第一章 三角形的证明【期末复习讲义（提高版）二十大高频考点讲练】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第一章 三角形的证明『期末复习精编讲义』（提高版） 『思维导图+知识梳理+20个题型讲练+真题实战练 共70题』（原卷版） 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 三角形内角和定理 4 知识点二 三角形的外角 4 知识点三 等腰三角形的概念与性质 5 知识点四 等腰三角形的判定 5 知识点五 等边三角形的概念与性质 5 知识点六 等边三角形的判定 5 知识点七 勾股定理 5 知识点八 勾股定理证明 6 知识点九 勾股定理逆定理 7 知识点十 勾股数 7 知识点十一 直角三角形的判定（直角边、斜边） 7 知识点十二 命题 7 知识点十三 线段垂直平分线 8 知识点十四 角的平分线的性质 8 考点讲练 真题汇总 8 题型讲练一 与平行线有关的三角形内角和问题 8 题型讲练二 与角平分线有关的三角形内角和问题 9 题型讲练三 三角形内角和定理的应用 10 题型讲练四 三角形折叠中的角度问题 10 题型讲练五 多边形对角线的条数问题 11 题型讲练六 对角线分成的三角形个数问题 12 题型讲练七 多边形内角和问题 12 题型讲练八 正多边形的内角问题 12 题型讲练九 多(少)算一个角问题 13 题型讲练十 多边形截角后的内角和问题 14 题型讲练十一 正多边形的外角问题 14 题型讲练十二 多边形内角和与外角和综合 15 题型讲练十三 等腰三角形的性质和判定 15 题型讲练十四 等边三角形的判定和性质 16 题型讲练十五 含30度角的直角三角形 17 题型讲练十六 全等的性质和HL综合(HL) 17 题型讲练十七 线段垂直平分线的判定 19 题型讲练十八 作垂线(尺规作图) 20 题型讲练十九 角平分线的判定定理 21 题型讲练二十 角平分线性质的实际应用 22 优选真题 实战演练 23 知识点一 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【知识拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点二 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 知识点三 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点四 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点五 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点六 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点七 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【易错点拨】 （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点八 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　 　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　 　　　 　　　　 ，所以. 知识点九 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点十 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点十一 直角三角形的判定（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 【易错点拨】 用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点十二 命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 知识点十三 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点十四 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 题型讲练一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 题型讲练二 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例2】（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 【变式1】如图，在中，、分别平分、．若，则________． 【变式2】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，已知分别平分和， ，则的度数为______． 题型讲练三 三角形内角和定理的应用 【例3】（25-26八年级下·广东汕头·期中）在，的对边分别是a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D．，， 【变式2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 题型讲练四 三角形折叠中的角度问题 【例4】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 题型讲练五 多边形对角线的条数问题 【例5】（25-26八年级下·云南普洱·期中）从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【变式1】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 题型讲练六 对角线分成的三角形个数问题 【例6】（25-26八年级下·云南昭通·期中）从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【变式1】（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 【变式2】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 题型讲练七 多边形内角和问题 【例7】（2026·广东江门·一模）如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）计算下方图形中的值． 题型讲练八 正多边形的内角问题 【例8】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在八年级(1)班小组组徽设计比赛中，某六人小组设计的组徽由六个正九边形如图所示拼接而成，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如果一个正多边形的每一个内角度数都是，则该正多边形的边数为___________． 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图所示的是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，其中四边形的最小内角为（   ） A． B． C． D． 题型讲练九 多(少)算一个角问题 【例9】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 【变式1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【变式2】（23-24七年级下·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 题型讲练十 多边形截角后的内角和问题 【例10】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为______ 题型讲练十一 正多边形的外角问题 【例11】（25-26八年级下·四川广安·期中）一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，足球图片正中的黑色正五边形的每一个内角是______． 【变式2】（25-26八年级下·广西防城港·期中）若一个六边形的每个外角都是，则x的值为（    ） A．30 B．45 C．60 D．90 题型讲练十二 多边形内角和与外角和综合 【例12】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期中）一个多边形的内角和与外角和相等，则它的边数是______． 题型讲练十三 等腰三角形的性质和判定 【例13】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，平分，于点D，，延长相交于点E，若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【变式2】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接，相交于O．那么的大小是________． 题型讲练十四 等边三角形的判定和性质 【例14】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边中，于点D，点P、Q分别为、上，，，在上有一动点E使最短，则的最小值为______． 题型讲练十五 含30度角的直角三角形 【例15】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，平分，，，，，则_____________． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期中）在中，，．若，则的周长为______． 【变式2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）下列各组线段中，能构成直角三角形，且有一个角是的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D． 题型讲练十六 全等的性质和HL综合(HL) 【例16】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，于点E，于点F．求证：． 【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． 【变式2】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型讲练十七 线段垂直平分线的判定 【例17】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，与相交于点，连接、，，，点E在的下方，连接、，，连接、．求证：垂直平分． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知，如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接直线OA，证明直线垂直平分． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，是的角平分线． (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 题型讲练十八 作垂线(尺规作图) 【例18】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点在射线上．请用尺规作图法，作，点在射线上．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，，用直尺和圆规在上找一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：过点C作边的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的长． 题型讲练十九 角平分线的判定定理 【例19】（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列命题的逆命题是真命题的个数为（） （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 （2）对顶角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余 （4）全等三角形的对应角相等 （5）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）下列说法错误的是（    ） A．直角三角形的两个锐角的和是 B．底角相等的两个等腰三角形全等 C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么另一个锐角所对的直角边等于斜边的一半 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 题型讲练二十 角平分线性质的实际应用 【例20】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 1．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，该正十二边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，，，，是六边形的四个外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江西九江·期中）水仙、百合花、郁金香等都具有经典的六瓣结构，统称为六瓣花，“六六大顺”象征顺利、福运昌达，“六合”代表圆满、生机与希望，所以六瓣花常常被看作祥瑞之兆．如图，六个正九边形围在一起就可以拼出一个美丽的六瓣花图案，图中花瓣角的度数为_____________． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 6．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 7．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期中）求出图中的值． 9．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 10．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第一章 三角形的证明『期末复习精编讲义』（提高版） 『思维导图+知识梳理+20个题型讲练+真题实战练 共70题』（解析版） 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 三角形内角和定理 4 知识点二 三角形的外角 4 知识点三 等腰三角形的概念与性质 5 知识点四 等腰三角形的判定 5 知识点五 等边三角形的概念与性质 5 知识点六 等边三角形的判定 5 知识点七 勾股定理 5 知识点八 勾股定理证明 6 知识点九 勾股定理逆定理 7 知识点十 勾股数 7 知识点十一 直角三角形的判定（直角边、斜边） 7 知识点十二 命题 7 知识点十三 线段垂直平分线 8 知识点十四 角的平分线的性质 8 考点讲练 真题汇总 8 题型讲练一 与平行线有关的三角形内角和问题 8 题型讲练二 与角平分线有关的三角形内角和问题 10 题型讲练三 三角形内角和定理的应用 12 题型讲练四 三角形折叠中的角度问题 14 题型讲练五 多边形对角线的条数问题 16 题型讲练六 对角线分成的三角形个数问题 17 题型讲练七 多边形内角和问题 18 题型讲练八 正多边形的内角问题 19 题型讲练九 多(少)算一个角问题 20 题型讲练十 多边形截角后的内角和问题 22 题型讲练十一 正多边形的外角问题 23 题型讲练十二 多边形内角和与外角和综合 24 题型讲练十三 等腰三角形的性质和判定 25 题型讲练十四 等边三角形的判定和性质 28 题型讲练十五 含30度角的直角三角形 31 题型讲练十六 全等的性质和HL综合(HL) 33 题型讲练十七 线段垂直平分线的判定 35 题型讲练十八 作垂线(尺规作图) 39 题型讲练十九 角平分线的判定定理 41 题型讲练二十 角平分线性质的实际应用 43 优选真题 实战演练 45 知识点一 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【知识拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点二 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 知识点三 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点四 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点五 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点六 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点七 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【易错点拨】 （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点八 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　 　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　 　　　 　　　　 ，所以. 知识点九 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点十 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点十一 直角三角形的判定（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 【易错点拨】 用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点十二 命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 知识点十三 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点十四 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 题型讲练一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 【变式2】如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 题型讲练二 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例2】（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由为高，，，利用外角性质求出，根据是角平分线，求出，即可求出的度数. 【详解】解：∵为高，， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴. 【变式1】如图，在中，、分别平分、．若，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形的内角和定理求出的值，根据角平分线定义求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，已知分别平分和， ，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型讲练三 三角形内角和定理的应用 【例3】（25-26八年级下·广东汕头·期中）在，的对边分别是a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，则最大角，不能判定为直角三角形，符合题意； B．，符合勾股定理的逆定理，能判定为直角三角形，不合题意； C．，则，代入得，即，能判定为直角三角形，不合题意； D．，设，则，能判定为直角三角形，不合题意． 【变式1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D．，， 【答案】C 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A、，，， ， 符合勾股定理的逆定理，则能判定是直角三角形； 选项B： ， ， ， ， ， 则能判定是直角三角形； 选项C：设，，， 由三角形内角和得 ， 解得， ，，， 三角形没有直角，不能判定是直角三角形； 选项D：，，， ， 符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形． 【变式2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型讲练四 三角形折叠中的角度问题 【例4】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，利用折叠的性质得到相等的角是解题的关键． 先由邻补角性质求出，再利用折叠性质得和的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型讲练五 多边形对角线的条数问题 【例5】（25-26八年级下·云南普洱·期中）从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【答案】 【分析】边形从一个顶点出发可以引条对角线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从七边形一个顶点出发，最多可引条对角线． 【变式1】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和为，可求出该多边形的边数，再利用多边形对角线条数公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数， 将代入多边形对角线条数公式得：． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 题型讲练六 对角线分成的三角形个数问题 【例6】（25-26八年级下·云南昭通·期中）从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【答案】 3 4 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为． 本题中六边形，因此可以作对角线条数为． 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为． 【变式1】（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木框稳定，需利用木条将其分割成三角形，从六边形的一个顶点出发引对角线即可确定所需木条数量. 【详解】 解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引条对角线，这将把六边形分割成个三角形，从而使整个木框具有稳定性； 故至少要钉上根木条. 【变式2】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 【答案】八 【分析】本题考查多边形对角线的性质，掌握从边形的一个顶点出发的所有对角线将多边形分成个三角形的规律是解题关键，根据规律列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形为边形，根据题意得 ， 移项得 ， ∴． 题型讲练七 多边形内角和问题 【例7】（2026·广东江门·一模）如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 【答案】5 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合已知的外角和与内角和的比，求出该多边形的内角和度数，再利用边形内角和公式求解边数即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，多边形外角和与内角和之比为， ∴该多边形的内角和为， 设该多边形的边数为，由边形内角和公式得： ， 等式两边同时除以得 ，解得． 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）计算下方图形中的值． 【答案】 【分析】由四边形的内角和为360°即可列出关于x的等式，解出x即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 题型讲练八 正多边形的内角问题 【例8】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在八年级(1)班小组组徽设计比赛中，某六人小组设计的组徽由六个正九边形如图所示拼接而成，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正多边形内角和公式求出正九边形的内角度数，再结合图形可知与两个正九边形的内角组成一个周角，利用周角定义即可求解． 【详解】解：正九边形的内角和为， 正九边形的每个内角为， 由图可知，点是中间围成的多边形的顶点， 且在点处，与两个正九边形的内角拼接成一个周角， ． 【变式1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如果一个正多边形的每一个内角度数都是，则该正多边形的边数为___________． 【答案】6 【分析】先根据内角与相邻外角互补求出正多边形的一个外角的度数，再根据多边形外角和定理计算得到正多边形的边数． 【详解】∵ 多边形的内角与相邻外角互为邻补角， ∴ 该正多边形的一个外角为 ． ∵ 任意多边形的外角和为 , ∴ 该正多边形的边数为 ． 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图所示的是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，其中四边形的最小内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面镶嵌，正五边形的性质，解题的关键是能够理解题意，将实际问题转化为平面镶嵌问题来求解． 先求出正五边形每个内角的度数，设对角相等的四边形的最小内角为，根据题意，列出关系式，求解即可． 【详解】解：正五边形的内角和为， 则每个内角为， 设对角相等的四边形的最小内角为，则 因为正五边形与四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分， 则，为正整数， 当时，，舍去， 当时，， 当时，， 当时，，舍去， 则对角相等的四边形的最小内角为，A选项符合． 题型讲练九 多(少)算一个角问题 【例9】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 【答案】 【分析】设出多边形边数和所求内角度数，根据多边形内角和公式列出等式，结合n为正整数和多边形内角度数的取值范围，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，所求内角度数为， 根据多边形内角和公式可得：， 整理得：， 为正整数，且， 为的正整数倍， 计算得， ，满足，符合条件． 【变式1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 【变式2】（23-24七年级下·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 题型讲练十 多边形截角后的内角和问题 【例10】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 【答案】或18 【分析】根据多边形的内角和公式可得，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为18， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为19， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为20， 所以原多边形的边数可以为或18． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形． 则， 解得：， ∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， ∴原多边形的边数可能为7或8或9， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为______ 【答案】、、 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 题型讲练十一 正多边形的外角问题 【例11】（25-26八年级下·四川广安·期中）一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 【答案】8 【分析】任意多边形的外角和恒为，利用外角和除以单个外角的度数，即可得到多边形的边数． 【详解】解：根据多边形外角和定理可得，该多边形外角和为， 已知该多边形每一个外角都是，因此边数． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，足球图片正中的黑色正五边形的每一个内角是______． 【答案】 【分析】根据外角和可以直接求解． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， 则每个外角为：， 则每个内角为：． 【变式2】（25-26八年级下·广西防城港·期中）若一个六边形的每个外角都是，则x的值为（    ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【分析】任意多边形的外角和恒为，六边形有6个外角，结合每个外角相等的条件即可计算的值． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该六边形有6个外角，且每个外角都相等， ． 题型讲练十二 多边形内角和与外角和综合 【例12】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 【答案】160 【分析】先根据多边形内角和定理求出五边形的内角和，然后由，求出的度数，最后根据多边形内角和外角的关系即可求的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和为：，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】利用多边形外角和为固定值，结合多边形内角和公式列方程求解边数，即可得到答案. 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和恒为，且该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形内角和为 ， 又∵边形的内角和公式为， ∴列方程得 ， 解得 ，因此这个多边形是正六边形. 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期中）一个多边形的内角和与外角和相等，则它的边数是______． 【答案】 【分析】根据题意可设这个多边形的边数是，根据多边形的外角和等于内角和可列出方程，解方程即可求出． 【详解】解：设这个多边形的边数是，根据题意，得： , 解得：， 所以其边数为． 题型讲练十三 等腰三角形的性质和判定 【例13】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案； （2）证明．，结合垂直与内角和定理可得，结合，进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，平分，于点D，，延长相交于点E，若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据余角的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接，相交于O．那么的大小是________． 【答案】/45度 【分析】如图，取格点E，连接，，证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接， 根据题意得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ 由网格得， ∴． 题型讲练十四 等边三角形的判定和性质 【例14】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有A选项正确． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边中，于点D，点P、Q分别为、上，，，在上有一动点E使最短，则的最小值为______． 【答案】50 【分析】先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为50． 题型讲练十五 含30度角的直角三角形 【例15】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，平分，，，，，则_____________． 【答案】 【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线的定义得出的度数，进而利用三角形内角和定理判定为直角三角形，最后根据含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 是直角三角形， 在中，，， ． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期中）在中，，．若，则的周长为______． 【答案】 【分析】利用含角的直角三角形的性质得到三边的关系，再结合勾股定理求出各边长度，最后计算周长得到结果． 【详解】解：在中，，， ，即， 设，则， 由勾股定理得 解得或（舍去）， ，， 的周长为． 【变式2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）下列各组线段中，能构成直角三角形，且有一个角是的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D． 【答案】B 【分析】先用勾股定理逆定理验证是否为直角三角形，再根据直角三角形性质，角所对的直角边等于斜边的一半验证即可． 【详解】解：A．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，排除． B．最短边为2，最长边为4， ∵ ∴该三角形是直角三角形， ∵满足， ∴符合角的要求，故符合题意； C．最短边为3，最长边为5， ∵， ∴该三角形是直角三角形， ∵， ∴不存在角，排除； D．，不能构成直角三角形，排除． 题型讲练十六 全等的性质和HL综合(HL) 【例16】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，结合，进一步证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． 即， ∵，， ∴和是直角三角形， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． 【答案】是等腰三角形，见解析 【详解】解：是等腰三角形，证明如下： ∵， ∴． 在和中： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）先证明，得到，进而即可证明； （）由全等三角形的性质得，进而得到 ，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ∵， ； （2）解：由（）得， ， ， ， ， ∴． 题型讲练十七 线段垂直平分线的判定 【例17】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，与相交于点，连接、，，，点E在的下方，连接、，，连接、．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】由“”可证，可得，且，可得垂直平分． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴, ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知，如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接直线OA，证明直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证，推出，进而证明，根据等角对等边，可得； （2）根据，，可得点O，A在的垂直平分线上，由此可证直线垂直平分． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，延长交于点F， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点O在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，是的角平分线． (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：如图， 由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型讲练十八 作垂线(尺规作图) 【例18】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点在射线上．请用尺规作图法，作，点在射线上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧相交于两点；过两交点作直线与交于点，连接， 则即为所求作的角． 【详解】解：如图，即为所求． 所作直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，，用直尺和圆规在上找一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点；过这两点画直线，这条直线就是的垂直平分线；该垂直平分线与边的交点即为点． 【详解】解：如图点D即为所求； 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：过点C作边的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的高的定义作出图形； （2）利用直角三角形30度角的性质求出，再证明得，根据，可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：在中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型讲练十九 角平分线的判定定理 【例19】（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列命题的逆命题是真命题的个数为（） （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 （2）对顶角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余 （4）全等三角形的对应角相等 （5）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据逆命题的定义交换原命题条件和结论得到各命题的逆命题，再逐一判断即可． 【详解】解:（1）原命题逆命题为：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行．这是平行线的判定定理，是真命题． （2）原命题逆命题为：相等的角是对顶角．它是假命题，例如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角． （3）原命题逆命题为：若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形．因为三角形内角和为，则第三个角为，即三角形是直角三角形，故逆命题是真命题． （4）原命题逆命题为：对应角相等的两个三角形全等．它是假命题，例如边长为1和边长为2的等边三角形，对应角相等但不全等． （5）原命题逆命题为：角平分线上的点到角的两边距离相等．这是角平分线的性质定理，是真命题． 综上，逆命题为真命题的共3个． 【变式1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）下列说法错误的是（    ） A．直角三角形的两个锐角的和是 B．底角相等的两个等腰三角形全等 C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么另一个锐角所对的直角边等于斜边的一半 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质、全等三角形的判定及角平分线的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角的和是，这是直角三角形的性质，故说法正确； B、底角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为底边或者腰长不一定相等，故该说法错误； C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，这是角平分线的判定定理，故说法正确； D、在直角三角形中，如果一个锐角等于，则另一个锐角等于，所以所对的直角边等于斜边的一半，故该说法正确． 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 题型讲练二十 角平分线性质的实际应用 【例20】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由： 两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1)见详解 (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：、和如图所示： （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 1．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，该正十二边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，，，，是六边形的四个外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的外角和为360度和三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴. 4．（25-26八年级下·江西九江·期中）水仙、百合花、郁金香等都具有经典的六瓣结构，统称为六瓣花，“六六大顺”象征顺利、福运昌达，“六合”代表圆满、生机与希望，所以六瓣花常常被看作祥瑞之兆．如图，六个正九边形围在一起就可以拼出一个美丽的六瓣花图案，图中花瓣角的度数为_____________． 【答案】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正九边形的内角度数，再根据周角的定义，用减去两个正九边形的内角度数即可求解． 【详解】解：正九边形每个内角的度数为 ， ． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 【答案】12 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数为， 故答案为12． 6．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 【答案】135 【详解】解：． 7．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 【答案】/150度 【分析】根据正多边形的性质求出，，然后求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期中）求出图中的值． 【答案】 【分析】由三角形外角的性质建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得． 9．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． （2），理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $