甘肃陇南市武都区武都实验中学、武都两水中学、武都育才学校、武都扬名中学高三5月考前模拟考试数学试卷

**基本信息** 2026年陇南市高三5月模拟卷，以AI研发项目分配、“七星瓢虫曲线”等真实情境为载体，通过函数导数、立体几何综合题考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配高考三模能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、抛物线、三角函数图像|结合图像辨析函数解析式，考查几何直观| |多选题|3/18|统计量（方差、百分位数）、等比数列|通过失分数据判断达标情况，体现数据观念| |填空题|3/15|复数、排列组合、函数零点|甲不站左端的排列问题，考查逻辑推理| |解答题|5/77|椭圆与抛物线综合、三棱台、函数导数|“七星瓢虫曲线”融合椭圆与抛物线，考查数学建模；AI项目分配问题，体现应用意识|

参考答案 1．答案：D 解析：由解得, 即, 故, 则集合的真子集的个数为. 2．答案：A 解析：由抛物线C：（）的焦点到其准线的距离为3，得，则 由是C上一点，得，点，所以. 3．答案：A 解析：由图可知,关于原点中心对称,且不是R上的单调函数; 对于B,是偶函数,不符合,排除B; 对于C,的定义域不含,不符合,排除C; 对于D,由复合函数的单调性知是R单调递增函数,排除D; 对于A,是奇函数,且在上递增,在上递减,在上递减,符合图像,是的一个解析式,A正确. 4．答案：A 解析：由题意可得, 且,则,且单调递增, 则数列为递增数列,充分性成立; 若数列为递增数列,, 则或,必要性不成立; “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 5．答案：C 解析：数列是等差数列，，， 所以，，则. 故选C. 6．答案：D 解析：如图，正三棱柱棱长均为2，取的中点为O， 则平面， 当点N是靠近点A的四等分点时，，则平面， 此时直线与平面所成角的正弦值最大为1； 当点N与重合时，此时最长， 即， 因为正三棱柱中，M是棱的中点， 所以点M到平面的距离为，    此时直线(即) 与平面所成角的正弦值最小，为， 所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是. 故选：D. 7．答案：D 解析：正n边形的n条边相等，故这n个向量的模相等.故选D. 8．答案：A 解析：,时,, 因为在区间恰有两个极大值点、三个对称中心, 故,解得. 故选:A 9．答案：AC 解析：对于选项A，假设函数内容有一道题失分大于等于8分， 则由极差为4可知，函数内容失分最少的题的失分数据大于等于4， 则失分记录的中位数不可能为3，与题设中位数为3矛盾，故假设不成立， 所以函数内容每一道题失分都不超过7分， 故函数内容为“复习效果达标内容”，所以A正确； 对于选项B，设三角内容这10道题失分记录为0，0，1，1，2，2，2，2，8， 满足题设失分记录的平均数为2，众数为2的条件， 由定义知三角内容不是“复习效果达标内容”，所以B错误； 对于选项C，设数列内容这10道题失分记录从小到大依次为 ，，，，，，，，，， 则由平均数为3，方差为2.4可知，， 从而，若，则， 所以，故数列内容为“复习效果达标内容”，所以C正确； 对于选项D，设立几内容这10道题失分记录为0，0，0，0，0，0，6，6，6，12， 满足题设平均数为3，第65百分位数为6的条件， 由定义知立几内容不是“复习效果达标内容”，所以D错误； 故选：AC 10．答案：BCD 解析：对于A,为等比数列,,则,,故A错误; 对于B,因为等比数列,则,又,因,故,即B正确; 对于C,当时,因,, 所以,故C正确; 对于D,由,得,则,所以, 又,即,又因为,即, 因,则得,故D正确. 11．答案：AD 解析：对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ， 在 中由余弦定理得，， 代入 ，整理得，即， 的面积， 得 ，即， 又因为，所以，则离心率，A正确； 对于选项B：焦点在y轴的双曲线渐近线为，得，B错误； 对于选项D：，，设，满足， 设，，则， 代入，化简得， 设，同理得，且，，故 ，即，D正确； 对于选项C：设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点， 设，因为，则. 又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线方程联立， 可得或， 则，. 则，则的最小值不是4，C选项错误. 12．答案： 解析：由题意得. 复数是纯虚数, , , z的虚部为1. 13．答案：96 解析：先安排最左边的位置,有4种方法,然后剩余的4人在四个位置上排列,有种, 故共有种. 14．答案： 解析：因为是的一个零点， ，将看作直线上一个点的坐标， 则原题就变为：求当时，点到原点的距离的平方的最小值， 原点到直线的距离为，， ， 令，，，当时，，是增函数， 在时，； 故答案为：. 15．答案：(1) (2) 解析：(1)由正弦定理，，， 且， 所以. 即，由于， 故， 因为，所以； (2)由(1)知， ，因为，，由余弦定理得 , 即，，故. 所以的面积. 16．答案：(1)； (2)(i)或；(ii)证明见解析. 解析：(1)设椭圆的半焦距为c， 因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以， 又，所以，则， 两边同时除以，得，解得（舍去）. 所以“等差椭圆”的离心率为. (2)(i)若是“等差椭圆”，且， 则由，得，则，，解得. 故，. 易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：. 联立消去y得， 则，得；① 联立消去y得， 则，得，② 联立①②，解得或 故和都相切的直线方程为或. (ii)证明：设l与相交于，， 线段的中点，则，， 两式相减，得， 所以，即， 由已知，，所以， 即，则 联立得， 又，则， 故， 所以中点N的坐标为，可得， 所以，为N定值. 17．答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）如图:取中点O,连接,因为四边形为等腰梯形,且D为中点,所以. 又为正三角形,所以 平面,所以平面 又平面,所以 （2）设中点为,连接,则, 又侧面底面,侧面底面侧面, 所以底面. 又底面,所以. 又,所以两两垂直, 故可以O为原点,所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 因为三棱台两底面间的距离为,即, 又三角形为正三角形,且, 则,设, 则 设平面的法向量为,则, 可取, 设直线与平面所成的角为, 则. 由 所以,故或（因为,故舍去）,此时与点重合, 所以当与点重合时,直线与平面所成角的正弦值为. 18．答案：(1)1440 (2)240 解析：(1)先从6个团队中选5个,有种选法, 接下来将5个团队分配到4种项目,且每个项目至少1个团队负责, 则5个团队分为：2,1,1,1四组,有种方法, 再将这四组对应4种项目进行全排列, 由分步计数原理,可得不同的安排方案有种. (2)先将A和B两个团队视为一个整体（一个元素）, 此时相当于5个元素分配到4种项目,每个项目至少有一个团队, 即分成元素个数分别为“2,1,1,1”四组,则有种方法, 再将这四组对应4种项目进行全排列,有种方法, 所以共有种不同的安排方案. 19．答案：(1) (2) (3)证明见解析 解析：(1)设直线与曲线相切于点处， 因为，所以①， 又因为②，①②联立解得，. (2)由(1)得， 对任意，存在，使得不等式成立， 等价于对任意，即可， 所以当时恒成立， 令，只需即可， 因为，令， 则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因为，所以， 又 ，，所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，即b的最大值为. (3)由已知可得， 则， 令，则，， 所以在上单调递增， 又函数在上单调递增且恒为正， 所以在上单调递增且恒为正， 所以在单调递增， 令，，则， 因为，所以，在单调递增， 所以对任意有， 因为时， ， 所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年陇南市武都区武都实验中学、武都两水中学、武都育才学校、武都扬名中学高三5月考前模拟考试 （数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．已知集合,,则集合的真子集的个数为(      ) A.8 B.7 C.4 D.3 2．已知抛物线C：（）的焦点到其准线的距离为3，是C上一点，O是坐标原点，则(      ) A. B.6 C. D.3 3．已知函数的部分图象如图,则的解析式可能为:(      ) A. B. C. D. 4．已知无穷等比数列的公比为q,则“且”是“数列为递增数列”的(      ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．已知等差数列的前n项和为，且，，则(      ) A.0 B.10 C.15 D.30 6．在棱长均为2的正三棱柱中，M是棱的中点，N是侧面内任意一点(包含边界)，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是(      ) A. B. C. D. 7．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为，则这n个向量(      ) A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等 8．已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心,则(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是(      ) A.函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4 B.三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2 C.数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4 D.立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6 10．已知为等比数列,其前n项和为,公比为q,则下列说法正确的是(      ) A.若,,则 B.若,则 C.若,则 D.若,,则 11．已知双曲线C：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为A，P是双曲线C上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是(      ) A.双曲线的离心率 B.双曲线的渐近线方程为 C.若过点P作双曲线C的切线与渐近线交于M，N两点，则的最小值为4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位,）,则z的虚部为__________. 13．现有5名同学排成一排,其中甲不站最左边,则有_____________种站法（用数字作答）. 14．已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若，，求的面积. 16．（14分）如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线Γ，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线Γ为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”Γ中，若是“等差椭圆”，且. (ⅰ)求与和都相切的直线的方程； (ⅱ)直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线，（O为原点）的斜率之积为定值. 17．（16分）如图,三棱台中,侧面四边形为等腰梯形,底面三角形为正三角形,且,设为棱上的点. （1）若为棱的中点,求证; （2）若三棱台两底面间的距离为,且侧面底面,试探究是否存在点,使直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由. 18．（14分）某AI实验室有6个不同的团队,需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行,每个团队只能承担一个项目,且每个项目至少交给一个团队. (1)若从中选出5个团队去,共有多少种不同的安排方案？ (2)若6个团队都同时参与调研,且A、B两个团队同一个项目,共有多少种不同的安排方案？ 19．（19分）已知函数，直线与曲线相切. (1)求a的值； (2)若对任意，存在，使得不等式成立，求b的最大值； (3)若，求证：对任意s,，有. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $