精品解析：甘肃陇南市宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学2025-2026学年高三5月诊断考试数学试卷

2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高三5月诊断考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知 或, 所以. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由图像可知函数关于原点对称，是奇函数， 对于选项C，，， 故是偶函数，不符合，排除C； 对于选项A，，求导得， 故在上单调递增， 不符合图像中时先增后减的趋势，排除A；  根据图像，极大值点在左侧， 对于选项B，，求导得， 令，得， 1 0 单调递增 单调递减 故的极大值点为，不符合图像，排除B. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式及下标和定理计算即可． 【详解】数列和都为等差数列，且， 则， 故选：B． 6. 设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设直线的方程为，求得，由，求得 ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 不妨设直线的方程为， 令，可得，即， 因为，可得， 可得，解得，所以的离心率为. 7. 已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 是定义在上且周期为的函数，∴ . ∵ 是偶函数，∴ . ∵ 当时，，∴ ，即. 8. 已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义，求出在上投影向量的长，再求出的值即可. 【详解】 如图所示，过作于，则，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得, 代入得，解得， 所以，则. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（ ） A. 有效数据的极差是10 B. 有效数据的平均数是80 C. 有效数据的第80百分位数是86 D. 有效数据的方差是50 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意先求有效数据，再逐项验证即可求解. 【详解】根据题意有效数据为： 所以有效数据的极差为，故A错误； 有效数据的平均数为，故B正确； 由，所以有效数据的第80百分位数为，故C正确； 有效数据的方差为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，因为，即，所以有， 整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确； 选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确； 选项D，的平分线交于点D，，由， 由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确. 11. 如图，在边长为1的正四面体中，D是点B关于的对称点，点P，Q，R分别在棱，，上，且满足.若E为的中点，点F在直线上，且满足直线平面，则下列说法中正确的有（ ） A. 线段的长为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 当x从0增加到1时， D. 当x从0增加到1时，点F运动的路程为 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，如图，连接，交于点M，取中点N，连接，易知. 在正四面体中，易知， ，. ，选项A正确； 选项B，∵易知正四面体的高为， 直线与平面夹角的正弦值为，选项B错误； 选项C，，， . 易知，，，， . 在中，由余弦定理，得 . 同理， . 故，故，选项C正确； 选项D，设，，，，易知. 又，， ， ， . 又 平面，故存在，使得. . 点F在直线上，故存在，使. 消去λ，得. ，. 记，则. ∴易知在区间上单调递增，在区间上单调递减. ，，， ， ∴当x从0增加到1时，点F运动的路程为，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则在方向上的投影的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】因，， 则在方向上的投影为 ， 因，则，故， 故在方向上的投影的取值范围是 13. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，转化为和图象上有两个交点问题. 【详解】的定义域为，且，，令，则， 令，，则 ，， 因为有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，即有两个不同的实根， 设，，当，，为增函数；当，，为减函数； ，而当，，当，，故图象如下图所示： 结合和的图象，易得m的取值范围是. 14. 如图，有一列曲线，，，…已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（，1，2，…）。记为曲线所围成图形的面积。则数列的通项公式________ 【答案】 【解析】 【分析】可设图形的边长为，边数为3，的边长为边长的，边数是每一条边都扩大4倍，并且每一条都增加了一个小的等边三角形，由此规律可知的边长为，边数为，而曲线所围成图形的面积等于曲线所围成的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，再利用累加法即可求出的通项公式. 【详解】设图形的边长为，由题意可知，，边数是3； 根据图形规律，图形边长为，边数为每一条边都扩大4倍，即； 图形边长为，边数为； 以此类推，图形边长为，边数为； 图形边长为，边数为； 而根据图形规律可知曲线所围成图形的面积等于曲线所围成的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积， 每一个边增加的小等边三角形面积为， 则，整理后得， 又图形的面积， 由累加法可知，，，……，， 得， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到数列的递推公式，进而求出数列通项，常见的方法有：（1）由和的关系求通项公式；（2）累乘法，累加法，构造等差数列和等比数列法. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方. （1）若，求的方程； （2）若，求过点的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的方程，设的方程，代入，写出韦达定理，利用抛物线的定义，结合题设条件求得，即得的方程； （2）先求出，将点的坐标代入推得，由（1）的结论求得，结合，利用待定系数法即可求得圆的标准方程. 【小问1详解】 因为的焦点为，所以，解得， 故的方程为， 设的方程为，将其代入，消去整理得， 设，则 ， 因为，所以， 由 ，得， 所以的方程为，即. 【小问2详解】 对于，令，得点， 则，故得， 由（1）知，所以 ，， 因为，所以，从而，则， 因为点在轴上方，所以，进而可得， 设过三点的圆的方程为，又， 则得 解得， 所以过三点的圆的方程为. 17. 如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD， . （1）求证：平面平面； （2）若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意先证平面，再根据面面垂直的判定即可证明； （2）以点A为原点建立空间直角坐标系，设点，利用向量法求平面角求出，确定点；（ⅰ）根据空间向量法求线面角即可；（ⅱ） 【小问1详解】 解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD， 因此，又因为正方形ABCD，所以，， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， ，，，，，. 若存在点P，设点，， 设平面PBD的法向量为，，， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为，易得平面的法向量为， 由已知有，即， 整理有，解得，或（舍）； 所以，，， （ⅰ）设直线与平面所成角为， ， 所以，直线与平面PBD所成角的正弦值为； （ⅱ）易知，设点到平面的距离为d，故. 点到平面PBD的距离为. 18. 为研究大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用AI学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用AI学习工具的情况是否与自主思考能力有关. （2）小余之前从未使用过AI学习工具，他计划开始尝试使用AI学习工具进行学习，他在第天使用AI学习工具的概率为，设每天是否使用AI学习工具进行学习相互独立.设小余前3天中使用AI学习工具进行学习的天数为，求的分布列. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 【答案】（1）认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验计算值，再判断即可； （2）由题可知的可能取值为，再利用独立事件乘法公式得到对应概率，列出分布列即可． 【小问1详解】 解：零假设为：大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关. 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）已知，若，且，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，然后求出切点坐标和过切点的线的斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）利用二次求导分析原函数的取值范围，对分类讨论，进而求解的取值范围； （3）构造新函数，利用二次求导和均值不等式进行求解. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，则， 令，则， 令，解得， 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，则在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 若，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以时，单调递减，， 与在上恒成立矛盾. 综上所述，若在上恒成立，则的取值范围是. 【小问3详解】 已知，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设， 则. 设， 则. 所以在上单调递减. 又，所以，从而在上单调递增. 因为，所以. 因为，所以， 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高三5月诊断考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，，则等于 A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 无法确定 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（ ） A. 有效数据的极差是10 B. 有效数据的平均数是80 C. 有效数据的第80百分位数是86 D. 有效数据的方差是50 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 11. 如图，在边长为1的正四面体中，D是点B关于的对称点，点P，Q，R分别在棱，，上，且满足.若E为的中点，点F在直线上，且满足直线平面，则下列说法中正确的有（ ） A. 线段的长为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 当x从0增加到1时， D. 当x从0增加到1时，点F运动的路程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则在方向上的投影的取值范围是________. 13. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 14. 如图，有一列曲线，，，…已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（，1，2，…）。记为曲线所围成图形的面积。则数列的通项公式________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方. （1）若，求的方程； （2）若，求过点的圆的标准方程. 17. 如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. （1）求证：平面平面； （2）若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 18. 为研究大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用AI学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用AI学习工具的情况是否与自主思考能力有关. （2）小余之前从未使用过AI学习工具，他计划开始尝试使用AI学习工具进行学习，他在第天使用AI学习工具的概率为，设每天是否使用AI学习工具进行学习相互独立.设小余前3天中使用AI学习工具进行学习的天数为，求的分布列. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）已知，若，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $