第三章 图形的平移和旋转【期末复习讲义（提高版）十二大高频考点讲练】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 图形的平移和旋转『期末复习精编讲义』（提高版） 『思维导图+知识梳理+12个题型讲练+真题实战练 共46题』（原卷版） 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 平移变换 4 知识点二 旋转变换 4 知识点三 中心对称与图案设计 4 考点讲练 真题汇总 5 题型讲练一 平移综合题(几何变换) 5 题型讲练二 坐标系中的平移 7 题型讲练三 旋转中的规律性问题 8 题型讲练四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 9 题型讲练五 坐标与旋转规律问题 10 题型讲练六 线段问题(旋转综合题) 11 题型讲练七 面积问题(旋转综合题) 13 题型讲练八 角度问题(旋转综合题) 15 题型讲练九 其他问题(旋转综合题) 16 题型讲练十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 18 题型讲练十一 中心对称图形规律问题 19 题型讲练十二 已知两点关于原点对称求参数 20 优选真题 实战演练 20 知识点一 平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点拨】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点拨】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移：平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点拨】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点二 旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点拨】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点三 中心对称与图案设计 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点拨】中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点拨】 中心对称作图步骤： ① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. ② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 题型讲练一 平移综合题(几何变换) 【例1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，．将三角形先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到三角形，其中点，，分别为点，，的对应点． (1)在图中画出三角形，写出点的坐标______； (2)三角形的面积是______； (3)将线段沿某个方向平移后得到线段，点的对应点为，那么点的对应点的坐标为______（用含的式子表示）． 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为． (1)将点向右和向下各平移一个单位所得的点的坐标为________ (2)点关于轴的对称点的坐标为________；线段的长为________； (3)在平面直角坐标系中标出点，所在位置，并求出四边形的面积． 题型讲练二 坐标系中的平移 【例2】（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 【变式1】已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 【变式2】（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图是淇淇绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎园”的坐标为，“两栖动物馆”的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标； (2)淇淇发现，从景点“飞禽馆”先向左走2个单位长度，再向上走3个单位长度，便到了景点“大象馆”的位置． ①请在图中描出景点“大象馆”的位置，并写出其坐标； ②景点“大象馆”到“南门”的距离为___________个单位长度． 题型讲练三 旋转中的规律性问题 【例3】李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则______． 【变式2】下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 题型讲练四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例4】（25-26八年级下·安徽宿州·期中）将绕原点旋转，再向右平移个单位长度得到点坐标为______． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为___________． 【变式2】（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系内，点是坐标原点，点的坐标如图所示， (1)求直线的函数表达式； (2)将直线绕着点逆时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式； (3)将直线绕着点顺时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式． 题型讲练五 坐标与旋转规律问题 【例5】（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是等边三角形，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，，依此类推，则旋转次后得到的等边三角形的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 题型讲练六 线段问题(旋转综合题) 【例6】如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【变式1】问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用： (1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________． (2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值． 【变式2】在等边中，，点是上的定点，点是上的动点，绕点逆时针旋转恰好落在上，已知，则此时____． 题型讲练七 面积问题(旋转综合题) 【例7】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在网格中建立平面直角坐标系，在网格中，点，，坐标分别为，， (1)画出关于原点成中心对称的并写出点的坐标； (2)求四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出关于原点成中心对称的，写出点的坐标为______； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并求出的面积． 题型讲练八 角度问题(旋转综合题) 【例8】将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为_____ 【变式1】【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【变式2】如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 题型讲练九 其他问题(旋转综合题) 【例9】如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的 ，并直接写出点的坐标； (2)绕点C逆时针方向旋转90°得到 ，按要求作出图形； (3)如果 通过旋转可以得到 ，请直接写出旋转中心P的坐标． 【变式2】如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点B旋转． (1)如图1，若A、M、N三点共线． ①若，，求． ②若，求点C到直线的距离； (2)如图2，连接、，点H为线段的中点，连接．求证：． 题型讲练十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例10】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 【变式1】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 【变式2】（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）解答以下问题： (1)解不等式：． (2)如图，与关于点成中心对称，，，，求的长． 题型讲练十一 中心对称图形规律问题 【例11】（2026·江西宜春·一模）如图，小明用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.2，则的值是______． 【变式1】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是__________． 题型讲练十二 已知两点关于原点对称求参数 【例12】（25-26八年级下·湖南永州·期中）若点与点关于原点成中心对称，则________． 【变式1】（2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为____． 1．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建宁德·期中）将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，点O为坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是__________． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接，，，将沿着方向平移6个单位长度到，则点坐标是_____． 7．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 8．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． (1)画出以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； (2)画出关于原点O对称的． 9．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 图形的平移和旋转『期末复习精编讲义』（提高版） 『思维导图+知识梳理+12个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 平移变换 3 知识点二 旋转变换 4 知识点三 中心对称与图案设计 4 考点讲练 真题汇总 5 题型讲练一 平移综合题(几何变换) 5 题型讲练二 坐标系中的平移 10 题型讲练三 旋转中的规律性问题 13 题型讲练四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 15 题型讲练五 坐标与旋转规律问题 18 题型讲练六 线段问题(旋转综合题) 21 题型讲练七 面积问题(旋转综合题) 27 题型讲练八 角度问题(旋转综合题) 32 题型讲练九 其他问题(旋转综合题) 37 题型讲练十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 41 题型讲练十一 中心对称图形规律问题 43 题型讲练十二 已知两点关于原点对称求参数 46 优选真题 实战演练 47 知识点一 平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点拨】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点拨】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移：平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点拨】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点二 旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点拨】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点三 中心对称与图案设计 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点拨】中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点拨】 中心对称作图步骤： ① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. ② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 题型讲练一 平移综合题(几何变换) 【例1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 【详解】（1）已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； （2）解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； （3）由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，．将三角形先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到三角形，其中点，，分别为点，，的对应点． (1)在图中画出三角形，写出点的坐标______； (2)三角形的面积是______； (3)将线段沿某个方向平移后得到线段，点的对应点为，那么点的对应点的坐标为______（用含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析， (2)3 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到三角形，然后作图，即可得出答案． （2）根据平移前后三角形面积不改变，利用三角形的面积公式计算三角形的面积即可． （3）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可画图： ∴； （2）解：由题可得，平移前后三角形面积不变， ∴； （3）解：∵点的对应点为， ∴点的对应点的纵坐标为，横坐标为， ∴； 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为． (1)将点向右和向下各平移一个单位所得的点的坐标为________ (2)点关于轴的对称点的坐标为________；线段的长为________； (3)在平面直角坐标系中标出点，所在位置，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，平移变换，轴对称变换，的知识，解题的关键熟知平移前后对应点的坐标关系及关于坐标轴对称的点的坐标关系，进行解答，即可． （1）根据上（下平移横坐标不变，纵坐标增大（减小），左（右平移，纵坐标不变，横坐标减小（增大）即可解决问题； （2）根据点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可； （3）连接，，，，，根据四边形的面积为：，即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴当点向右和向下各平移一个单位所得的点的坐标为：； 故答案为：． （2）解：∵点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标为， ∴； 故答案为：；． （3）解：点，，，如图所示，连接，，，，； ∴四边形的面积为：． 题型讲练二 坐标系中的平移 【例2】（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，见解析 (2)x (3)或 【分析】（1）由点在坐标系中的位置直接写出坐标，由点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3得到，在图中标出，连接即可得到； （2）由关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据题意，过点作，且，如图所示，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为，由题可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 【变式1】已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】或 【分析】解决本题的关键是进行分类讨论，在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点的纵坐标相同，可求点B的纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可得点B的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴点B纵坐标与点A纵坐标相同， 又∵，可能右移，横坐标为； 可能左移横坐标为， ∴点B的坐标为或． 【变式2】（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图是淇淇绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎园”的坐标为，“两栖动物馆”的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标； (2)淇淇发现，从景点“飞禽馆”先向左走2个单位长度，再向上走3个单位长度，便到了景点“大象馆”的位置． ①请在图中描出景点“大象馆”的位置，并写出其坐标； ②景点“大象馆”到“南门”的距离为___________个单位长度． 【答案】(1)见详解；景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标分别为， (2)①见详解；景点“大象馆”的坐标为；②7 【分析】（1）根据“东北虎园”的坐标和“两栖动物馆”的坐标建立直角坐标系，然后再写出直角坐标系中“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标即可． （2）①根据点的平移描出景点“大象馆”的位置，再写出其坐标即可． ②根据点的平移求解即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： ∴景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标分别为，． （2）解：①景点“大象馆”的位置如图所示： 景点“大象馆”的坐标为． ②由景点“大象馆”到“南门”的距离为7个单位长度． 题型讲练三 旋转中的规律性问题 【例3】李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长，观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴ ． 【变式2】下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 题型讲练四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例4】（25-26八年级下·安徽宿州·期中）将绕原点旋转，再向右平移个单位长度得到点坐标为______． 【答案】 【分析】先利用绕原点旋转的点的坐标性质得到旋转后的点坐标，再根据平移的坐标变化规律计算得到最终点的坐标即可． 【详解】解：∵将绕原点旋转， ∴旋转后的坐标为， ∴向右平移个单位长度得到点坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式求出点的坐标，再将点绕原点逆时针旋转，利用旋转的性质结合勾股定理计算对应点坐标即可． 【详解】解：，，点是线段的中点， ，即，轴， 轴， 如图，设与轴的交点为，连接，则， 是等腰直角三角形，，， 将线段绕着原点逆时针旋转，，此时旋转至位置， 在轴上， ，即点的对应点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系内，点是坐标原点，点的坐标如图所示， (1)求直线的函数表达式； (2)将直线绕着点逆时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式； (3)将直线绕着点顺时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于点E，过点作轴于点F，证明，得到，则；再利用待定系数法求解即可； （3）取点，连接，可证明，，则可证明，根据题意可得射线在射线右侧，且，则三点共线，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于点E，过点作轴于点F， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）解：如图所示，取点，连接， ∴，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将直线绕着点顺时针旋转后得到直线， ∴射线在射线右侧，且， ∴三点共线； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为． 题型讲练五 坐标与旋转规律问题 【例5】（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是等边三角形，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，，依此类推，则旋转次后得到的等边三角形的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到旋转后点的坐标变化规律，进行解答即可． 【详解】解：在等边中，，， ∴， 过点作轴，则 ∴， ∴ 根据旋转的性质可以得出点的横坐标，纵坐标为， 由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为， 由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为， ……， 综上可知，点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，即为． 【变式1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第次后点坐标即可． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是平行四边形， 且， 点的坐标为， 点的坐标为， 由旋转的规律可知，第一次旋转后点的对应点的坐标为， 第二次旋转后点的对应点的坐标为， 第三次旋转后点的对应点的坐标为， 第四次旋转后点的对应点的坐标为， 循环周期为， ， 第次旋转是第个循环的第二次旋转， 第次旋转结束时，点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据旋转速度求出旋转一周所需的时间，利用带余除法确定第2026秒时叶片转过的圈数和剩余角度，结合初始坐标及旋转性质确定最终坐标． 【详解】解：由题意可知，叶片旋转一周所需时间为（秒） ， 第2026秒时叶片尖点的位置与第2秒时的位置相同， 此时叶片转过的角度为 初始点的坐标为， 点在第一象限角平分线上 逆时针旋转后，点在第二象限角平分线上，且到原点的距离不变 第2026秒时叶片尖点的坐标为 ． 题型讲练六 线段问题(旋转综合题) 【例6】如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【变式1】问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用： (1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________． (2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． （2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 【详解】（1）解：如图3中，    将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形，， 在中，， ， ， 的最小值为5． 故答案为5． （2）如图4中，    将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 作交的延长线于． 在中，，， ， 在中， ， ， 的最小值为． 【变式2】在等边中，，点是上的定点，点是上的动点，绕点逆时针旋转恰好落在上，已知，则此时____． 【答案】 【分析】画出图形，连接，过点D作于点，证明,求出，根据勾股定理，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点，   是等边三角形， ， ，， ， ，， 绕点 逆时针旋转 恰好落在 上， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型讲练七 面积问题(旋转综合题) 【例7】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在网格中建立平面直角坐标系，在网格中，点，，坐标分别为，， (1)画出关于原点成中心对称的并写出点的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)画图见解析；点的坐标为 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换、利用割补法求图形的面积，解决本题的关键是根据中心对称的性质作出图形． 根据中心对称的性质分别作点、、关于原点的对称点、、，连接点、、，得到即为所求； 把四边形分成和，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别作点、、关于原点的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； 由图可得，点的坐标为； （2）解：由图可知， 四边形的面积为． 【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】(1)7 (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出关于原点成中心对称的，写出点的坐标为______； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并求出的面积． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】本题主要考查了作图旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出；运用整体减部分可求出面积. 【详解】（1）如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为 故答案为：； （2）如图，即为所求． 的面积为. 题型讲练八 角度问题(旋转综合题) 【例8】将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为_____ 【答案】6或9或18 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当时，a为，第二种情况当时，a为，第三种情况，当时，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】解：I．如图，当时，    ，， ， ， ， a为 （秒）， II．如图，当时，   ， ， a为， （秒）， III． 如图，当时，    此时与在同一条直线上， a为， （秒）， 综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18 故答案为：6或9或18 【变式1】【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【变式2】如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 题型讲练九 其他问题(旋转综合题) 【例9】如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的 ，并直接写出点的坐标； (2)绕点C逆时针方向旋转90°得到 ，按要求作出图形； (3)如果 通过旋转可以得到 ，请直接写出旋转中心P的坐标． 【答案】(1)见解析，坐标为(2，-2) (2)见解析 (3)P 【分析】（1）如图所示，的对应点的坐标为,沿横轴正方向平移6上单位，沿纵轴负方向平移6个单位；即得所求； （2）根据旋转定义处理； （3）根据旋转定义，确定两组对应点连线，两线段垂直平分线交点即是旋转中心． 【详解】（1）（1）如图所示，的对应点的坐标为,沿横轴正方向平移6上单位，沿纵轴负方向平移6个单位； △即为所求．    点B的坐标，坐标为（2，－2） （2）如图所示，△即为所求 （3）旋转中心P的坐标    【变式2】如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点B旋转． (1)如图1，若A、M、N三点共线． ①若，，求． ②若，求点C到直线的距离； (2)如图2，连接、，点H为线段的中点，连接．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①先证，然后证得为直角三角形，根据勾股定理即可求得；②延长，过点作垂线，交延长线于点，证得为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得； （2）设交于点，延长到点，使，连接，先证，再证即可． 【详解】（1）解：① ， ， 在与中， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ． ②如图，延长，过点作垂线，交延长线于点， 由①可得：,， 为等腰直角三角形， ， 即：， 解得：． （2）解：如图，设交于点，延长到点，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型讲练十 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例10】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据中心对称的性质得出，，然后证明，得出，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵与关于O中心对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质得到，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，， ，，， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）解答以下问题： (1)解不等式：． (2)如图，与关于点成中心对称，，，，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据解不等式的步骤求解即可； （2）利用与关于点C成中心对称，得出，，，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 则； （2）解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴在中，． 题型讲练十一 中心对称图形规律问题 【例11】（2026·江西宜春·一模）如图，小明用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.2，则的值是______． 【答案】 【分析】根据函数图象关于点中心对称，可知若两点横坐标之和为，则纵坐标之和为；观察点列横坐标，发现除外，其余点到可关于对称配对，其中为对称中心，纵坐标为，计算即可得出结果； 【详解】解：函数的图象关于点中心对称， 若点与在函数图象上，且，则， 点的横坐标从开始依次增加， 横坐标分别为， ， ， 又当时，对应点为对称中心， ， ， 当时，， ． 【变式1】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，图形的旋转，要熟练掌握中心对称的两点坐标变化规律，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， ，，，，， 的横坐标是， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和中心对称对称的性质，掌握这些是解题关键．设，由平移得，再利用旋转可得，，求解即可得解． 【详解】解：设， ∵点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴即， ∵把点绕点旋转得到点， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为： 题型讲练十二 已知两点关于原点对称求参数 【例12】（25-26八年级下·湖南永州·期中）若点与点关于原点成中心对称，则________． 【答案】5 【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征列方程求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴，， 解得，， ∴． 【变式1】（2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点、点的坐标，再根据一次函数平移规律得到平移后的函数解析式，最后代入坐标解方程组即可得到和的值． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标互为相反数， ∴，即 ， 一次函数向下平移个单位，根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为， ∵平移后图象过、两点，将两点坐标代入得 ， 解得：， 将代入，得， 解得， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为____． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，可得和的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得，， ∴． 1．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出，然后分别求出，，…，找到横坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ，， ， ∴，即 同理可得，，… ∴序号为奇数时， ∴点的坐标为，即． 2．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 【详解】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵将平移，使点与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 3．（25-26八年级下·福建宁德·期中）将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取直线上任意两点，得到绕原点旋转后的对应点，进而求出直线，根据平移的性质求出直线，进而求不等式即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴直线经过，， ∵，绕原点旋转后的对应点分别为，， ∴直线经过，， 设直线， 则， 解得：， 即， 将直线向下平移5个单位长度得到直线， 则不等式的解集即为不等式的解集， 解得． 4．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，点O为坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质可求出，，，过作轴于C，则，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解. 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转，得到， ∴，， 过作轴于C， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是. 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接，，，将沿着方向平移6个单位长度到，则点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，勾股定理以及含度角的直角三角形的性质等知识． 过点B作轴于点N，过点D作轴于点M，先求出点B、点D的坐标，得出平移的方式，即可作答． 【详解】解：过点B作轴于点N，过点D作轴于点M，如图， ∵， ∴即，，， ∴， ∴在中，， 根据平移有：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴将点先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移个单位即可得到点， ∵，点C的对应点为点A， ∴将点先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移个单位即可得到点， 即：． 7．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意和平移的特点，可以写出和的长度，然后即可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：根据平移可得，， 则图中阴影部分的面积为． 8．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． (1)画出以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； (2)画出关于原点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格的特点和旋转的性质作出点A，B，C旋转后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数的坐标特征，找出点A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：∵， ∴， 如图所示，即为所求作的三角形． 9．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点C和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得点和点的坐标，据此作图即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，再作图即可； （3）旋转中心一定在对应点的连线的垂直平分线上，据此结合网格的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵经过平移后得到，，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴，即， 如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，旋转中心为点． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)作图见解析；，， (2) (3)； 【分析】本题主要考查了图形平移的作图，根据平移确定点的坐标，直角坐标系里三角形面积的计算等知识点. （1）按照坐标平移规律作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据平移规律即可求出、、的坐标； （2）利用割补法求出三角形的面积； （3）根据平移列出关于的二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形， ∵平面直角坐标系里的点坐标平移，左减右加，上加下减， ∴点，，，先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后的点坐标为：，，； （2）解：； （3）解：∵点是内部的一点，经过平移后对应点的坐标为， ∴可列方程组为：，解得：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $