19.2.1 方差-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步课件（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“方差”这一核心知识点，系统讲解方差的意义、求法及应用。通过天津与新加坡气温数据对比，在平均气温相同的情况下引出波动差异，衔接集中趋势量，搭建从已知到未知的认知支架。 其亮点在于以现实情境（气温、成绩）为载体，培养数据意识与抽象能力。通过甲、乙班成绩比较、小麦长势分析等案例，引导学生用数学语言表达数据波动，体现模型意识。采用实例归纳、练习巩固的教学方法，帮助学生理解方差本质，教师可高效开展统计教学，提升学生数据分析与应用能力。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 19.2 数据的离散程度 第19章 数据的分析 19.2.1 方差 在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数 据集中趋势的量以外，还有一类刻画数据波动（离散）程 度的量，其中最重要的就是方差. 本节我们将在实际问题 情境中，了解方差的统计意义并运用方差解决问题. 新知导入 一、方差的意义 表中显示的是2022年7月20日8时至7月21日5时天津和新加坡两地的气温，如何对两地这两个时间段内的气温进行比较呢？   8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 从表中可以看出，天津与新加坡的气温相比，有4个时刻的气温相对高些，有4个时刻的气温相对低些， 比较两地气温的髙低，求平均气温是一种常用 的方法. 经计算可知，这两地的平均气温相等，都是27.25℃. 这能否说明两地的气温情况总体上没有什么 差异 呢？ 观察下图，你感觉它们有没有差异呢？ 通过观察，我们可以发现：图①中的点波动范 围比较大——从23℃到22℃，相差9℃；图②中的点波动范围比较小——从26℃到29℃，相差3℃. 通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 方差的意义：方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小). 要点分析： (1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要量， 反映的是数据在平均数附近波动的情况； (2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的 波动就越大；方差越小，数据的波动就越小． 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： =80，s2甲=240，s2乙=180，则成绩较为稳定的班级是( ) A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定 例1 B 在本题中，给出平均分和方差两种数据，那么平 均分要考查的是甲、乙两班的成绩的优劣，而成 绩的稳定性就要看两班成绩的方差了．那么所谓 的稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小， 成绩越稳定．根据“方差越大，数据的波动越大： 方差越小，数据的波动越小，我们很容易发现乙 班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定． 分析： 在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先 计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数 据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据 的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的 习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据 的方差情况了．由此可得到：在解决问题时，要先算平 均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时， 比较方差，选择波动较小的一组数据． 归纳总结 课堂练习 1.两名同学各进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的(　　) A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对 2.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.35，s乙2＝0.15，s丙2＝0.25，s丁2＝0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、方差的求法 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表所示，谁的成绩较为稳定?为什么? 测试次数 1 2 3 4 5 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 (1)计算出两人的平均成绩. (2)画出两人测试成绩的折线图，如图. (3)观察发现什么了? 小明的成绩大部分集中在平均成绩13分的附近，而小兵的成绩与其平均值的离散程度较大.通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定.思考：什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度呢? 我们已经看出，小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，而小明的测试成绩与平均值的偏差较小.那么如何加以说明呢?可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗？ 试一试： (1)在下表中，写出你的计算结果.通过计算，依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗? (2)如果不行，请你提出一个可行的方案，在下表中(印好，每个学生一份)，格子中写上新的计算方案，并将计算结果填人表中. (3)思考：如果一共进行7次测试，小明因故缺席了两次，怎样比较谁的成绩更稳定?请将你的方法与数据填人下表中. 我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况.这令结果通常称为方差. 方差的计算方法 设有n个数据x1，x2，…，xn . (1)计算这组数据的平均数 ； (2)求各数据与它们的平均数的差的平方： … , (3)求(2)中这n个数据的平均数，记为s2．则方差的计 算公式为：= 一组数据6、4、a、3、2的平均数是5，这组数据的方差为(　　) A．8　　　B．5　　　C．2 　　　D．3 例2 根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差 公式＝ 代数 计算即可．∵6、4、a、3、2的平均数是5，∴(6＋ 4＋a＋3＋2)÷5＝5，解得a＝10，则这组数据的方 差＝ ×[(6－5)2＋(4－5)2＋(10－5)2＋(3－5)2＋ (2－5)2]＝8. 分析： A 一般地，设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，则方差＝ 它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性 越大，反之也成立． 归纳总结 课堂练习 1.在某中学举行的演讲比赛中，初一年级5名 参赛选手的成绩如下表所示，请你根据表中提供的 数据，计算出这5名选手成绩的方差是(　　) A. 2　　　　 B．6.8 C．34 D．93 选手 1号 2号 3号 4号 5号 平均 成绩 得分 90 95 █ 89 88 91 2.在某年某市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错的是(　　) A．平均数为160 B．中位数为158 C．众数为158 D．方差为20.3 3.在某次学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下： 甲：8，7，9，8，8 乙：7，9，6，9，9 则下列说法中错误的是(　　) A．甲、乙得分的平均数是8 B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9 C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6 D．甲得分的方差比乙得分的方差小 三、方差的应用 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了10株麦苗，测得高度(单位：cm)如下： 甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15； 乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11. 哪种麦苗长势整齐？ 例3 x甲＝ ×(15＋15＋…＋15)＝13.9(cm)， ＝ ×[(15－13.9)2＋(15－13.9)2＋…＋(15－13.9)2] ＝2.09， x乙＝ ×(17＋14＋…＋11)＝14(cm)， ＝ ×[(17－14)2＋(14－14)2＋…＋(11－14)2]＝2.8, 因为＜，所以甲种麦苗长势整齐． 解： 分析： 根据题意，要比较哪种麦苗长势整齐，需比较它们高 度的方差，先求出其平均数，再根据方差的公式计算 方差，进行比较可得结论． 在比较两组数据时，一般先看平均数，在平均 数相同或相近的情况下，再分析稳定性问题，而方 差是反映数据的波动大小的量，通过比较方差的大 小来解决问题． 归纳总结 课堂练习 1.在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①>；②<；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定．由统计图可知正确的结论是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2.某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数(环)及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如下表所示，丁的成绩如图所示． 根据以上图表信息，参赛选手应选(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁   甲 乙 丙 平均数/环 7.9 7.9 8 方差 3.29 0.49 1.8 课堂小结 1.方差是用来衡量一组数据波动大小的重要统计量，反映 的是数据在平均数附近波动的情况，对于同类问题的两 组数据，方差越大，数据波动就越大，方差越小，数据 波动就越小；在统计中常用样本方差去估计总体方差． 2.一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数，所得 新数据的方差与原数据的方差相等． 3.一组数据的每一个数据都变为原数据的k倍，则所得新数 据的方差变为原数据方差的k2倍． 布置作业 必做：教材P172练习 选做：请完成《名校作业》对应习题 $