时，，即， 设点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵点G，H分别是直线，的动点， 如图，分别过点F作关于直线，的对称点和，连接，，，，，， ， ∴由轴对称的性质可知，，，， ∴周长为，当且仅当共线时取最小值， 在中，， 在中，， ， ∵， ∴， ∴共线， 同理，，， ∵， ∴， ∴共线， 连接， 在中，， ∴， ∴是等边三角形，即， 又∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， 由对称知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∵， ∴周长最小值为． （3）解：由（2）知是等边三角形，即， ∵沿射线平移至处， ∴，， ∵旋转后与C重合，连接， ∴， ∴是等边三角形，即，， ∴， ∴与A重合，如图， 此时， ∴， ∵，， ∴，， ①当第一次时，是以为腰的等腰三角形， ∴， ∴， ∴绕点旋转的角度是， ∴， 又∵，， ∴， ∴与重合，则、、重合，此时如图， ∴； ②当第一次时，是以为腰的等腰三角形， ∵， ∴， ∴绕点旋转的角度是， ∴， ∵， ∴， ∴与重合，即、重合，此时如图， ∴； ③当第二次时，是以为腰的等腰三角形，如图， ∴， ∴， ∴绕点旋转的角度是， ∴， ∵，， ∴， ∴与重合，则、、、重合， ∴此时不存在； ④当第三次时，是以为腰的等腰三角形，如图， 同③，、、、重合，此时不存在； ⑤当第二次时，是以为腰的等腰三角形， ∴， ∴绕点旋转的角度是， ∴， ∵， ∴， ∴与重合，即、重合，此时如图， ∴， 综上所述，的长为或或． 考点讲练七 面积问题(旋转综合题) 【例7】如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 【变式】已知和点在网格图中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． (1)将向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，请在网格图中作出； (2)接第（1）小问，将绕点顺时针旋转之后得到的，请在网格图中作出； (3)在上述信息下，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查平移，旋转，网格图中求三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平移的性质，作图即可； （2）根据旋转的性质，作图即可； （3）根据三角形的面积等于矩形的面积减去周围三角形的面积，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图，为所求作； （2）作图如图，为所求作； （3）如下图： ， ． 考点讲练八 角度问题(旋转综合题) 【例8】从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三等分线，显然一个角的三等分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三等分线． (1)如图1，若，，则___________； (2)如图2，若，，是的两条三等分线． ①求的度数； ②将绕点逆时针旋转度得到，当射线恰好是的三等分线时，求的值； (3)如图3，若，射线是的一条三等分线（射线在的上方），分别是和的角平分线，将绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三等分线，直接写出此时绕点旋转的时间． 【答案】(1)或； (2)①；②或； (3)，，或秒． 【分析】本题主要考查角的和差倍分运算，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键． （1）由是的一条三分等线，分类讨论，即可求解； （2）以O为中心，将逆时针旋转n度得到，当恰好是的三等分线时，分两种情况：当是的三等分线，且时；当是的三等分线，且时，分别求解即可； （3）由是的一条三等分线，，得或，分两种情况讨论：当时；当时，分别求出绕点O沿逆时针方向旋转的度数，进而即可求解． 【详解】（1）解：，是的一条三等分线， ，或， 或． （2）解：①∵，，是的两条三等分线 ∴ ②以O为中心，将逆时针旋转n度得到，当恰好是的三等分线时，分两种情况： 当是的三等分线，时，如图， ∴ ∴ ∴ 当是的三等分线，时，如图， ∴ ∴ 故答案为：或；． （3）解：是的一条三等分线，， 或， ，分别是与的平分线， ， 当时，如图， 或， 绕点O沿逆时针方向旋转或时，是的一条三等分线， （秒）或（秒）； 当时，如图， 或， 绕点O沿逆时针方向旋转或时，是的一条三等分线， （秒）或（秒）； 综上，绕点O沿逆时针方向旋转的时间是，，或秒． 【变式】已知：线段和点C，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，F为的中点，连接，． (1)如图1，点C在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点C在线段的上方，，请写出旋转角的度数，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由题意画出图形即可，延长，交的延长线于点，理由平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到．再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （2）画出图形，延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，证明，然后推出，证明，推出为等腰直角三角形，即可解答 【详解】（1）解：补全图形 如图： 延长，交的延长线于点， 由题意：，， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 即． ， ． ； （2）解：，理由如下： 延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，如图， 根据（1）中原理可得， ，， ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 则． 考点讲练九 其他问题(旋转综合题) 【例9】（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，，点D在线段上，点E在射线上，． 【探究发现】 （1）如图1，当点E在线段上时，猜想线段的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】 （2）如图2，若点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，点D，E在边上，，，，求的面积． 【答案】（1）（2）（1）中的结论成立，（3） 【分析】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【详解】（1）． 证明：如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， 由（1）可知：， （3）∵， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 【变式】如图①，在等腰直角三角形中，，D，E分别为的中点，F为线段上一动点（不与D，E重合），将线段绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)求证：． (2)如图②，连接，交于点H． ①证明：在点F的运动过程中，总有； ②若，直接写出当的长度是多少时，为为等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②1或 【分析】（1）由旋转的性质得：，，推出，是等腰直角三角形，得到，根据即可证明； （2）①证明，进一步可得结果；②分为，此时，进而求得结果；当时，推出，从而求得结果；当时，点F的点E重合，不合题意． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，， ，即， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ； （2）①证明：∵点D是的中点，点E是的中点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理（1）得，， ， ； ②解：由题意得：， ， 如图1，    当时，，， ， ， ； 如图2， 当时，， ， ， ， ， ， ； 当时，， ， 此时F点和E点重合，不符合题意， 综上所述：或1时，是等腰三角形． 考点讲练十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例10】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度．正方形和长方形的顶点均在格点上．正方形经过一次平移得到正方形，且的坐标是． (1)画出正方形，并写出平移方向和平移距离； (2)求出平移过程中正方形扫过的面积； (3)知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分．正方形和长方形组成一个L形图，请你在图中画一条直线将L形图分为面积相等的两部分． 【答案】(1)图见解析，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 (2) (3)见解析 【分析】（1）先由图得出正方形各顶点坐标，再根据的对应点的坐标是，确定平移方向和平移距离，再得出其他对应点的坐标即可； （2）先得出平移过程中正方形扫过的区域为长方形，再利用两点间的距离公式得出，，即可解答； （3）通过连接对角线，得出长方形的对称中心和正方形的对称中心，再过两对称中心作直线即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，，， 经过平移，的对应点的坐标是， 平移方向和平移距离为：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ，，， 如图所示， 正方形即为所求． （2）解：如图，连接， 则平移过程中正方形扫过的区域为长方形， ，，， ，， 长方形的面积为． 答：平移过程中正方形扫过的面积为． （3）解：如图， 连接，，交点即为长方形的对称中心；连接，，交点即为正方形的对称中心；过长方形的对称中心和正方形的对称中心的直线，即可将L形图分为面积相等的两部分． 【变式】如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 考点讲练十一 中心对称图形规律问题 【例11】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 考点讲练十二 已知两点关于原点对称求参数 【例12】（2026·四川绵阳·二模）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据对称点的位置确定点所在象限， 再根据象限内点的坐标特征列不等式组求解即可. 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：. 【变式】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标符号规律，根据点在第三象限，结合原点对称的坐标特征确定点所在象限，进而列出不等式组求解的取值范围． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且点在第三象限， ∴根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，以及第三象限内点的横、纵坐标均为负数，可知点在第一象限， ∴点的横、纵坐标均为正数，由此列出不等式组： ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是． 1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，根据规律逐步计算即可得到答案． 已知点的坐标为， 向下平移个单位，纵坐标需要减， 平移后纵坐标为， 再向左平移个单位，横坐标需要减， 平移后横坐标为， 最终得到的点的坐标是， 故选B． 3．（25-26八年级下·四川巴中·期中）有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 花圃长米，宽米，道路宽米， 种花部分可拼接为长（米），宽（米）的长方形， 种花的面积是（平方米）． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将沿方向平移至的位置，，点E在边上，交于点H，已知，图中阴影部分的面积为54，，则平移距离为______． 【答案】6 【分析】根据平移的性质可得 ，从而得出阴影部分的面积等于梯形 的面积，利用梯形面积公式即可求解． 【详解】 解：由平移知， ，，， ． ，， ． ， ． ，， 四边形 为直角梯形， ． 阴影部分的面积为 ， ． 解得 ． 平移距离为6 ． 5．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 【答案】 【分析】由题意可得，从而得出，即，进而得出平移方式，由此即可得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵点O的对应点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴将沿x轴向右平移个单位长度，得到， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 6．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【答案】8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 7．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 【答案】85 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点） (2)画出将绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．（点A、B、C的对应点分别为点） 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，△即为所求． （2）解：如图，△即为所求． ． 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分交于点，将沿的方向平移，点移至点的位置，得到，与相等吗？请说明理由． 【答案】，理由如下见解析 【分析】利用平移的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质证明． 【详解】解：，理由如下： 由平移变换的性质可知，， ， 平分， ， ． 10．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． (1)将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． (2)将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． (3)若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特征，找出点、的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合网格特征，找出点、、的对应点，顺次连接即可； （3）由旋转的性质及中心对称的定义得出点与关于原点中心对称，根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数即可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如（1）中图，即为所求． （3）解：∵将绕原点旋转，点的对应点为，， ∴点与关于原点中心对称， ∴的坐标为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $