19.2.1 方差- 课件 2025-2026学年 华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“方差”核心知识点，通过“选谁做主罚球手”“天津与新加坡气温比较”等情景导入，先以平均数无法区分数据稳定性的矛盾，引导学生从数据波动角度思考，搭建从平均数到方差的学习支架。 其亮点在于以现实问题驱动，通过计算离差、离差平方和到方差的推导过程，培养抽象能力与推理意识，结合散点图直观呈现数据波动，小结明确方差意义与应用。帮助学生理解数据稳定性，教师可直接用于情境教学和知识建构。

队员 第 1 轮 第 2 轮 第 3 轮 第 4 轮 第 5 轮 小华 3 4 4 4 5 小刚 5 3 5 2 5 情景导入——选谁做主罚球手？ 1、两人平均进球数谁更高？ 2、仅凭平均进球数能做决定吗？ 方 差 数据的分析 19 华师大版·八年级数学下册 2 问题 1 下表显示的是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温. 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 天津和新加坡的气温 单位：℃ 如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢？ 问题初探 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 计算出两组数据的平均数，你有什么发现？ x天津 = 27 + 30 + … + 24 + 23 8 = 27.25（℃） x新加坡 = 26 + 27 + … + 27 + 27 8 = 27.25（℃） 平均气温相等 这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢？ 观察下图，你感觉它们有没有差异呢？ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ ①天津 ②新加坡 天津气温波动范围较大， 最大值与最小值相差 9 ℃. 新加坡气温波动范围较小， 最大值与最小值相差 3 ℃. 稳定性：新加坡 > 天津 平均数 问题 2 小明和小兵两人参加打靶测试，每人射击 5 次，测试成绩如下表所示. 谁的成绩较为稳定？为什么？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 小明 7 8 8 8 9 小兵 7 7 8 9 9 1、计算平均值 7 8 8 8 9 小明 思考： 怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢？ 2、 计算各数据与平均数的差() 7 8 8 8 9 7-8=1 -1 0 0 0 1 小明 1.将各数据与其平均数的差相加。你有什么发现？ 思考 ：怎样才能避免正负抵消，真实反应波动. 7 8 8 8 9 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 3、计算差的平方并求和 离差平方和 =1+0+0+0+1=2 小明 定义：一组数据中，每个数据与平均数差值平方的和称为这组数据的离差平方和. 离差平方和 离差平方和的计算式就是 已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数. ( x1 － x )2 + ( x2 － x )2 + … + ( xn － x )2. 练一练： 计算艾和小兵丁的离差平方和 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6次 第 7 次 离差平方和 小艾 7 6 9 8 10 9 7 小丁 6 8 6 10 10 思考 ：他们的次数不一样，比较离差平方和合理吗？ 小明 7 8 8 8 9 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 离差平方和 4、计算差的平方的平均值: =1+4+1+0+4=10 方差 =[1+0+0+0+1]=×2=0.4 小明 方 差 定义：一组数据中，每个数据与平均数差值平方的平均值称为方差，通常记为 σ2. 已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数. [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2] n σ2 = 1 小明 7 8 8 8 9 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 离差平方和 =1+4+1+0+4=10 方差 =[1+0+0+0+1]=×2=0.4 小明 7 7 8 9 9 -1 -1 0 1 1 方差 1 1 0 1 1 离差平方和 =1+1+0+1+1=4 小兵 =[1+1+0+1+1]=0.8 0 5 6 7 8 9 10 11 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 小兵 小明 方差越大，数据的波动 ，离散程度 ，越不稳定； 方差越小，数据的波动 ，离散程度 ，越稳定 0 5 6 7 8 9 10 11 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 越大 越大 越小 越小 =0.4 =0.8 队员 第 1 轮 第 2 轮 第 3 轮 第 4 轮 第 5 轮 小华 3 4 4 4 5 小刚 5 3 5 2 5 教练应该选择谁担任篮球队的主罚球手？ 问题解决 1. 已知一组数据: 2，3，3，4，则这组数据的方差为（ ） A. 1 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.5 D 2. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势， 数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取 20 株进行 测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别 为 σ2甲＝3.6，σ2乙＝5.8，则这两种小麦长势更整齐 的是_____(填“甲”或“乙”) 方差小 方差越小，数据波动越小，越稳定. 甲 3. 求一组数据方差的算式为: σ2 ＝ [(6－ x )2 + (8－ x )2 + (8－ x )2 + (6－ x )2 + (7－ x )2]. 由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. n 的值是 5 B. 该组数据的平均数是 7 C. 该组数据的众数是 6 D. 若该组数据加入两个数 7、7，则这组新数据的方差变小 6 和 8 C 方差是用来衡量一组数据的波动大小的特征量. 通过比较方差的大小来判断数据的稳定性. 方差越大，数据的波动越大，离散程度越大，越不稳定； 方差越小，数据的波动越小，离散程度越小，越稳定。 [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2] n σ2 = 1 课堂小结 【选自教材第172页 练习 第1题】 比较下列两组数据的方差： A 组: 0，10，5，5，5，5，5，5，5，5； B 组: 4，6，3，7，2，8，1，9，5，5. 解: xA ＝ ×(0 + 10 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 )＝ 5， 方差 σ2A ＝ ×[(0－5)2 + (10－5)2 + (5－5)2×8] ＝ 5. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 由计算结果可知，A 组数据的方差比 B 组数据的方差小. xB ＝ ×(4 + 6 + 3 + 7 + 2 + 8 + 1 + 9 + 5 + 5 )＝ 5， 方差 σ2B ＝ ×[(4－5)2 + (6－5)2 +…+ (5－5)2] ＝ 6. 【选自教材第172页 练习 第1题】 比较下列两组数据的方差： A 组: 0，10，5，5，5，5，5，5，5，5； B 组: 4，6，3，7，2，8，1，9，5，5. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 【选自教材第172页 练习 第2题】 2. 算一算，哪个城市该时段气温的离散程度较大？ 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 天津和新加坡的气温 单位：℃ 解: 天津该时段气温的平均数为 27 + 30 + 32 + 31 + 26 + 25 + 24 + 23 8 = 27.25（℃） 新加坡该时段气温的平均数为 26 + 27 + 28 + 29 + 27 + 27 + 27 + 27 8 = 27.25（℃） 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 天津该时段气温的方差为 ×[(27－27.25)2 + (30－27.25)2 +…+ (23－27.25)2] ＝ 9.9375. 新加坡该时段气温的方差为 ×[(26－27.25)2 + 5×(27－27.25)2 + (28－27.25)2 + (29－27.25)2] ＝ 0.6875. 因为 9.9375 >0.6875，所以天津该时段气温的离散程度较大. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 3 4 4 4 5 3 4 4 4 5 0 1 1 1 2 6 7 7 7 8 各数据减三 各数据加三 平均数 方差 =1 =7 σ2=0.4 σ2=1.6 猜想： 若一组数据,,…的平均数为，方差为σ2则数据b,b,…, b的平均数为b,方差为σ2 问题： 若一组数据,,…的平均数为，方差为σ2则数据b,b,…, b的平均数证明如下： = +=+b 求证：这组数据的方差为σ2 证明：σ2= $