第二章 不等式与不等式组【期末复习讲义（提高版）二十大高频考点讲练】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二章 不等式与不等式组『期末复习精编讲义』（提高版） 『思维导图+知识梳理+20个题型讲练+真题实战练 共50题』（原卷版） 2 知识梳理 温故知新 3 知识点梳理01：不等式 3 知识点梳理02：一元一次不等式 3 知识点梳理03：一元一次不等式组 4 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 4 考点讲练 真题汇总 5 题型讲练一 求一元一次不等式的解集 5 题型讲练二 在数轴上表示不等式的解集 5 题型讲练三 求一元一次不等式的整数解 6 题型讲练四 求一元一次不等式解的最值 6 题型讲练五 解|x|≥a型的不等式 7 题型讲练六 用一元一次不等式解决实际问题 8 题型讲练七 用一元一次不等式解决几何问题 9 题型讲练八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10 题型讲练九 根据两条直线的交点求不等式的解集 11 题型讲练十 求不等式组的解集 12 题型讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 12 题型讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 13 题型讲练十三 不等式组和方程组结合的问题 14 题型讲练十四 不等式组的行程问题 15 题型讲练十五 不等式组的工程问题 17 题型讲练十六 不等式组的经济问题 18 题型讲练十七 不等式组的分配问题 19 题型讲练十八 不等式组的方案选择问题 20 题型讲练十九 不等式组的阶梯收费问题 21 题型讲练二十 一元一次不等式组的其他应用 22 优选真题 实战演练 23 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 题型讲练一 求一元一次不等式的解集 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式：． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式：． 题型讲练二 在数轴上表示不等式的解集 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）解不等式并把它的解集表示在数轴上． (1) (2) 题型讲练三 求一元一次不等式的整数解 【例3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值？ 题型讲练四 求一元一次不等式解的最值 【例4】（2023·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【变式】已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 题型讲练五 解|x|≥a型的不等式 【例5】（23-24七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【变式】观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 题型讲练六 用一元一次不等式解决实际问题 【例6】（25-26八年级下·江西九江·期中）年，江西明确提出要加快江西农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商发展．一农企积极响应政策，在电商平台主推两款特色农产品：赣南脐橙和南丰蜜橘．经市场调研得知，一箱赣南脐橙比一箱南丰蜜橘贵元，某日线上订单显示卖出箱赣南脐橙和箱南丰蜜橘，总销售额为元． (1)求一箱赣南脐橙和一箱南丰蜜橘的售价各是多少元； (2)平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于元，且赣南脐橙的销量为南丰蜜橘的倍，求南丰蜜橘至少需要卖出多少箱． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）陕西茯茶距今已有近千年历史．该茶茶体紧结，色泽黑褐油润，茶汤橙红透亮，滋味醇厚悠长．某茯茶特产专卖店计划采购A规格茯茶和B规格茯茶共50盒，若甲、乙两商店销售这两种规格茯茶的零售价相同，其中A规格茯茶的零售价为150元/盒，B规格茯茶的零售价为100元/盒．为促进消费，甲、乙两商店均推出不同的优惠方案： 甲店：A规格茯茶按零售价打8折销售，B规格茯茶按零售价销售； 乙店：A，B两种规格茯茶均按零售价打9折销售． 设购进A规格茯茶x盒，在甲店采购的总费用为元，在乙店采购的总费用为元．（两种规格茯茶只能从同一家商店购买） (1) ， ；（用含x的代数式表示） (2)若该专卖店至少采购A规格茯茶16盒，请你帮采购人员算一算，去哪家商店采购这两种规格的茯茶更合算？ 题型讲练七 用一元一次不等式解决几何问题 【例7】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【变式】（25-26八年级上·广东汕头·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 题型讲练八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例8】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数，当时，． (1)求这个一次函数的解析式，并画出此函数的图象； (2)点是此函数图象上的一点．若，求n的取值范围． 【变式】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)在平面直角坐标系中画出该一次函数的图像； (2)直接写出不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 题型讲练九 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例9】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【变式】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图像交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)结合图像直接写出：的解集． 题型讲练十 求不等式组的解集 【例10】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）解不等式组： 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 题型讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 【例11】（25-26八年级下·江西九江·期中）解不等式组，并求出它所有整数解的和． 【变式】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）解不等式组：，并求它的最小整数解． 题型讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 【例12】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）一中在向你招手，加油！在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 (1)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是______； (2)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； (3)点关于x轴和y轴的“一中对称点”满足点到y轴的距离等于点F到x轴距离，直接写出x的值； (4)若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围； 【变式】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 题型讲练十三 不等式组和方程组结合的问题 【例13】（25-26八年级下·广东揭阳·期中）根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 题型讲练十四 不等式组的行程问题 【例14】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以 的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 【变式】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 题型讲练十五 不等式组的工程问题 【例15】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【变式】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 题型讲练十六 不等式组的经济问题 【例16】（25-26八年级下·广东梅州·期中）综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【变式】（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 题型讲练十七 不等式组的分配问题 【例17】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）某公司有甲种原料260，乙种原料270，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件，生产每件A种产品需甲种原料8，乙种原料5，可获利润900元；生产每件B种产品需要甲种原料4，乙种原料9，可获利润1100元． (1)按此要求安排生产A、B两种产品的件数共有哪几种方案？请你设计出来． (2)请说明第（1）题的方案中，哪种方案的利润最大？ 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 题型讲练十八 不等式组的方案选择问题 【例18】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测） “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． (1)求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ (2)若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 题型讲练十九 不等式组的阶梯收费问题 【例19】已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【变式】为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 题型讲练二十 一元一次不等式组的其他应用 【例20】（25-26八年级下·四川成都·期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 【变式】某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共100套进行销售，已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 1．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西抚州·期中）已知：，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图是关于x的不等式组的解集在数轴上的表示，则不等式组的解集为______． 5．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）若，则______．（填“”，“”或“”） 6．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，直线和直线相交于点，当时，x的取值范围是___． 7．（25-26八年级下·重庆·期中）代数式有意义时，x应满足的条件是______． 8．（25-26八年级下·江西九江·期中）按要求完成以下问题 (1)解不等式： (2)如图，在和中，，，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． (3) 9．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 10．（25-26八年级下·江西抚州·期中）解不等式或不等式组 (1)解不等式：． (2)解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二章 不等式与不等式组『期末复习精编讲义』（提高版） 『思维导图+知识梳理+20个题型讲练+真题实战练 共50题』（解析版） 2 知识梳理 温故知新 3 知识点梳理01：不等式 3 知识点梳理02：一元一次不等式 3 知识点梳理03：一元一次不等式组 4 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 4 考点讲练 真题汇总 5 题型讲练一 求一元一次不等式的解集 5 题型讲练二 在数轴上表示不等式的解集 5 题型讲练三 求一元一次不等式的整数解 6 题型讲练四 求一元一次不等式解的最值 7 题型讲练五 解|x|≥a型的不等式 8 题型讲练六 用一元一次不等式解决实际问题 10 题型讲练七 用一元一次不等式解决几何问题 12 题型讲练八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 14 题型讲练九 根据两条直线的交点求不等式的解集 17 题型讲练十 求不等式组的解集 19 题型讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 20 题型讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 20 题型讲练十三 不等式组和方程组结合的问题 23 题型讲练十四 不等式组的行程问题 25 题型讲练十五 不等式组的工程问题 28 题型讲练十六 不等式组的经济问题 30 题型讲练十七 不等式组的分配问题 31 题型讲练十八 不等式组的方案选择问题 33 题型讲练十九 不等式组的阶梯收费问题 35 题型讲练二十 一元一次不等式组的其他应用 38 优选真题 实战演练 40 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 题型讲练一 求一元一次不等式的解集 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式：． 【答案】 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以3，得． 题型讲练二 在数轴上表示不等式的解集 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；解集在数轴上表示见解析 【分析】根据移项、合并同类项、系数化为步骤依次求解即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解集在数轴上表示如图所示． 【变式】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）解不等式并把它的解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【详解】（1）解： 移项得， 解得， 数轴表示如下： （2）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，， 数轴表示如下： 题型讲练三 求一元一次不等式的整数解 【例3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【答案】；非负整数解有 【分析】先求解不等式，即可找到所有非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集为， 它的所有非负整数解为． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值？ 【答案】代数式的值为 【分析】先解一元一次不等式得到解集，找出最小整数解，将最小整数解代入方程求出的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∴不等式的最小整数解为， 把代入方程得， 化简得， 解得， 把代入得， ∴代数式的值为． 题型讲练四 求一元一次不等式解的最值 【例4】（2023·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)的最小整数值为 【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案； （2）根据题意求出，由得到，解不等式求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：由题意得到，， 故答案为：， （2）由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴的最小整数值为． 【变式】已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 题型讲练五 解|x|≥a型的不等式 【例5】（23-24七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 【变式】观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查求不等式的解集，熟练掌握题干中的求解方法，是解题的关键： （1）仿照题干，作答即可； （2）仿照题干，作答即可； （3）利用（2）中结论，得到①或②，进行求解即可． 【详解】（1）解：的解集是或； （2）当时，不等式的解集是或； （3）由（2）可知，不等式， 可化为①或②， 解①得，，解②得，． 故不等式的解集为：或． 题型讲练六 用一元一次不等式解决实际问题 【例6】（25-26八年级下·江西九江·期中）年，江西明确提出要加快江西农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商发展．一农企积极响应政策，在电商平台主推两款特色农产品：赣南脐橙和南丰蜜橘．经市场调研得知，一箱赣南脐橙比一箱南丰蜜橘贵元，某日线上订单显示卖出箱赣南脐橙和箱南丰蜜橘，总销售额为元． (1)求一箱赣南脐橙和一箱南丰蜜橘的售价各是多少元； (2)平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于元，且赣南脐橙的销量为南丰蜜橘的倍，求南丰蜜橘至少需要卖出多少箱． 【答案】(1) 一箱赣南脐橙售价元，一箱南丰蜜橘售价元 (2) 南丰蜜橘至少需要卖出箱 【分析】（1）根据“单价差”和“总销售额”两个等量关系设未知数列方程求解单价； （2）根据总销售额的要求，设未知数列不等式求解，结合箱数为正整数得到最小销量． 【详解】（1）解：设一箱南丰蜜橘售价为元，一箱赣南脐橙售价为元， 根据题意可得，，解得； 答：一箱赣南脐橙售价元，一箱南丰蜜橘售价元； （2）解：设南丰蜜橘需要卖出箱，则赣南脐橙卖出箱， 根据题意得：， 整理得， 解得， 的最小值为． 答：南丰蜜橘至少需要卖出箱． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）陕西茯茶距今已有近千年历史．该茶茶体紧结，色泽黑褐油润，茶汤橙红透亮，滋味醇厚悠长．某茯茶特产专卖店计划采购A规格茯茶和B规格茯茶共50盒，若甲、乙两商店销售这两种规格茯茶的零售价相同，其中A规格茯茶的零售价为150元/盒，B规格茯茶的零售价为100元/盒．为促进消费，甲、乙两商店均推出不同的优惠方案： 甲店：A规格茯茶按零售价打8折销售，B规格茯茶按零售价销售； 乙店：A，B两种规格茯茶均按零售价打9折销售． 设购进A规格茯茶x盒，在甲店采购的总费用为元，在乙店采购的总费用为元．（两种规格茯茶只能从同一家商店购买） (1) ， ；（用含x的代数式表示） (2)若该专卖店至少采购A规格茯茶16盒，请你帮采购人员算一算，去哪家商店采购这两种规格的茯茶更合算？ 【答案】(1)， (2)当时，去甲、乙两家店采购的费用一样；当时，去乙店采购更合算；当时，到甲店采购更合算 【分析】（1）根据甲店，乙店的优惠方式分别列代数式即可； （2）分， ，，再利用方程或不等式求解即可. 【详解】（1）解：∵甲店：A规格茯茶按零售价打8折销售，B规格茯茶按零售价销售； ∴， ∵乙店：A，B两种规格茯茶均按零售价打9折销售， ∴. （2）解：由，得，解得． 由，得，解得． 由，得，解得． 因为该专卖店至少采购A规格茯茶16盒，且计划购进A规格茯茶和B规格茯茶共50盒， 所以当时，去甲、乙两家店采购的费用一样；当时，去乙店采购更合算；当时，到甲店采购更合算． 题型讲练七 用一元一次不等式解决几何问题 【例7】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形是“2倍角三角形” (2)①的度数为；② 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质、一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解新定义是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质并结合“2倍角三角形”的定义求解即可； （2）①根据“2倍角三角形”的定义分为两种情况：或，然后判断求解即可； ②设（为另一个内角），则第三个内角为，根据锐角三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、， 则其中， ∴符合“2倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”； （2）解：①∵， ∴， ∵是“倍角”，则或， 当时，设， 则 解得， ∴； 当时，则（舍去）， 综上所述，的度数为； ②设（为另一个内角），则第三个内角为． ∵是锐角三角形，三个内角均小于， ∴且且， ∴且且， ∴， ∵， ∴． 【变式】（25-26八年级上·广东汕头·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 题型讲练八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例8】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数，当时，． (1)求这个一次函数的解析式，并画出此函数的图象； (2)点是此函数图象上的一点．若，求n的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）求出时的函数值，根据图象，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵一次函数，当时，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，， 画出函数图象如图： （2）解：由（1）可知，当时，，随着的增大而减小， ∵点是此函数图象上的一点， ∴． 【变式】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)在平面直角坐标系中画出该一次函数的图像； (2)直接写出不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用描点法画出一次函数图象即可； （2）利用待定系数法求出一次函数解析式，求出与轴的交点坐标，即可得出不等式的解集； （3）求出该一次函数图象与直线的交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵，， ∴一次函数的图象如图所示： （2）解：∵，， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴该一次函数与轴的交点坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集为． （3）解：联立该一次函数解析式与得，， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集为． 题型讲练九 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例9】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入得出，然后再代入进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得， 设点，进而建立方程进行求解即可； （3）根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴点在线段上， ∴， 设点， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由图象可知：不等式的解集为． 【变式】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图像交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)结合图像直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入，求出的值，待定系数法求出函数解析式即可； （2）直接利用图像法进行求解即可. 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴， 把，代入，得： ，解得， ∴； （2）解：由图像可知：的解集为. 题型讲练十 求不等式组的解集 【例10】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求解一元一次不等式的解，由此求解解集即可． 【详解】解：不等式组：， 解不等式，则有，解得， 解不等式，则有，解得， ∴该不等式组的解集为． 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 【答案】，表示解集见解析． 【详解】解：由①得， 由②得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 题型讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 【例11】（25-26八年级下·江西九江·期中）解不等式组，并求出它所有整数解的和． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解的和为 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，找出范围内的所有整数解，计算它们的和即可． 【详解】解：解不等式，， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得； 解不等式，， 两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，，，， 所有整数解的和为． 【变式】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）解不等式组：，并求它的最小整数解． 【答案】原不等式组的解集为，最小整数解为． 【详解】解：， 由不等式①得， 由不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴该不等式组的最小整数解为． 题型讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 【例12】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）一中在向你招手，加油！在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 (1)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是______； (2)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； (3)点关于x轴和y轴的“一中对称点”满足点到y轴的距离等于点F到x轴距离，直接写出x的值； (4)若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据“一中对称点”的定义求解即可； （2）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求列方程组求解即可； （3）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求列方程求解即可； （4）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求不等式组求解，最后根据“满足条件的x的整数解恰有两个”确定m的取值范围即可． 【详解】（1）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； （2）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， 又∵的坐标是， ∴， ∴； （3）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， ∵点到y轴的距离等于点F到x轴距离， ∴， 解得：或； （4）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， ∵在第三象限， ∴， 解得：， ∴， ∵满足条件的x的整数解恰有两个， ∴， 解得：． 【变式】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将关于，的方程组中两个方程相加得到，再由题意列出关于的不等式求解即可； （2）先解不等式组中不含参数的不等式解集，再由不等式组解集情况求解含参数的不等式，最后结合（1）中的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①②得， 则， ， ，解得； （2）解：， 解②得， 不等式组的解集为， 对于不等式①解集，只有当时，才有， 则， 取正整数， 或， 由（1）知，则． 题型讲练十三 不等式组和方程组结合的问题 【例13】（25-26八年级下·广东揭阳·期中）根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程组的两个方程相加，得到关于和的关系式，再将用含的式子表示出来，最后代入，解这个一元一次不等式组得到的取值范围． （2）先对不等式进行变形整理，根据不等式的性质，可知未知数的系数小于0，由此得到关于的不等式，结合（1）中的取值范围，确定符合条件的整数． 【详解】（1）仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：， 得 ，进而， 已知， 代入得：， 不等式三边同时减1，得； （2）整理不等式，即， 因为不等式的解集为， 不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得． 结合（1）中的范围，得，其中整数为． 题型讲练十四 不等式组的行程问题 【例14】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以 的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查从函数图象中获取信息以及不等式组的求解，关键是通过计算汽车到达各路口的时间，结合绿灯亮灯时间段判断能否通过，并通过不等式组求解速度范围． （1）先计算汽车到达、路口的时间，再结合各路口绿灯的亮起和熄灭时间，判断对应时间是否处于绿灯区间； （2）根据、路口的绿灯时间段，列出汽车到达时间的不等式组，求解不等式组的交集得到速度的取值范围． 【详解】（1）解：汽车速度为，到路口的时间，到路口的时间． 从图2的路段的交通信号示意图可以看出，时路口为绿灯，可通过， 时路口处于红灯，不可通过； 综上，汽车不能一路绿灯通过路口和路口； （2）解：汽车速度为()，则到路口的时间，到路口的时间，且，， 路口的绿灯时间段为，路口的绿灯时间段为、等． 要一路绿灯通过，需在的绿灯区间且在的绿灯区间， 因此列不等式组：或， 解不等式①得，解不等式②得； ∴第一个不等式组①无解； 解不等式③得，解不等式④得， ∴第二个不等式组的解集为． 答：若想一路绿灯匀速通过、两个路口，速度的取值范围为． 【变式】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 题型讲练十五 不等式组的工程问题 【例15】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 【变式】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 题型讲练十六 不等式组的经济问题 【例16】（25-26八年级下·广东梅州·期中）综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【答案】(1)奖品的单价是元，奖品的单价是元； (2)，最少费用w的值是1125元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定最少费用的值． 【详解】（1）解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； （2）解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 【变式】（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 题型讲练十七 不等式组的分配问题 【例17】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）某公司有甲种原料260，乙种原料270，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件，生产每件A种产品需甲种原料8，乙种原料5，可获利润900元；生产每件B种产品需要甲种原料4，乙种原料9，可获利润1100元． (1)按此要求安排生产A、B两种产品的件数共有哪几种方案？请你设计出来． (2)请说明第（1）题的方案中，哪种方案的利润最大？ 【答案】(1)①A产品23件，B产品17件；②A产品24件，B产品16件；③A产品25件，B产品15件 (2)方案③利润最大 【分析】（1）设生产A产品x件，B产品件，然后列出不等式组并求出它的解集，由此可确定出具体方案； （2）根据题意得到利润的表达式，再根据一次函数的性质得到最值即可． 【详解】（1）解：设生产A产品x件，B产品件，根据题意得： ， 解得 ， 方案：①A产品23件，B产品17件； ②A产品24件，B产品16件； ③A产品25件，B产品15件； （2）设利润为，则， ， 随的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，利润最大；即方案③利润最大． 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 题型讲练十八 不等式组的方案选择问题 【例18】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测） “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． (1)求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ (2)若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】(1)每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元 (2)有2种购买方案，详见解析 【分析】（1）设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》，根据题意列出不等式组求出的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元； （2）解：设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该学校共有2种购买方案， 方案1：购买25本《西游记》，45本《骆驼祥子》； 方案2：购买26本《西游记》，46本《骆驼祥子》． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元 (2)共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 题型讲练十九 不等式组的阶梯收费问题 【例19】已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 【变式】为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 题型讲练二十 一元一次不等式组的其他应用 【例20】（25-26八年级下·四川成都·期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 【答案】(1) (2)购进60千克甲种蔬菜、40千克乙种蔬菜时利润最大，最大利润为520元 【分析】（1）根据购买甲、乙两种蔬菜的金额列出二元一次方程组，求解m和n的值即可． （2）设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜为千克，根据投入资金范围列出不等式组，求解x的取值范围，得到购买方案；利润函数为一次函数，根据系数判断增减性，从而找到最大利润即可． 【详解】（1）解：根据题意，得方程组： ， 解得； ∴． （2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克， 投入资金为：， ∵投入资金不少于1160元又不多于1168元， ∴，即， 解得， x为正整数，即， 购买方案： 方案1：甲58千克，乙42千克； 方案2：甲59千克，乙41千克； 方案3：甲60千克，乙40千克； 设利润y元， 则利润， ∵，即y随x增大而增大， 当时，利润y最大为． 答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元． 【变式】某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共100套进行销售，已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) 每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元 (2) 购进乒乓球拍34套、羽毛球拍66套时获利最大，最大利润为2990元 【分析】（1）设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元，根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．再建立方程组解题即可； （2）设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套，根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，求解的范围，再建立一次函数求解即可． 【详解】（1）解：设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元． 根据题意，得， 解得， 答：每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元． （2）解：设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套． 根据题意，得且 解得：， 设获利W元，则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵且m为非负整数， ∴当时W值最大，最大利润为（元）， （套）． 答：购进乒乓球拍34套、羽毛球拍66套才能使这批体育用品全部售完时获利最大，最大利润为元． 1．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式组无解即两个不等式的解集没有公共部分，据此确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：当时，不存在x同时满足和，不等式组无解， 因此m的取值范围是． 2．（25-26八年级下·江西抚州·期中）已知：，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可，不等式两边加(减)同一个数，不等号方向不变，不等式两边乘(除以)同一个正数，不等号方向不变，不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：对选项A，∵，∴，A不成立； 对选项B，∵，∴，可得，B不成立； 对选项C，∵，∴，C不成立； 对选项D，∵，∴，D一定成立． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图是关于x的不等式组的解集在数轴上的表示，则不等式组的解集为______． 【答案】 【详解】解：由数轴可得不等式组的解集为. 5．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）若，则______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】已知，给不等式两边同乘负数，根据不等式性质判断不等号方向即可得到结果． 【详解】解：， ∴根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变，即． 6．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，直线和直线相交于点，当时，x的取值范围是___． 【答案】/ 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是． 7．（25-26八年级下·重庆·期中）代数式有意义时，x应满足的条件是______． 【答案】 【详解】解：∵有意义时， ∴， 解得：． 8．（25-26八年级下·江西九江·期中）按要求完成以下问题 (1)解不等式： (2)如图，在和中，，，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． (3) 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）先由得到，即可利用证明． 【详解】（1）解： 解得 ∴不等式的解集为； （2）证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 9．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，正整数解为1、2、3、4 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到两个解集后取公共部分得到不等式组的解集，再从中找出所有正整数即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 ， ∴不等式组的所有正整数解为1、2、3、4． 10．（25-26八年级下·江西抚州·期中）解不等式或不等式组 (1)解不等式：． (2)解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出． 【答案】(1) (2)，数轴见详解 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法求解不等式即可 （2）根据一元一次不等式组的解法，先分别求解每个不等式，再找出它们解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， ，得 得，得． （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $